Массовый расход

Масса вещества, проходящая за единицу времени

В физике и технике массовый расход — это скорость , с которой масса вещества изменяется с течением времени . Его единицей является килограмм в секунду (кг/с) в единицах СИ и слаг в секунду или фунт в секунду в обычных единицах США . Распространенный символ — ( ṁ , произносится как «м-дот»), хотя иногда используется μ ( греческая строчная буква мю ). ${\displaystyle {\dot {m}}}$

Иногда массовый расход, как он определен здесь, называют «массовым потоком» или «массовым током». ^[a] По ошибке, «массовый поток» также является термином для массового потока , скорости массового потока на единицу площади. ^[2]

Формулировка

Массовый расход определяется пределом [ ^{3] [4]} , т.е. потоком массы m через поверхность за единицу времени t . $${\displaystyle {\dot {m}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta m}{\Delta t}}={\frac {dm}{dt}},}$$

Точка над m — это обозначение Ньютона для производной по времени . Поскольку масса — скалярная величина, скорость потока массы (производная массы по времени) также является скалярной величиной. Изменение массы — это количество, которое течет после пересечения границы в течение некоторого времени, а не начальное количество массы на границе за вычетом конечного количества на границе, поскольку изменение массы, текущей через область, было бы равно нулю для стационарного потока .

Альтернативные уравнения

Иллюстрация объемного расхода. Массовый расход можно рассчитать, умножив объемный расход на массовую плотность жидкости, ρ . Объемный расход рассчитывается путем умножения скорости потока массовых элементов, v , на площадь поперечного сечения вектора, A .

Массовый расход также можно рассчитать по формуле

$${\displaystyle {\dot {m}}=\rho \cdot {\dot {V}}=\rho \cdot \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} =\mathbf {j} _{\text{m}}\cdot \mathbf {A} ,}$$

где

• ${\displaystyle {\dot {V}}}$или Q = объемный расход ,
• ρ = массовая плотность жидкости,
• v = скорость потока массовых элементов,
• A = площадь поперечного сечения вектора /поверхность,
• j _m = поток массы .

Вышеуказанное уравнение справедливо только для плоской, плоской области. В общем случае, включая случаи, когда область криволинейна, уравнение становится поверхностным интегралом : $${\displaystyle {\dot {m}}=\iint _{A}\rho \mathbf {v} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{A}\mathbf {j} _{\text{m}}\cdot d\mathbf {A} .}$$

Площадь , необходимая для расчета массового расхода, является действительной или мнимой, плоской или изогнутой, либо как площадь поперечного сечения, либо как поверхность, например, для веществ, проходящих через фильтр или мембрану , действительная поверхность - это (обычно изогнутая) площадь поверхности фильтра, макроскопически - игнорируя площадь, охватываемую отверстиями в фильтре/мембране. Пространства будут площадями поперечного сечения. Для жидкостей, проходящих через трубу, площадь - это поперечное сечение трубы в рассматриваемом сечении. Векторная площадь - это комбинация величины площади, через которую проходит масса, A , и единичного вектора, нормального к площади, . Соотношение имеет вид . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Причина скалярного произведения заключается в следующем. Единственная масса, протекающая через поперечное сечение, — это количество, нормальное к площади, т.е. параллельное единичной нормали. Это количество равно

${\displaystyle {\dot {m}}=\rho vA\cos \theta ,}$

где θ — угол между единичной нормалью и скоростью массовых элементов. Количество, проходящее через поперечное сечение, уменьшается на коэффициент , по мере увеличения θ меньше массы проходит через него. Вся масса, которая проходит в тангенциальных направлениях к области, которая перпендикулярна единичной нормали, на самом деле не проходит через область, поэтому масса, проходящая через область, равна нулю. Это происходит, когда θ = π /2 : Эти результаты эквивалентны уравнению, содержащему скалярное произведение. Иногда эти уравнения используются для определения массового расхода. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ $${\displaystyle {\dot {m}}=\rho vA\cos(\pi /2)=0.}$$

Рассматривая поток через пористые среды, можно ввести специальную величину, поверхностный массовый расход. Он связан с поверхностной скоростью , v _s , следующим соотношением: ^[5] Величина может быть использована при расчете числа Рейнольдса частиц или коэффициента массопередачи для систем с фиксированным и псевдоожиженным слоем. $${\displaystyle {\dot {m}}_{s}=v_{s}\cdot \rho ={\dot {m}}/A}$$

Использование

В элементарной форме уравнения неразрывности массы в гидродинамике : ^[6] $${\displaystyle \rho _{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {A} _{1}=\rho _{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {A} _{2}.}$$

В элементарной классической механике массовый расход встречается при работе с объектами переменной массы , такими как ракета, выбрасывающая отработанное топливо. Часто описания таких объектов ошибочно ^[7] ссылаются на второй закон Ньютона F = d ( m v )/ dt , рассматривая как массу m , так и скорость v как зависящие от времени, а затем применяя правило производного произведения. Правильное описание такого объекта требует применения второго закона Ньютона ко всей системе с постоянной массой, состоящей как из объекта, так и из его выброшенной массы. ^[7]

Массовый расход можно использовать для расчета расхода энергии жидкости: ^[8] где — единичная массовая энергия системы. $${\displaystyle {\dot {E}}={\dot {m}}e,}$$ ${\displaystyle e}$

Скорость потока энергии измеряется в системе СИ в килоджоулях в секунду или киловаттах .

Смотрите также

• Уравнение непрерывности
• Динамика жидкости
• Регулятор массового расхода
• Массовый расходомер
• Массовый поток
• Диафрагма
• Стандартные кубические сантиметры в минуту
• Тепловой массовый расходомер
• Объемный расход

Примечания

1. См., например, «Очерк механики жидкости» Шаума . ^[1]

Ссылки

1. Механика жидкостей, М. Поттер, Д. К. Виггарт, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2008, ISBN  978-0-07-148781-8 .
2. "ISO 80000-4:2019 Величины и единицы – Часть 4: Механика". ISO . Получено 2024-10-02 .
3. "Уравнение массового расхода жидкости". Engineers Edge .
4. "Массовый расход". Исследовательский центр Гленна . НАСА.
5. Линдебург М. Р. Справочное руководство по химической инженерии для экзамена PE. – Профессиональные публикации (CA), 2013.
6. Основные принципы физики, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2-е издание, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1 . 
7. Halliday; Resnick (1977). Физика . Т. 1. Wiley. стр. 199. ISBN 978-0-471-03710-1. Важно отметить, что мы не можем вывести общее выражение для второго закона Ньютона для систем переменной массы, рассматривая массу в F = d P / dt = d ( M v ) как переменную . [...] Мы можем использовать F = d P / dt для анализа систем переменной массы, только если применим его ко всей системе постоянной массы, имеющей части, между которыми происходит обмен массой.[Выделение как в оригинале]
8. Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A. (2002). Термодинамика: инженерный подход (4-е изд.). Бостон: McGraw-Hill. ISBN 0-07-238332-1. OCLC  45791449.