Уравнения движения поршня

Возвратно -поступательное движение несмещенного поршня, соединенного с вращающимся кривошипом через шатун (как это можно обнаружить в двигателях внутреннего сгорания ), можно выразить уравнениями движения . В этой статье показано, как эти уравнения движения можно вывести с помощью исчисления как функции угла ( угловая область ) и времени ( временная область ) .

Геометрия коленчатого вала

Геометрия системы, состоящей из поршня, штока и кривошипа, представлена ​​на следующей схеме:

Диаграмма, показывающая геометрическую компоновку поршневого пальца, шатунного пальца и центра кривошипа

Определения

Из геометрии, показанной на диаграмме выше, определены следующие переменные:

${\displaystyle l}$ Длина шатуна (расстояние между поршневым пальцем и шатунным пальцем )

${\displaystyle r}$ Радиус кривошипа (расстояние между центром кривошипа и шатунной шейкой, т.е. половина хода )

${\displaystyle A}$Угол поворота коленчатого вала (от оси цилиндра в ВМТ )

${\displaystyle x}$положение поршневого пальца (расстояние вверх от центра кривошипа вдоль осевой линии отверстия цилиндра)

Также определены следующие переменные:

${\displaystyle v}$скорость поршневого пальца (вверх от центра кривошипа вдоль центральной линии отверстия цилиндра)

${\displaystyle a}$ускорение поршневого пальца (вверх от центра кривошипа вдоль центральной линии отверстия цилиндра)

${\displaystyle \omega }$Угловая скорость кривошипа (в том же направлении/направлении, что и угол поворота кривошипа ) ${\displaystyle A}$

Угловая скорость

Частота ( Гц ) вращения коленчатого вала связана с частотой вращения двигателя ( оборотами в минуту ) следующим образом:

${\displaystyle \nu ={\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Таким образом, угловая скорость ( радианы /с) коленчатого вала равна:

${\displaystyle \omega =2\pi \cdot \nu =2\pi \cdot {\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Треугольное отношение

Как показано на схеме, шатунный палец , центр кривошипа и поршневой палец образуют треугольник NOP.
По закону косинуса видно, что:

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A}$

где и постоянны и изменяются по мере изменения. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Уравнения относительно углового положения (угол домен)

Уравнения угловой области выражаются как функции угла.

Вывод уравнений угловой области

Уравнения угловой области возвратно-поступательного движения поршня выводятся из уравнений геометрии системы следующим образом.

Положение (геометрия)

Положение относительно угла поворота коленчатого вала (из соотношения треугольника, достраивая квадрат , используя тождество Пифагора и переставляя):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A\\l^{2}-r^{2}=(x-r\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos ^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{2}\cdot \cos ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot (1-\cos ^{2}A)=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A=(x-r\cdot \cos A)^{2}\\x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\\\end{array}}}$

Скорость

Скорость относительно угла поворота кривошипа (возьмем первую производную , используя цепное правило ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\cdot \sin A+{\frac {({\frac {1}{2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\&=&-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\\end{array}}}$

Ускорение

Ускорение относительно угла поворота коленчатого вала (возьмем вторую производную , используя правило цепной функции и правило частного ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \left(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\right)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin ^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}$

Непростое гармоническое движение

Уравнения угловой области выше показывают, что движение поршня (связанного со штоком и кривошипом) не является простым гармоническим движением , а изменяется движением штока, когда он качается с вращением кривошипа. Это отличается от кулисного механизма , который напрямую производит простое гармоническое движение.

Примеры графиков

Примеры графиков уравнений угловой области показаны ниже.

Уравнения относительно времени (временная область)

Уравнения временной области выражаются как функции времени.

Производные угловой скорости

Угол связан со временем через угловую скорость следующим образом: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A=\omega t\,}$

Если угловая скорость постоянна, то: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\omega }$

и:

${\displaystyle {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0}$

Вывод уравнений во временной области

Уравнения временной области возвратно-поступательного движения поршня выводятся из уравнений угловой области следующим образом.

Позиция

Позиция относительно времени проста:

${\displaystyle x\,}$

Скорость

Скорость по времени (с использованием цепного правила ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}}$

Ускорение

Ускорение по времени (с использованием правила цепной функции и правила произведения , а также производных угловой скорости ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

Масштабирование угловой скорости

Из вышесказанного видно, что уравнения временной области являются просто масштабированными формами уравнений угловой области: немасштабировано, масштабировано на ω и масштабировано на ω² . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x''}$

Чтобы преобразовать уравнения угловой области во временную область, сначала замените A на ωt , а затем выполните масштабирование для угловой скорости следующим образом: умножьте на ω и умножьте на ω² . ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x''}$

Максимумы и минимумы скорости

По определению, максимумы и минимумы скорости возникают в нулях ускорения (пересечениях горизонтальной оси) .

Угол поворота коленчатого вала не прямой

Максимумы и минимумы скорости (см. переходы ускорения через ноль на графиках ниже) зависят от длины шатуна и половины хода и не возникают, когда угол поворота коленчатого вала прямой. ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

Угол кривошипа не прямой

Максимумы и минимумы скорости не обязательно возникают, когда кривошип образует прямой угол со стержнем. Существуют контрпримеры, опровергающие утверждение «максимумы и минимумы скорости возникают только тогда, когда угол кривошип-стержень прямой» .

Пример

Для длины стержня 6" и радиуса кривошипа 2" (как показано на примере графика ниже) численное решение нулевых переходов ускорения находит максимумы/минимумы скорости при углах поворота кривошипа ±73,17615°. Затем, используя закон треугольника синусов , находим, что угол между стержнем и вертикалью равен 18,60647°, а угол между кривошипом и шатуном равен 88,21738°. Очевидно, что в этом примере угол между кривошипом и шатуном не является прямым углом. Суммирование углов треугольника 88,21738° + 18,60647° + 73,17615° дает 180,00000°. Достаточно одного контрпримера, чтобы опровергнуть утверждение «максимумы/минимумы скорости возникают, когда кривошип образует прямой угол со шатуном» .

Примеры графиков движения поршня

Графы угловых доменов

На графиках ниже показаны уравнения угловой области для постоянной длины штока (6,0 дюймов) и различных значений половины хода (1,8 дюйма, 2,0 дюйма, 2,2 дюйма). Обратите внимание, что на графиках L — длина штока , а R — половина хода . ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle r}$

Единицы измерения вертикальной оси — дюймы для положения, [дюймы/рад] для скорости, [дюймы/рад²] для ускорения. Единицы измерения горизонтальной оси — градусы
угла поворота коленчатого вала .

Анимация

Ниже представлена ​​анимация уравнений движения поршня с теми же значениями длины штока и радиуса кривошипа, что и на графиках выше.

Анимация движения поршня с различными полуходами из графика выше (с использованием того же цветового кода)

Единицы удобства

Обратите внимание, что для автомобильного / хотродного варианта использования наиболее удобной (используемой энтузиастами) единицей длины для геометрии поршень-шток-кривошипно-шатунного механизма является дюйм , при этом типичные размеры составляют 6" (дюймов) длины штока и 2" (дюйм) радиуса кривошипа. В этой статье используются единицы измерения дюйм (") для положения, скорости и ускорения, как показано на графиках выше.

Смотрите также

• Шатун
• Коленчатый вал
• Уравнения движения
• Двигатель внутреннего сгорания
• Законы движения Ньютона
• Поршень
• Поршневой двигатель
• шотландский хомут
• Простое гармоническое движение
• Рычажный механизм «ползун-кривошип»

Ссылки

• Хейвуд, Джон Бенджамин (1988). Основы двигателей внутреннего сгорания (1-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0070286375.
• Тейлор, Чарльз Файетт (1985). Двигатель внутреннего сгорания в теории и практике, том 1 и 2 (2-е изд.). MIT Press. ISBN 978-0262700269.
• «Основы движения поршня @ epi-eng.com».

Внешние ссылки

• анимированные двигатели Анимированный двигатель Отто
• Desmos Interactive Stroke против положения поршня штока и производных
• desmos Интерактивная анимация кривошипа
• codecogs Скорость поршня и ускорение
• youtube Вращающийся двигатель SBC 350
• youtube 3D анимация двигателя V8
• youtube Внутри двигателя V8