Матрицы Гелл-Манна

Базис алгебры Ли SU(3)

Матрицы Гелл-Манна , разработанные Мюрреем Гелл-Манном , представляют собой набор из восьми линейно независимых бесследовых эрмитовых матриц размером 3×3 , используемых при изучении сильного взаимодействия в физике элементарных частиц . Они охватывают алгебру Ли группы SU(3) в определяющем представлении.

Матрицы

Характеристики

Эти матрицы являются бесследовыми , эрмитовыми и подчиняются дополнительному соотношению ортонормированности следов, поэтому они могут генерировать унитарные элементы группы матриц SU (3) посредством возведения в степень . ^[1] Эти свойства были выбраны Гелл-Манном, потому что они затем естественным образом обобщают матрицы Паули для SU(2) до SU(3), которые легли в основу кварковой модели Гелл-Манна . ^[2] Обобщение Гелл-Манна далее распространяется на общее SU( n ) . Информацию об их связи со стандартным базисом алгебр Ли см. в базисе Вейля – Картана .

Отследить ортонормированность

В математике ортонормальность обычно подразумевает норму, имеющую значение единицы (1). Матрицы Гелла-Манна, однако, нормированы на значение 2. Таким образом, след попарного произведения приводит к условию ортонормировки

${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij},}$

где находится дельта Кронекера . ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Таким образом, вложенные матрицы Паули, соответствующие трем вложенным подалгебрам SU (2), традиционно нормализуются. В этом трехмерном матричном представлении подалгебра Картана представляет собой набор линейных комбинаций (с действительными коэффициентами) двух матриц и , которые коммутируют друг с другом. ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{8}}$

Есть три важные подалгебры SU (2) :

• ${\displaystyle \{\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\}}$
• ${\displaystyle \{\lambda _{4},\lambda _{5},x\},}$и
• ${\displaystyle \{\lambda _{6},\lambda _{7},y\},}$

где x и y — линейные комбинации и . Казимиры SU(2) этих подалгебр коммутируют между собой. ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{8}}$

Однако любое унитарное преобразование подобия этих подалгебр даст подалгебры SU(2). Таких преобразований бесчисленное множество.

Коммутационные отношения

8 генераторов SU(3) удовлетворяют коммутационным и антикоммутационным соотношениям ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c}f^{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I+2\sum _{c}d^{abc}\lambda _{c},\end{aligned}}}$

со структурными константами

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{abc}&=-{\frac {1}{4}}i\operatorname {tr} (\lambda _{a}[\lambda _{b},\lambda _{c}]),\\d^{abc}&={\frac {1}{4}}\operatorname {tr} (\lambda _{a}\{\lambda _{b},\lambda _{c}\}).\end{aligned}}}$

Структурные константы полностью антисимметричны по трем индексам, обобщая антисимметрию символа Леви-Чивита SU (2) . Для данного порядка матриц Гелл-Манна они принимают значения ${\displaystyle f^{abc}}$ ${\displaystyle \epsilon _{jkl}}$

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

В общем, они оцениваются как ноль, если только они не содержат нечетное количество индексов из набора {2,5,7}, соответствующее антисимметричному (мнимому) λ s.

Используя эти коммутационные соотношения, произведение матриц Гелл-Манна можно записать как

${\displaystyle \lambda _{a}\lambda _{b}={\frac {1}{2}}([\lambda _{a},\lambda _{b}]+\{\lambda _{a},\lambda _{b}\})={\frac {2}{3}}\delta _{ab}I+\sum _{c}\left(d^{abc}+if^{abc}\right)\lambda _{c},}$

где I — единичная матрица.

Отношения полноты Фирца

Поскольку восемь матриц и единица представляют собой полный след-ортогональный набор, охватывающий все матрицы 3×3, легко найти два отношения полноты Фирца (Ли и Ченг, 4.134), аналогичные тому, которому удовлетворяют матрицы Паули . А именно, используя точку для суммирования по восьми матрицам и используя греческие индексы для индексов строк/столбцов, выполняются следующие тождества:

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }}$

и

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\lambda _{\delta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\beta }^{\gamma }~.}$

Можно предпочесть переработанную версию, полученную в результате линейной комбинации вышеизложенного:

${\displaystyle \lambda _{\beta }^{\alpha }\cdot \lambda _{\delta }^{\gamma }=2\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {2}{3}}\delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }~.}$

Теория представлений

Конкретный выбор матриц называется групповым представлением , поскольку любой элемент SU(3) можно записать в виде с использованием обозначений Эйнштейна , где восемь — действительные числа и подразумевается сумма по индексу j . Учитывая одно представление, эквивалентное можно получить с помощью произвольного унитарного преобразования подобия, поскольку при этом коммутатор остается неизменным. ${\displaystyle \mathrm {exp} (i\theta ^{j}g_{j})}$ ${\displaystyle \theta ^{j}}$

Матрицы могут быть реализованы как представление бесконечно малых генераторов специальной унитарной группы, называемой SU(3) . Алгебра Ли этой группы (фактически настоящая алгебра Ли) имеет размерность восемь и, следовательно, имеет некоторое множество с восемью линейно независимыми образующими, которые можно записать как , где i принимает значения от 1 до 8. ^[1] ${\displaystyle g_{i}}$

Операторы Казимира и инварианты

Квадрат суммы матриц Гелл-Манна дает квадратичный оператор Казимира , групповой инвариант,

${\displaystyle C=\sum _{i=1}^{8}\lambda _{i}\lambda _{i}={\frac {16}{3}}I}$

где – единичная матрица 3×3. Существует еще один независимый кубический оператор Казимира . ${\displaystyle I\,}$

Приложение к квантовой хромодинамике

Эти матрицы служат для изучения внутренних (цветовых) вращений глюонных полей , связанных с цветными кварками квантовой хромодинамики (ср. цвета глюона ). Вращение калибровочного цвета — это зависящий от пространства-времени элемент группы SU(3), где подразумевается суммирование по восьми индексам k . ${\displaystyle \;U=\exp({\frac {\ i\ }{2}}\ \theta ^{k}({\mathbf {r} },t)\ \lambda _{k})\;,}$

Смотрите также

• элемент Казимира
• Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)
• Обобщения матриц Паули
• Представления группы
• Убийственная форма
• Матрицы Паули
• Кутрит
• СУ(3)

Рекомендации

1. Стефан Шерер; Матиас Р. Шиндлер (31 мая 2005 г.). «Букварь по киральной теории возмущений». п. 1–2. arXiv : hep-ph/0505265 .
2. Дэвид Гриффитс (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.) . Джон Уайли и сыновья . стр. 283–288, 366–369. ISBN 978-3-527-40601-2.
3. Хабер, Ховард. «Свойства матриц Гелл-Манна» (PDF) . Физика 251 Теория групп и современная физика . Калифорнийский университет в Санта-Крус . Проверено 1 апреля 2019 г.

• Гелл-Манн, Мюррей (1 февраля 1962 г.). «Симметрии барионов и мезонов». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 125 (3): 1067–1084. Бибкод : 1962PhRv..125.1067G. дои : 10.1103/physrev.125.1067 . ISSN  0031-899X.
• Ченг, Т.-П.; Ли, Л.-Ф. (1983). Калибровочная теория физики элементарных частиц . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-851961-3.
• Георгий, Х. (1999). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Вествью Пресс . ISBN 978-0-7382-0233-4.
• Арфкен, Великобритания; Вебер, Х.Дж.; Харрис, FE (2000). Математические методы для физиков (7-е изд.). Академическая пресса . ISBN 978-0-12-384654-9.
• Коккеди, JJJ (1969). Модель Кварка . В. А. Бенджамин . LCCN  69014391.