Матричная механика

Формулировка квантовой механики

Матричная механика — это формулировка квантовой механики, созданная Вернером Гейзенбергом , Максом Борном и Паскуалем Джорданом в 1925 году. Это была первая концептуально автономная и логически последовательная формулировка квантовой механики. Ее описание квантовых скачков вытеснило электронные орбиты модели Бора . Это было сделано путем интерпретации физических свойств частиц как матриц , которые эволюционируют во времени. Она эквивалентна волновой формулировке Шредингера квантовой механики, как это проявляется в скобочной нотации Дирака .

В некотором контрасте с волновой формулировкой, она производит спектры операторов (в основном энергии) чисто алгебраическими методами лестничных операторов . ^[1] Опираясь на эти методы, Вольфганг Паули вывел спектр атома водорода в 1926 году ^[2] до развития волновой механики.

Развитие матричной механики

В 1925 году Вернер Гейзенберг , Макс Борн и Паскуаль Жордан сформулировали матричную механику, представляющую квантовую механику.

Богоявление на Гельголанде

В 1925 году Вернер Гейзенберг работал в Гёттингене над проблемой расчета спектральных линий водорода . К маю 1925 года он начал пытаться описывать атомные системы только с помощью наблюдаемых величин . 7 июня, после недель безуспешных попыток облегчить сенную лихорадку аспирином и кокаином, ^[3] Гейзенберг отправился на свободный от пыльцы остров Гельголанд в Северном море . Там, между скалолазанием и заучиванием стихотворений из « Западно-восточного дивана» Гете , он продолжал размышлять над спектральной проблемой и в конце концов понял, что принятие некоммутирующих наблюдаемых величин может решить проблему. Позже он писал:

Было около трех часов ночи, когда окончательный результат расчета лежал передо мной. Сначала я был глубоко потрясен. Я был так взволнован, что не мог думать о сне. Поэтому я вышел из дома и стал ждать восхода солнца на вершине скалы. ^{[4] : 275}

Три фундаментальных документа

Вернувшись в Гёттинген, Гейзенберг показал Вольфгангу Паули свои расчеты, заметив в какой-то момент:

Для меня все еще все смутно и неясно, но кажется, что электроны больше не будут двигаться по орбитам. ^[5]

9 июля Гейзенберг передал ту же самую статью своих вычислений Максу Борну, сказав, что «он написал безумную статью и не осмелился отправить ее для публикации, и что Борн должен прочитать ее и дать ему совет» перед публикацией. Затем Гейзенберг на некоторое время ушел, оставив Борна анализировать статью. ^[6]

В статье Гейзенберг сформулировал квантовую теорию без резких электронных орбит. Хендрик Крамерс ранее вычислил относительные интенсивности спектральных линий в модели Зоммерфельда, интерпретируя коэффициенты Фурье орбит как интенсивности. Но его ответ, как и все другие вычисления в старой квантовой теории , был верен только для больших орбит .

Гейзенберг, после сотрудничества с Крамерсом, ^[7] начал понимать, что вероятности перехода не являются вполне классическими величинами, потому что единственные частоты, которые появляются в рядах Фурье, должны быть теми, которые наблюдаются в квантовых скачках, а не вымышленными, которые возникают из Фурье-анализирующих острых классических орбит. Он заменил классический ряд Фурье матрицей коэффициентов, размытым квантовым аналогом ряда Фурье. Классически коэффициенты Фурье дают интенсивность испускаемого излучения , поэтому в квантовой механике величина матричных элементов оператора положения была интенсивностью излучения в ярко-линейном спектре. Величины в формулировке Гейзенберга были классическими положением и импульсом, но теперь они больше не были четко определены. Каждая величина была представлена ​​набором коэффициентов Фурье с двумя индексами, соответствующими начальному и конечному состояниям. ^[8]

Когда Борн прочитал статью, он узнал формулировку как ту, которую можно было бы переписать и расширить до систематического языка матриц , ^[9] которую он изучил во время своего обучения у Якоба Розанеса ^[10] в Университете Бреслау . Борн, с помощью своего помощника и бывшего студента Паскуаля Джордана, немедленно приступил к транскрипции и расширению, и они представили свои результаты для публикации; статья была получена для публикации всего через 60 дней после статьи Гейзенберга. ^[11]

Последующая статья была представлена ​​для публикации до конца года всеми тремя авторами. ^[12] (Краткий обзор роли Борна в разработке формулировки матричной механики квантовой механики вместе с обсуждением ключевой формулы, включающей некоммутативность амплитуд вероятности, можно найти в статье Джереми Бернстайна . ^[13] Подробный исторический и технический отчет можно найти в книге Мехры и Рехенберга « Историческое развитие квантовой теории. Том 3. Формулировка матричной механики и ее модификации 1925–1926». ^[14] )

Три основных документа:

• В. Гейзенберг, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879–893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN  0-486-61881-1 (английское название: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
• М. Борн и П. Джордан, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics ).] 
• М. Борн, В. Гейзенберг и П. Джордан, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557–615, 1926 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: On Quantum Mechanics II ).] 

До этого времени матрицы редко использовались физиками; считалось, что они принадлежат к области чистой математики. Густав Ми использовал их в статье по электродинамике в 1912 году, а Борн использовал их в своей работе по теории решеток кристаллов в 1921 году. Хотя матрицы использовались в этих случаях, алгебра матриц с их умножением не входила в картину, как это было в матричной формулировке квантовой механики. ^[15]

Однако Борн, как уже отмечалось, изучал матричную алгебру у Розанеса, но Борн также изучил теорию интегральных уравнений и квадратичных форм Гильберта для бесконечного числа переменных, как это было очевидно из цитаты Борном работы Гильберта Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen, опубликованной в 1912 году. ^{[16] [17]}

Джордан тоже был хорошо подготовлен к этой задаче. В течение ряда лет он был помощником Рихарда Куранта в Геттингене при подготовке книги Куранта и Давида Гильберта Methoden der mathematischen Physik I , которая была опубликована в 1924 году ^{. [18]} Эта книга, по счастливой случайности, содержала множество математических инструментов, необходимых для дальнейшего развития квантовой механики.

В 1926 году Джон фон Нейман стал помощником Дэвида Гильберта и ввел термин « пространство Гильберта» для описания алгебры и анализа, которые использовались при разработке квантовой механики. ^{[19] [20]}

Решающий вклад в эту формулировку был внесен в работе Дирака по переосмыслению/синтезу 1925 года ^[21] , в которой были изобретены язык и структура, обычно используемые сегодня, в полной мере демонстрирующие некоммутативную структуру всей конструкции.

Рассуждения Гейзенберга

До появления матричной механики старая квантовая теория описывала движение частицы по классической орбите с четко определенным положением и импульсом X ( t ), P ( t ), с ограничением, что временной интеграл за один период T от импульса, умноженного на скорость, должен быть положительным целым числом, кратным постоянной Планка. Хотя это ограничение правильно выбирает орбиты с более или менее правильными значениями энергии _En , старый формализм квантовой механики не описывал зависящие от времени процессы, такие как испускание или поглощение излучения. $${\displaystyle \int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh.}$$

Когда классическая частица слабо связана с полем излучения, так что затуханием излучения можно пренебречь, она будет испускать излучение в шаблоне, который повторяется каждый орбитальный период . Частоты, составляющие исходящую волну, тогда являются целыми кратными орбитальной частоты, и это является отражением того факта, что X ( t ) является периодическим, так что ее представление Фурье имеет частоты только 2π n / T. Коэффициенты X _n являются комплексными числами . Те, у которых отрицательные частоты, должны быть комплексно сопряженными числами тех, у которых положительные частоты, так что X ( t ) всегда будет действительным, $${\displaystyle X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n}.}$$ $${\displaystyle X_{n}=X_{-n}^{*}.}$$

С другой стороны, квантово-механическая частица не может непрерывно испускать излучение; она может испускать только фотоны. Предполагая, что квантовая частица начала движение на орбите номер n , испустила фотон, а затем оказалась на орбите номер m , энергия фотона равна _En − E m _, что означает, что ее частота равна ₍ En − E m ₎ / h .

Для больших n и m , но при относительно малых n − m , это классические частоты по принципу соответствия Бора. В приведенной выше формуле T — классический период либо орбиты n, либо орбиты m , поскольку разница между ними имеет более высокий порядок по h . Но для малых n и m или при больших n − m частоты не являются целыми кратными какой-либо одной частоты. $${\displaystyle E_{n}-E_{m}\approx h(n-m)/T.}$$

Поскольку частоты, которые излучает частица, совпадают с частотами в описании Фурье ее движения, это говорит о том, что что-то в зависящем от времени описании частицы колеблется с частотой ( E _n − E _m )/ h . Гейзенберг назвал эту величину X _nm и потребовал, чтобы она сводилась к классическим коэффициентам Фурье в классическом пределе. Для больших значений n , m , но при относительно малых n − m , X _nm является ( n − m ) -м коэффициентом Фурье классического движения на орбите n . Поскольку X _nm имеет противоположную частоту по отношению к X _mn , условие того, что X является действительным, становится $${\displaystyle X_{nm}=X_{mn}^{*}.}$$

По определению, X _нм имеет только частоту ( E _n − E _m )/ h , поэтому ее временная эволюция проста: Это исходная форма уравнения движения Гейзенберга. $${\displaystyle X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)=e^{i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }X_{nm}(0).}$$

Учитывая два массива X _nm и P _nm, описывающих две физические величины, Гейзенберг мог сформировать новый массив того же типа, объединив члены X _nk P _km , которые также колеблются с правильной частотой. Поскольку коэффициенты Фурье произведения двух величин являются сверткой коэффициентов Фурье каждой из них в отдельности, соответствие с рядами Фурье позволило Гейзенбергу вывести правило, по которому массивы должны умножаться, $${\displaystyle (XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn}.}$$

Борн указал, что это закон умножения матриц , так что положение, импульс, энергия, все наблюдаемые величины в теории интерпретируются как матрицы. Согласно этому правилу умножения, произведение зависит от порядка: XP отличается от PX .

Матрица X является полным описанием движения квантово-механической частицы. Поскольку частоты в квантовом движении не кратны общей частоте, матричные элементы не могут быть интерпретированы как коэффициенты Фурье острой классической траектории . Тем не менее, как матрицы, X ( t ) и P ( t ) удовлетворяют классическим уравнениям движения; см. также теорему Эренфеста ниже.

Основы матрицы

Когда в 1925 году ее ввели Вернер Гейзенберг, Макс Борн и Паскуаль Йордан, матричная механика не была сразу принята и поначалу была источником споров. Позднее введение Шредингером волновой механики получило большую поддержку.

Частично это было связано с тем, что формулировка Гейзенберга была на странном математическом языке, в то время как формулировка Шредингера основывалась на знакомых волновых уравнениях. Но была и более глубокая социологическая причина. Квантовая механика развивалась двумя путями: один из них возглавлял Эйнштейн, который подчеркивал корпускулярно-волновой дуализм, предложенный им для фотонов, а другой — Бор, который подчеркивал дискретные энергетические состояния и квантовые скачки, открытые Бором. Де Бройль воспроизвел дискретные энергетические состояния в рамках Эйнштейна — квантовое состояние — это состояние стоячей волны, и это дало надежду тем, кто был в школе Эйнштейна, что все дискретные аспекты квантовой механики будут включены в непрерывную волновую механику.

Матричная механика, с другой стороны, пришла из школы Бора, которая занималась дискретными энергетическими состояниями и квантовыми скачками. Последователи Бора не ценили физические модели, которые изображали электроны как волны или как что-либо вообще. Они предпочитали сосредоточиться на величинах, которые были напрямую связаны с экспериментами.

В атомной физике спектроскопия давала наблюдательные данные об атомных переходах, возникающих при взаимодействии атомов с квантами света . Школа Бора требовала, чтобы в теории фигурировали только те величины, которые в принципе можно было измерить с помощью спектроскопии. Эти величины включают уровни энергии и их интенсивности, но они не включают точное местоположение частицы на ее боровской орбите. Очень трудно представить себе эксперимент, который мог бы определить, находится ли электрон в основном состоянии атома водорода справа или слева от ядра. Было глубокое убеждение, что на такие вопросы нет ответа.

Матричная формулировка была построена на предпосылке, что все физические наблюдаемые представлены матрицами, элементы которых индексируются двумя различными уровнями энергии. ^[22] В конечном итоге было решено, что набор собственных значений матрицы — это набор всех возможных значений, которые может иметь наблюдаемая. Поскольку матрицы Гейзенберга являются эрмитовыми , собственные значения являются действительными.

Если измеряется наблюдаемая величина и результатом является определенное собственное значение, соответствующий собственный вектор является состоянием системы сразу после измерения. Акт измерения в матричной механике «коллапсирует» состояние системы. Если одновременно измеряются две наблюдаемые величины, состояние системы коллапсирует к общему собственному вектору двух наблюдаемых величин. Поскольку большинство матриц не имеют общих собственных векторов, большинство наблюдаемых величин никогда не могут быть измерены точно в одно и то же время. Это принцип неопределенности .

Если две матрицы разделяют свои собственные векторы, они могут быть одновременно диагонализированы. В базисе, где они обе диагональны, ясно, что их произведение не зависит от их порядка, поскольку умножение диагональных матриц — это просто умножение чисел. Принцип неопределенности, напротив, является выражением того факта, что часто две матрицы A и B не всегда коммутируют, т. е. что AB − BA не обязательно равно 0. Фундаментальное коммутационное соотношение матричной механики подразумевает, что не существует состояний, которые одновременно имеют определенное положение и импульс . $${\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})=i\hbar \,\delta _{nm}}$$

Этот принцип неопределенности справедлив и для многих других пар наблюдаемых величин. Например, энергия также не коммутирует с положением, поэтому невозможно точно определить положение и энергию электрона в атоме.

Нобелевская премия

В 1928 году Альберт Эйнштейн выдвинул Гейзенберга, Борна и Джордана на Нобелевскую премию по физике . ^[23] Объявление о присуждении Нобелевской премии по физике за 1932 год было отложено до ноября 1933 года. ^[24] Именно в это время было объявлено, что Гейзенберг получил премию за 1932 год «за создание квантовой механики, применение которой, в частности , привело к открытию аллотропных форм водорода» ^[25] , а Эрвин Шредингер и Поль Адриен Морис Дирак разделили премию 1933 года «за открытие новых продуктивных форм атомной теории». ^[25]

Можно было бы задаться вопросом, почему Борн не был удостоен премии в 1932 году вместе с Гейзенбергом, и Бернстайн предлагает предположения по этому поводу. Одно из них касается вступления Джордана в нацистскую партию 1 мая 1933 года и становления штурмовиком . ^[26] Партийная принадлежность Джордана и его связи с Борном вполне могли повлиять на шансы Борна на премию в то время. Бернстайн далее отмечает, что когда Борн наконец получил премию в 1954 году, Джордан был еще жив, в то время как премия была присуждена за статистическую интерпретацию квантовой механики, приписываемую одному Борну. ^[27]

Реакция Гейзенберга на Борна, получившего премию Гейзенберга за 1932 год, и на Борна, получившего премию в 1954 году, также поучительна для оценки того, должен ли был Борн разделить премию с Гейзенбергом. 25 ноября 1933 года Борн получил письмо от Гейзенберга, в котором тот сказал, что задержался с написанием из-за «нечистой совести», что он один получил премию «за работу, проделанную в Гёттингене в сотрудничестве – вы, Йордан и я». Гейзенберг продолжил, сказав, что вклад Борна и Йордана в квантовую механику не может быть изменен «неправильным решением извне». ^[28]

В 1954 году Гейзенберг написал статью, в которой отдал дань уважения Максу Планку за его прозрение, сделанное в 1900 году. В этой статье Гейзенберг воздал должное Борну и Джордану за окончательную математическую формулировку матричной механики, а затем подчеркнул, насколько велик был их вклад в квантовую механику, который не был «должным образом признан в глазах общественности». ^[29]

Математическое развитие

После того, как Гейзенберг ввел матрицы для X и P , он мог находить их матричные элементы в особых случаях методом догадок, руководствуясь принципом соответствия. Поскольку матричные элементы являются квантово-механическими аналогами коэффициентов Фурье классических орбит, простейшим случаем является гармонический осциллятор , где классические положение и импульс, X ( t ) и P ( t ), являются синусоидальными.

Гармонический осциллятор

В единицах, где масса и частота осциллятора равны единице (см. обезразмеривание ), энергия осциллятора равна $${\displaystyle H={1 \over 2}\left(P^{2}+X^{2}\right).}$$

Уровни H — это орбиты по часовой стрелке, и они представляют собой вложенные окружности в фазовом пространстве. Классическая орбита с энергией E — это $${\displaystyle X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.}$$

Старое квантовое условие диктует, что интеграл P dX по орбите, который является площадью круга в фазовом пространстве, должен быть целым кратным постоянной Планка . Площадь круга радиусом √ 2 E равна 2 πE . Таким образом , или, в натуральных единицах , где ħ = 1 , энергия является целым числом. $${\displaystyle E={\frac {nh}{2\pi }}=n\hbar \,,}$$

Компоненты Фурье X ( t ) и P ( t ) просты, и тем более, если их объединить в величины A и A † ^имеют только одну частоту, а X и P можно восстановить из их суммы и разности . $${\displaystyle A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t)-iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}.}$$

Так как A ( t ) имеет классический ряд Фурье только с самой низкой частотой, а матричный элемент A _mn является ( m − n ) -м коэффициентом Фурье классической орбиты, матрица для A отлична от нуля только на линии чуть выше диагонали, где она равна √ 2 E _n . Матрица для A ^† также отлична от нуля только на линии ниже диагонали, с теми же элементами. Таким образом, из A и A ^† реконструкция дает и , которые, с точностью до выбора единиц, являются матрицами Гейзенберга для гармонического осциллятора. Обе матрицы являются эрмитовыми , поскольку они построены из коэффициентов Фурье действительных величин. $${\displaystyle {\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\hbar }}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\hbar }}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix}},}$$

Найти X ( t ) и P ( t ) можно напрямую, поскольку они являются квантовыми коэффициентами Фурье, поэтому они просто изменяются со временем, $${\displaystyle X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.}$$

Матричное произведение X и P не является эрмитовым, но имеет действительную и мнимую части. Действительная часть составляет половину симметричного выражения XP + PX , тогда как мнимая часть пропорциональна коммутатору . Легко явно проверить, что XP − PX в случае гармонического осциллятора равно iħ , умноженному на тождество . $${\displaystyle [X,P]=(XP-PX).}$$

Аналогично легко проверить, что матрица является диагональной матрицей с собственными значениями E _i . $${\displaystyle H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})}$$

Сохранение энергии

Гармонический осциллятор является важным случаем. Нахождение матриц проще, чем определение общих условий из этих специальных форм. По этой причине Гейзенберг исследовал ангармонический осциллятор с гамильтонианом $${\displaystyle H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\varepsilon X^{3}~.}$$

В этом случае матрицы X и P больше не являются простыми недиагональными матрицами, поскольку соответствующие классические орбиты слегка сплющены и смещены, так что они имеют коэффициенты Фурье на каждой классической частоте. Для определения матричных элементов Гейзенберг потребовал, чтобы классические уравнения движения выполнялись как матричные уравнения, $${\displaystyle {dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\varepsilon X^{2}~.}$$

Он заметил, что если бы это можно было сделать, то H , рассматриваемая как матричная функция X и P , имела бы нулевую производную по времени. где A ∗ B — антикоммутатор , $${\displaystyle {dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\varepsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,}$$ $${\displaystyle A*B={1 \over 2}(AB+BA)~.}$$

Учитывая, что все недиагональные элементы имеют ненулевую частоту; постоянство H подразумевает, что H диагональна. Гейзенбергу было ясно, что в этой системе энергия может точно сохраняться в произвольной квантовой системе, что было весьма обнадеживающим признаком.

Процесс испускания и поглощения фотонов, казалось, требовал, чтобы сохранение энергии выполнялось в лучшем случае в среднем. Если волна, содержащая ровно один фотон, проходит над некоторыми атомами, и один из них поглощает его, этот атом должен сообщить другим, что они больше не могут поглощать фотон. Но если атомы находятся далеко друг от друга, никакой сигнал не может достичь других атомов вовремя, и они могут в конечном итоге поглотить тот же фотон и рассеять энергию в окружающую среду. Когда сигнал достигнет их, другие атомы должны будут каким-то образом вернуть эту энергию. Этот парадокс заставил Бора, Крамерса и Слейтера отказаться от точного сохранения энергии. Формализм Гейзенберга, расширенный для включения электромагнитного поля, очевидно, собирался обойти эту проблему, намек на то, что интерпретация теории будет включать коллапс волновой функции .

Трюк дифференциации — канонические коммутационные соотношения

Требование сохранения классических уравнений движения не является достаточно сильным условием для определения матричных элементов. Постоянная Планка не появляется в классических уравнениях, так что матрицы могут быть построены для многих различных значений ħ и по-прежнему удовлетворять уравнениям движения, но с различными уровнями энергии.

Итак, для реализации своей программы Гейзенбергу нужно было использовать старое квантовое условие для фиксации уровней энергии, затем заполнить матрицы коэффициентами Фурье классических уравнений, затем немного изменить матричные коэффициенты и уровни энергии, чтобы убедиться, что классические уравнения удовлетворяются. Это явно неудовлетворительно. Старые квантовые условия относятся к области, ограниченной острыми классическими орбитами, которые не существуют в новом формализме.

Самое важное, что открыл Гейзенберг, — это то, как перевести старое квантовое условие в простое утверждение матричной механики.

Для этого он исследовал интеграл действия как матричную величину, $${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\approx }}\,\,J_{mn}~.}$$

С этим интегралом связано несколько проблем, все из которых вытекают из несовместимости матричного формализма со старой картиной орбит. Какой период T следует использовать? Полуклассически это должен быть либо m, либо n , но разница составляет порядок ħ , и ищется ответ для порядка ħ . Квантовое условие говорит нам, что J _mn равен 2π n на диагонали, поэтому тот факт, что J является классически постоянным, говорит нам, что недиагональные элементы равны нулю.

Его важнейшим открытием было дифференцирование квантового состояния по n . Эта идея имеет полный смысл только в классическом пределе, где n — не целое число, а непрерывная переменная действия J , но Гейзенберг выполнил аналогичные манипуляции с матрицами, где промежуточные выражения иногда являются дискретными разностями, а иногда производными.

В дальнейшем обсуждении для ясности дифференцирование будет производиться по классическим переменным, а переход к матричной механике будет осуществляться впоследствии, руководствуясь принципом соответствия.

В классической постановке производная является производной по J интеграла, который определяет J , поэтому она тавтологически равна 1. где производные dP / dJ и dX / dJ следует интерпретировать как разности по J в соответствующие моменты времени на соседних орбитах, что в точности соответствует тому, что было бы получено, если бы коэффициенты Фурье орбитального движения были дифференцированы. (Эти производные симплектически ортогональны в фазовом пространстве производным по времени dP / dt и dX / dt ). $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)\\&=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\end{aligned}}}$$

Окончательное выражение поясняется введением переменной, канонически сопряженной с J , которая называется угловой переменной θ : Производная по времени является производной по θ с точностью до множителя 2π T , поэтому интеграл квантового условия является средним значением за один цикл скобки Пуассона X и P. $${\displaystyle {2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.}$$

Аналогичное дифференцирование ряда Фурье P dX показывает, что все недиагональные элементы скобки Пуассона равны нулю. Скобка Пуассона двух канонически сопряженных переменных, таких как X и P , является постоянным значением 1, поэтому этот интеграл на самом деле является средним значением 1; так что он равен 1, как мы знали с самого начала, потому что в конце концов он равен dJ/dJ . Но Гейзенберг, Борн и Джордан, в отличие от Дирака, не были знакомы с теорией скобок Пуассона, поэтому для них дифференцирование эффективно оценивалось { X, P } в координатах J, θ .

Скобка Пуассона, в отличие от интеграла действия, имеет простой перевод в матричную механику — она обычно соответствует мнимой части произведения двух переменных, коммутатору .

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим (антисимметризованное) произведение двух матриц A и B в пределе соответствия, где элементы матрицы являются медленно меняющимися функциями индекса, имея в виду, что ответ в классическом смысле равен нулю.

В пределе соответствия, когда индексы m , n велики и близки, а k , r малы, скорость изменения матричных элементов в диагональном направлении является матричным элементом производной J соответствующей классической величины. Таким образом, возможно сместить любой матричный элемент по диагонали через соответствие, где правая сторона на самом деле является только ( m − n )-й компонентой Фурье dA / dJ на орбите вблизи m этого полуклассического порядка, а не полной хорошо определенной матрицей. $${\displaystyle A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}}$$

Квазиклассическая производная по времени матричного элемента получается с точностью до множителя i путем умножения на расстояние от диагонали, поскольку коэффициент A _{m ( m + k )} является квазиклассическим k -м коэффициентом Фурье m -й классической орбиты. $${\displaystyle ikA_{m(m+k)}\approx \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \over d\theta }\right)_{m(m+k)}\,.}$$

Мнимую часть произведения A и B можно оценить, сдвинув элементы матрицы так, чтобы воспроизвести классический ответ, равный нулю.

Тогда ведущий ненулевой остаток полностью определяется сдвигом. Поскольку все элементы матрицы находятся в индексах, которые находятся на небольшом расстоянии от позиции большого индекса ( m , m ), это помогает ввести два временных обозначения: A [ r , k ] = A _{( m + r )( m + k )} для матриц и ( dA / dJ )[ r ] для r'-х компонентов Фурье классических величин, $${\displaystyle {\begin{aligned}(AB-BA)[0,k]&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k]B[0,r]\right)\\&=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(r-k){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0,k-r]+r{dB \over dJ}[r-k]\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.\end{aligned}}}$$

Перевернув переменную суммирования в первой сумме с r на r ′ = k − r , получаем матричный элемент, и становится ясно, что главная (классическая) часть сокращается. $${\displaystyle \sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[k-r']\;)\left(\;B[0,r']+(k-r'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]}$$

Тогда главная квантовая часть, пренебрегая произведением производных высшего порядка в остаточном выражении, равна так что, наконец, что можно отождествить с i , умноженным на k -ю классическую компоненту Фурье скобки Пуассона. $${\displaystyle \sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](k-r')A[r',k]-{dA \over dJ}[k-r']r'B[0,r']\right)}$$ $${\displaystyle (AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[k-r']-{dA \over dJ}[k-r']i{dB \over d\theta }[r']\right)}$$

Оригинальный трюк Гейзенберга с дифференциацией был в конечном итоге расширен до полного полуклассического вывода квантового условия в сотрудничестве с Борном и Джорданом. Как только они смогли установить, что это условие заменило и расширило старое правило квантования, позволяя определять матричные элементы P и X для произвольной системы просто из формы гамильтониана. $${\displaystyle i\hbar \{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX=i\hbar \,,}$$

Новое правило квантования считалось универсально верным , хотя вывод из старой квантовой теории требовал полуклассических рассуждений. (Однако в 1940-х годах было признано, что полное квантовое рассмотрение для более сложных аргументов скобок равносильно расширению скобок Пуассона до скобок Мойала .)

Векторы состояния и уравнение Гейзенберга

Для перехода к стандартной квантовой механике наиболее важным дополнительным дополнением стал вектор квантового состояния , теперь записываемый как | ψ ⟩, который является вектором, на который действуют матрицы. Без вектора состояния неясно, какое конкретное движение описывают матрицы Гейзенберга, поскольку они включают все движения где-то.

Интерпретация вектора состояния, компоненты которого записываются как ψ _m , была предоставлена ​​Борном. Эта интерпретация является статистической: результат измерения физической величины, соответствующей матрице A, является случайным, со средним значением, равным Альтернативно, и эквивалентно, вектор состояния дает амплитуду вероятности ψ _n для того, чтобы квантовая система находилась в энергетическом состоянии n . $${\displaystyle \sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}\,.}$$

После того, как был введен вектор состояния, матричную механику можно было вращать к любому базису , где матрица H больше не должна быть диагональной. Уравнение движения Гейзенберга в его первоначальной форме утверждает, что A _mn эволюционирует во времени как компонент Фурье, который можно переписать в дифференциальной форме , и его можно переформулировать так, чтобы оно было верным в произвольном базисе, отметив, что матрица H диагональна с диагональными значениями E _m , Теперь это матричное уравнение, поэтому оно справедливо в любом базисе. Это современная форма уравнения движения Гейзенберга. $${\displaystyle A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,}$$ $${\displaystyle {dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,}$$ $${\displaystyle {dA \over dt}=i(HA-AH)~.}$$

Его формальное решение: $${\displaystyle A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.}$$

Все эти формы уравнения движения, приведенные выше, говорят об одном и том же: A ( t ) эквивалентно A (0) посредством базисного вращения посредством унитарной матрицы e ^iHt , систематическая картина, разъясненная Дираком в его скобочной нотации.

Наоборот, вращая базис для вектора состояния в каждый момент времени на e ^iHt , можно отменить зависимость от времени в матрицах. Матрицы теперь не зависят от времени, но вектор состояния вращается. Это уравнение Шредингера для вектора состояния, и это зависящее от времени изменение базиса равносильно преобразованию в картину Шредингера с ⟨ x | ψ ⟩ = ψ ( x ). $${\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH|\psi \rangle \,.}$$

В квантовой механике в представлении Гейзенберга вектор состояния , | ψ ⟩ не меняется со временем, в то время как наблюдаемая величина A удовлетворяет уравнению движения Гейзенберга ,

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.}$

Дополнительный термин предназначен для таких операторов , которые имеют явную зависимость от времени , в дополнение к зависимости от времени от обсуждаемой унитарной эволюции. $${\displaystyle A=(X+t^{2}P)}$$

Картина Гейзенберга не различает время и пространство, поэтому она лучше подходит для релятивистских теорий, чем уравнение Шредингера. Более того, сходство с классической физикой более очевидно: уравнения движения Гамильтона для классической механики восстанавливаются путем замены коммутатора выше скобкой Пуассона (см. также ниже). По теореме Стоуна–фон Неймана , картина Гейзенберга и картина Шредингера должны быть унитарно эквивалентны, как подробно описано ниже.

Дальнейшие результаты

Матричная механика быстро развилась в современную квантовую механику и дала интересные физические результаты по спектрам атомов.

Волновая механика

Джордан отметил, что коммутационные соотношения гарантируют, что P действует как дифференциальный оператор .

Тождество оператора позволяет оценить коммутатор P с любой степенью X , и это подразумевает , что вместе с линейностью следует, что P -коммутатор эффективно дифференцирует любую аналитическую матричную функцию X. $${\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}$$ $${\displaystyle [P,X^{n}]=-in~X^{n-1}}$$

Если предположить, что пределы определены разумно, то это распространяется на произвольные функции, но расширение не обязательно должно быть явным, пока не потребуется определенная степень математической строгости.

${\displaystyle [P,f(X)]=-if'(X)\,.}$

Поскольку X — эрмитова матрица, она должна быть диагонализируемой, и из конечной формы P будет ясно , что каждое действительное число может быть собственным значением. Это делает некоторые математические выкладки тонкими, поскольку для каждой точки пространства существует отдельный собственный вектор.

В базисе, где X диагонален, произвольное состояние можно записать как суперпозицию состояний с собственными значениями x , так что ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩, а оператор X умножает каждый собственный вектор на x , $${\displaystyle |\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,,}$$ $${\displaystyle X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.}$$

Определим линейный оператор D , который дифференцирует ψ , и заметим, что так, чтобы оператор − iD подчинялся тому же коммутационному соотношению, что и P. Таким образом, разность между P и − iD должна коммутировать с X , поэтому ее можно одновременно диагонализировать с X : ее значение, действующее на любое собственное состояние X, является некоторой функцией f собственного значения x . $${\displaystyle D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,,}$$ $${\displaystyle (DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\right)'-x\psi '(x)\right]|x\rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,,}$$ $${\displaystyle [P+iD,X]=0\,,}$$

Эта функция должна быть действительной, поскольку и P, и − iD являются эрмитовыми, вращая каждое состояние на фазу f ( x ) , то есть переопределяя фазу волновой функции: Оператор iD переопределяется на величину: что означает, что в повернутом базисе P равен − iD . $${\displaystyle (P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,,}$$ ${\displaystyle |x\rangle }$ $${\displaystyle \psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,.}$$ $${\displaystyle iD\rightarrow iD+f(X)\,,}$$

Следовательно, всегда существует базис для собственных значений X , где действие P на любую волновую функцию известно: и гамильтониан в этом базисе является линейным дифференциальным оператором на компонентах вектора состояния, $${\displaystyle P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,,}$$ $${\displaystyle \left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle }$$

Таким образом, уравнение движения для вектора состояния представляет собой не что иное, как знаменитое дифференциальное уравнение,

${\displaystyle i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{t}(x)\,.}$

Поскольку D является дифференциальным оператором, для того, чтобы он был разумно определен, должны быть собственные значения X , которые соседствуют с каждым заданным значением. Это предполагает, что единственная возможность состоит в том, что пространство всех собственных значений X — это все действительные числа, и что P — это iD, с точностью до фазового поворота .

Чтобы сделать это строгим, требуется разумное обсуждение предельного пространства функций, и в этом пространстве это теорема Стоуна–фон Неймана : любые операторы X и P , которые подчиняются коммутационным соотношениям, можно заставить действовать на пространстве волновых функций, где P — производный оператор. Это подразумевает, что картина Шредингера всегда доступна.

Матричная механика легко распространяется на многие степени свободы естественным образом. Каждая степень свободы имеет отдельный оператор X и отдельный эффективный дифференциальный оператор P , а волновая функция является функцией всех возможных собственных значений независимых коммутирующих переменных X. $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X_{i},X_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[P_{i},P_{j}\right]&=0\\[1ex]\left[X_{i},P_{j}\right]&=i\delta _{ij}\,.\end{aligned}}}$$

В частности, это означает, что система из N взаимодействующих частиц в 3 измерениях описывается одним вектором, компоненты которого в базисе, где все X являются диагональными, является математической функцией 3 N -мерного пространства, описывающей все их возможные положения , фактически гораздо большим набором значений , чем простой набор N трехмерных волновых функций в одном физическом пространстве. Шредингер пришел к тому же выводу независимо и в конечном итоге доказал эквивалентность своего собственного формализма формализму Гейзенберга.

Поскольку волновая функция является свойством всей системы, а не какой-либо ее части, описание в квантовой механике не является полностью локальным. Описание нескольких квантовых частиц делает их коррелированными или запутанными . Эта запутанность приводит к странным корреляциям между удаленными частицами, которые нарушают классическое неравенство Белла .

Даже если частицы могут находиться только в двух положениях, волновая функция для N частиц требует 2 ^N комплексных чисел, по одному для каждой общей конфигурации положений. Это экспоненциально много чисел в N , поэтому моделирование квантовой механики на компьютере требует экспоненциальных ресурсов. И наоборот, это предполагает, что можно найти квантовые системы размера N , которые физически вычисляют ответы на задачи, для решения которых классически требуется 2 ^N бит. Это стремление, лежащее в основе квантовых вычислений .

Теорема Эренфеста

Для независимых от времени операторов X и P , ∂ A /∂ t = 0 , поэтому уравнение Гейзенберга выше сводится к: ^[30] где квадратные скобки [ , ] обозначают коммутатор. Для гамильтониана, который есть , операторы X и P удовлетворяют: где первый классически является скоростью , а второй классически является силой , или градиентом потенциала . Они воспроизводят форму Гамильтона законов движения Ньютона . В картине Гейзенберга операторы X и P удовлетворяют классическим уравнениям движения. Вы можете взять математическое ожидание обеих сторон уравнения, чтобы увидеть, что в любом состоянии | ψ ⟩: $${\displaystyle i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA,}$$ ${\displaystyle p^{2}/2m+V(x)}$ $${\displaystyle {dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle \\[1.5ex]{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle &={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.\end{aligned}}}$$

Итак, законы Ньютона точно соблюдаются ожидаемыми значениями операторов в любом заданном состоянии. Это теорема Эренфеста , которая является очевидным следствием уравнений движения Гейзенберга, но менее тривиальна в картине Шредингера, где Эренфест ее открыл.

Теория трансформации

В классической механике каноническое преобразование координат фазового пространства — это такое преобразование, которое сохраняет структуру скобок Пуассона. Новые переменные x ′, p ′ имеют те же скобки Пуассона друг с другом, что и исходные переменные x , p . Эволюция во времени — это каноническое преобразование, поскольку фазовое пространство в любой момент времени является таким же хорошим выбором переменных, как и фазовое пространство в любой другой момент времени.

Гамильтонов поток — это каноническое преобразование : $${\displaystyle {\begin{aligned}x&\rightarrow x+dx=x+{\frac {\partial H}{\partial p}}dt\\[1ex]p&\rightarrow p+dp=p-{\frac {\partial H}{\partial x}}dt~.\end{aligned}}}$$

Поскольку гамильтониан может быть произвольной функцией x и p , существуют такие бесконечно малые канонические преобразования, соответствующие каждой классической величине G , где G служит гамильтонианом для генерации потока точек в фазовом пространстве для приращения времени s , $${\displaystyle {\begin{aligned}dx&={\frac {\partial G}{\partial p}}ds=\left\{G,X\right\}ds\\[1ex]dp&=-{\frac {\partial G}{\partial x}}ds=\left\{G,P\right\}ds\,.\end{aligned}}}$$

Для общей функции A ( x , p ) на фазовом пространстве ее бесконечно малое изменение на каждом шаге ds при этом отображении равно Величина G называется бесконечно малым генератором канонического преобразования. $${\displaystyle dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.}$$

В квантовой механике квантовый аналог G теперь представляет собой эрмитову матрицу, а уравнения движения задаются коммутаторами, $${\displaystyle dA=i[G,A]ds\,.}$$

Бесконечно малые канонические движения могут быть формально интегрированы, подобно тому, как было проинтегрировано уравнение движения Гейзенберга, где U = e ^iGs , а s — произвольный параметр. $${\displaystyle A'=U^{\dagger }AU}$$

Определение квантового канонического преобразования, таким образом, представляет собой произвольное унитарное изменение базиса в пространстве всех векторов состояния. U — произвольная унитарная матрица, комплексное вращение в фазовом пространстве. Эти преобразования оставляют сумму абсолютного квадрата компонент волновой функции инвариантной , в то время как они переводят состояния, которые являются кратными друг другу (включая состояния, которые являются мнимыми кратными друг другу), в состояния, которые являются одинаковыми кратными друг другу. $${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}\,.}$$

Интерпретация матриц заключается в том, что они действуют как генераторы движений в пространстве состояний .

Например, движение, генерируемое P , можно найти, решив уравнение движения Гейзенберга, используя P в качестве гамильтониана. Это переносы матрицы X на множитель единичной матрицы. Это интерпретация оператора производной D : e ^iPs = e ^D , экспонента оператора производной является переносом (то есть оператором сдвига Лагранжа ). $${\displaystyle {\begin{aligned}dX&=i[X,P]ds=ds\\[1ex]dP&=i[P,P]ds=0\,.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle X\rightarrow X+sI~.}$$

Оператор X также генерирует трансляции в P. Гамильтониан генерирует трансляции во времени , угловой момент генерирует вращения в физическом пространстве , а оператор X ² + P ² генерирует вращения в фазовом пространстве .

Когда преобразование, например, вращение в физическом пространстве, коммутирует с гамильтонианом, преобразование называется симметрией ( после вырождения) гамильтониана – гамильтониан, выраженный в терминах повернувшихся координат, совпадает с исходным гамильтонианом. Это означает, что изменение гамильтониана под действием бесконечно малого генератора симметрии L исчезает, $${\displaystyle {dH \over ds}=i[L,H]=0\,.}$$

Из этого следует, что изменение генератора при переносе во времени также исчезает, так что матрица L постоянна во времени: она сохраняется. $${\displaystyle {dL \over dt}=i[H,L]=0}$$

Взаимно-однозначная связь бесконечно малых генераторов симметрии и законов сохранения была открыта Эмми Нётер для классической механики, где коммутаторы являются скобками Пуассона , но квантово-механические рассуждения идентичны. В квантовой механике любое унитарное преобразование симметрии приводит к закону сохранения, поскольку если матрица U обладает свойством , то отсюда следует, что и что производная по времени от U равна нулю – она сохраняется. $${\displaystyle U^{-1}HU=H}$$ $${\displaystyle UH=HU}$$

Собственные значения унитарных матриц являются чистыми фазами, так что значение унитарной сохраняющейся величины является комплексным числом единичной величины, а не действительным числом. Другими словами, унитарная матрица является экспонентой i , умноженной на эрмитову матрицу, так что аддитивная сохраняющаяся действительная величина, фаза, хорошо определена только до целого числа, кратного 2π . Только когда унитарная матрица симметрии является частью семейства, которое произвольно приближается к тождеству, сохраняющиеся действительные величины являются однозначными, и тогда требование их сохранения становится гораздо более строгим ограничением.

Симметрии, которые могут быть непрерывно связаны с тождеством, называются непрерывными , и трансляции, вращения и усиления являются примерами. Симметрии, которые не могут быть непрерывно связаны с тождеством, являются дискретными , и операция пространственной инверсии, или четности , и сопряжения зарядов являются примерами.

Интерпретация матриц как генераторов канонических преобразований принадлежит Полю Дираку. ^[31] Юджин Вигнер показал, что соответствие между симметриями и матрицами является полным, если включить антиунитарные матрицы, описывающие симметрии, включающие обращение времени.

Правила отбора

Гейзенбергу было физически ясно, что абсолютные квадраты матричных элементов X , которые являются коэффициентами Фурье колебания, дадут скорость испускания электромагнитного излучения.

В классическом пределе больших орбит, если заряд с позицией X ( t ) и зарядом q колеблется рядом с равным и противоположным зарядом в позиции 0, мгновенный дипольный момент равен q X ( t ) , а изменение этого момента во времени напрямую переводится в пространственно-временное изменение векторного потенциала, что приводит к вложенным исходящим сферическим волнам.

Для атомов длина волны излучаемого света примерно в 10 000 раз больше атомного радиуса, а дипольный момент является единственным вкладом в радиационное поле, в то время как все остальные детали распределения атомного заряда можно игнорировать.

Игнорируя обратную реакцию, мощность, излучаемая в каждой исходящей моде, представляет собой сумму отдельных вкладов квадрата каждой независимой временной моды Фурье d , $${\displaystyle P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.}$$

Теперь, в представлении Гейзенберга, коэффициенты Фурье дипольного момента являются матричными элементами X. Это соответствие позволило Гейзенбергу установить правило для интенсивностей переходов, доли времени, в течение которого, начиная с начального состояния i , испускается фотон и атом переходит в конечное состояние j , $${\displaystyle P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.}$$

Это позволило затем статистически интерпретировать величину матричных элементов: они дают интенсивность спектральных линий, вероятность квантовых скачков при испускании дипольного излучения .

Поскольку скорости перехода задаются матричными элементами X , то везде, где X _ij равен нулю, соответствующий переход должен отсутствовать. Это называлось правилами отбора , которые были загадкой до появления матричной механики.

Произвольное состояние атома водорода, игнорирующее спин, обозначается как | n ; ℓ , m ⟩, где значение ℓ является мерой полного орбитального углового момента, а m является его z -компонентой, которая определяет ориентацию орбиты. Компоненты псевдовектора углового момента являются , где произведения в этом выражении не зависят от порядка и действительны, поскольку различные компоненты X и P коммутируют. $${\displaystyle L_{i}=\varepsilon _{ijk}X^{j}P^{k}}$$

Легко найти коммутационные соотношения оператора L со всеми тремя координатными матрицами X , Y , Z ( или с любым вектором), что подтверждает, что оператор L генерирует вращения между тремя компонентами вектора координатных матриц X. $${\displaystyle [L_{i},X_{j}]=i\varepsilon _{ijk}X_{k}\,,}$$

Отсюда можно прочитать коммутатор L _z и координатные матрицы X , Y , Z, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X\right]&=iY\,,\\[1ex]\left[L_{z},Y\right]&=-iX\,.\end{aligned}}}$$

Это означает, что величины X + iY , X − iY имеют простое правило коммутации, $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L_{z},X+iY\right]&=(X+iY)\,,\\[1ex]\left[L_{z},X-iY\right]&=-(X-iY)\,.\end{aligned}}}$$

Так же, как и матричные элементы X + iP и X − iP для гамильтониана гармонического осциллятора, этот закон коммутации подразумевает, что эти операторы имеют только определенные недиагональные матричные элементы в состояниях определенного m , что означает, что матрица ( X + iY ) переводит собственный вектор L _z с собственным значением m в собственный вектор с собственным значением m + 1. Аналогично, ( X − iY ) уменьшает m на одну единицу, в то время как Z не изменяет значение m . $${\displaystyle L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X+iY)|m\rangle }$$

Итак, в базисе | ℓ , m ⟩ состояний, где L ² и L _z имеют определенные значения, матричные элементы любого из трех компонентов позиции равны нулю, за исключением случаев, когда m остается тем же самым или изменяется на одну единицу.

Это накладывает ограничение на изменение полного углового момента. Любое состояние можно повернуть так, чтобы его угловой момент находился в направлении z как можно больше, где m = ℓ . Матричный элемент положения, действующий на | ℓ , m ⟩, может производить только значения m , которые больше на одну единицу, так что если координаты повернуть так, чтобы конечное состояние было | ℓ',ℓ' ⟩, значение ℓ' может быть не более чем на единицу больше, чем наибольшее значение ℓ, которое возникает в начальном состоянии. Таким образом, ℓ ' не более ℓ + 1.

Матричные элементы обращаются в нуль при ℓ ' > ℓ + 1 , а обратный матричный элемент определяется эрмитовостью, поэтому они обращаются в нуль также при ℓ' < ℓ − 1: Дипольные переходы запрещены при изменении углового момента более чем на одну единицу.

Правила суммирования

Уравнение движения Гейзенберга определяет матричные элементы P в базисе Гейзенберга из матричных элементов X , что превращает диагональную часть коммутационного соотношения в правило сумм для величины матричных элементов: $${\displaystyle P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,,}$$ $${\displaystyle \sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=i\,.}$$

Это дает соотношение для суммы спектроскопических интенсивностей в и из любого заданного состояния, хотя для полной корректности в сумму необходимо включить вклады вероятности радиационного захвата для состояний несвязанного рассеяния: $${\displaystyle \sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,.}$$

Смотрите также

• Интерактивная картинка
• Обозначение скобок
• Введение в квантовую механику
• Вход Гейзенберга в матричную механику

Ссылки

1. Герберт С. Грин (1965). Матричная механика (P. Noordhoff Ltd, Гронинген, Нидерланды) ASIN: B0006BMIP8.
2. Паули, W (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik . 36 (5): 336–363. Бибкод : 1926ZPhy...36..336P. дои : 10.1007/BF01450175. S2CID  128132824.
3. Рехенберг, Хельмут (2010). Вернер Гейзенберг – «Пространство атома». Leben und Wirken . Спрингер. п. 322. ИСБН 978-3-540-69221-8.
4. Пайс, Абрахам (1993). Времена Нильса Бора: в физике, философии и политике (переиздание). Оксфорд: Кларендон. ISBN 978-0-19-852049-8.
5. "IQSA Международная ассоциация квантовых структур". www.vub.be . Получено 2020-11-13 .
6. В. Гейзенберг, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (получено 29 июля 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, «Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (английское название: «Квантово-теоретическая переинтерпретация кинематических и механических отношений»).] 
7. HA Kramers und W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).
8. Эмилио Сегре, От рентгеновских лучей до кварков: современные физики и их открытия (WH Freeman and Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , стр. 153–157. 
9. Авраам Пайс, «Времена Нильса Бора в физике, философии и политике» (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , стр. 275–279. 
10. Макс Борн – Нобелевская лекция (1954)
11. М. Борн и П. Джордан, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (получено 27 сентября 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, «Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ] 
12. М. Борн, В. Гейзенберг и П. Джордан, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557–615, 1925 (получено 16 ноября 1925 г.). [Английский перевод: Б.Л. ван дер Варден, редактор, «Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ] 
13. Джереми Бернстайн Макс Борн и квантовая теория , Am. J. Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)
14. Мехра, Том 3 (Springer, 2001)
15. Джаммер, 1966, стр. 206-207.
16. ван дер Варден, 1968, с. 51.
17. Цитата Борна была в статье Борна и Джордана, второй статье в трилогии, которая положила начало формулировке матричной механики. См. van der Waerden, 1968, стр. 351.
18. Констанс Рид Курант (Springer, 1996) стр. 93.
19. Джон фон Нейман Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49–131 (1929)
20. Когда фон Нейман покинул Гёттинген в 1932 году, его книга о математических основах квантовой механики, основанная на математике Гильберта, была опубликована под названием Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . См.: Norman Macrae, John von Neumann: The Scientific Genius Who Pioneered the Modern Computer, Game Theory, Nuclear Deterrence, and Much More (переиздано Американским математическим обществом, 1999) и Constance Reid, Hilbert (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 . 
21. PAM Dirac, "Основные уравнения квантовой механики", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического и физического характера , 109 (752), 642-653 (1925), онлайн
22. Фань, Касталий; Замик, Ларри (июль 2021 г.). «Матричная модель: возникновение квантового числа в режиме сильной связи». International Journal of Modern Physics E . 30 (07): 2150059. arXiv : 2107.11200 . doi :10.1142/S0218301321500592.
23. Бернштейн, 2004, стр. 1004.
24. Гринспен, 2005, стр. 190.
25. Нобелевская премия по физике и 1933 год – Речь на вручении Нобелевской премии.
26. Бернштейн, 2005, стр. 1004.
27. Бернштейн, 2005, стр. 1006.
28. Гринспен, 2005, стр. 191.
29. Гринспен, 2005, стр. 285-286.
30. Квантовая механика, Э. Аберс, редактор Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
31. Дирак, П. А. М. (1981). Принципы квантовой механики (4-е пересмотренное издание). Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5.

Дальнейшее чтение

• Бернстайн, Джереми (2005). «Макс Борн и квантовая теория». Американский журнал физики . 73 (11). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 999–1008. Bibcode : 2005AmJPh..73..999B. doi : 10.1119/1.2060717 . ISSN  0002-9505.
• Макс Борн Статистическая интерпретация квантовой механики . Нобелевская лекция – 11 декабря 1954 г.
• Нэнси Торндайк Гринспен, « Конец определенного мира: жизнь и наука Макса Борна » (Basic Books, 2005) ISBN 0-7382-0693-8 . Также опубликовано в Германии: Макс Борн - Baumeister der Quantenwelt. Eine Biography (Spektrum Akademischer Verlag, 2005), ISBN 3-8274-1640-X .  
• Макс Джаммер. Концептуальное развитие квантовой механики (McGraw-Hill, 1966)
• Джагдиш Мехра и Хельмут Рехенберг Историческое развитие квантовой теории. Том 3. Формулировка матричной механики и ее модификации 1925–1926. (Springer, 2001) ISBN 0-387-95177-6 
• Б.Л. ван дер Варден, редактор журнала « Источники квантовой механики» (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 
• Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. (2004). «Понимание «магической» статьи Гейзенберга июля 1925 года: новый взгляд на детали вычислений». American Journal of Physics . 72 (11). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 1370–1379. arXiv : quant-ph/0404009 . doi :10.1119/1.1775243. ISSN  0002-9505. S2CID  53118117.
• Томас Ф. Джордан, Квантовая механика в простой матричной форме , (Dover Publications, 2005) ISBN 978-0486445304 
• Мерцбахер, Э. (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Am. J. Phys . 36 (9): 814–821. doi :10.1119/1.1975154.

Внешние ссылки

• Обзор матричной механики
• Матричные методы в квантовой механике
• Гейзенберг Квантовая механика Архивировано 2010-02-16 в Wayback Machine (Истоки теории и ее историческое развитие 1925–27)
• Вернер Гейзенберг, интервью на радио CBC, 1970 г.
• О Матричной Механике на MathPages