Доска Гальтона , также известная как ящик Гальтона или квинконс или бобовая машина , — это устройство, изобретенное сэром Фрэнсисом Гальтоном [1] для демонстрации центральной предельной теоремы , в частности того, что при достаточном размере выборки биномиальное распределение приближается к нормальному распределению . Среди его применений он позволил понять регресс к среднему значению или «возвращение к посредственности».
Доска Гальтона представляет собой вертикальную доску с чередующимися рядами колышков. Бусины падают сверху и, когда устройство выровнено, подпрыгивают влево или вправо, ударяясь о колышки. В конце концов они собираются в бункеры внизу, где высота столбцов шариков, накопленных в бункерах, приближается к колоколообразной кривой . Наложение треугольника Паскаля на булавки показывает количество различных путей, которыми можно пройти, чтобы добраться до каждого контейнера. [2]
Крупномасштабные рабочие модели этого устройства, созданные Чарльзом и Рэем Имсами, можно увидеть на выставке Mathematica: A World of Numbers... and Beyond, которая постоянно выставлена в Бостонском музее науки , Нью-Йоркском зале науки или Музей Генри Форда . [3] Машина Музея Форда была выставлена в павильоне IBM во время Всемирной выставки в Нью-Йорке 1964-65 годов , а затем появилась в Тихоокеанском научном центре в Сиэтле. [4] [5] Еще одна крупномасштабная версия выставлена в вестибюле Index Fund Advisors в Ирвине, Калифорния . [6]
Платы можно сконструировать для других распределений, изменив форму контактов или сместив их в одном направлении, и возможны даже бимодальные платы. [7] Доска для логарифмически нормального распределения (распространенная во многих естественных процессах , особенно биологических), которая использует равнобедренные треугольники различной ширины для «умножения» расстояния, которое проходит шарик, вместо шагов фиксированного размера, которые будут «суммироваться», была построена Якобусом Каптейном при изучении и популяризации статистики логнормального закона, чтобы помочь визуализировать его и продемонстрировать его правдоподобие. [8] По состоянию на 1963 год он хранился в Гронингенском университете . [9] Существует также улучшенная логарифмически нормальная машина, которая использует перекошенные треугольники, чьи правые стороны длиннее, что позволяет избежать смещения медианы бусинок влево. [10]
Если бусинка отскакивает вправо k раз на пути вниз (и влево на остальных колышках), она попадает в k- ю ячейку, считая слева. Обозначая количество строк колышков в доске Гальтона через n , количество путей к k -му контейнеру внизу определяется биномиальным коэффициентом . Обратите внимание, что самая левая ячейка — это 0 -ячейка, рядом с ней — 1 -ячейка и т. д., а самая дальняя справа — это n -ячейка, таким образом, общее количество ячеек равно n+1 (каждая строка не обязательно должно иметь больше привязок, чем число, идентифицирующее саму строку, например, первая строка имеет 1 привязку, вторая - 2 привязки, пока не появится n -я строка, имеющая n привязок, которые соответствуют n+1 ячейкам). Если вероятность отскока прямо от колышка равна p (которая равна 0,5 на несмещенной нивелирной машине), вероятность того, что мяч окажется в k- м ящике, равна . Это функция вероятности биномиального распределения . Количество строк соответствует размеру биномиального распределения количества испытаний, а вероятность p каждого контакта — это биномиальное p .
Согласно центральной предельной теореме (точнее, теореме Муавра–Лапласа ), биномиальное распределение приближается к нормальному распределению при условии, что количество строк и количество шаров велики. Изменение строк приведет к разным стандартным отклонениям или ширине колоколообразной кривой или нормальному распределению в интервалах.
Другая интерпретация, более точная с физической точки зрения, дается энтропией : поскольку энергия, переносимая каждой падающей бусинкой, конечна, то даже на любом кончике их столкновения хаотичны, потому что производная не определена (невозможно заранее вычислить вне зависимости от того, какая сторона упадет), среднее значение и дисперсия каждого компонента ограничены до конечности (они никогда не выходят за пределы поля), поэтому возникает гауссова форма, потому что это максимальное распределение вероятностей энтропии для непрерывного процесса. с определенным средним значением и дисперсией. Таким образом, рост нормального распределения можно интерпретировать как то, что вся возможная информация, которую несет каждый боб и связанная с тем, по какому пути он движется, уже полностью потеряна в результате их столкновений на спуске.
_-_Galton_1889_diagram.png/1280px-Quincunx_(Galton_Box)_-_Galton_1889_diagram.png)
Сэр Фрэнсис Гальтон был очарован порядком колоколообразной кривой, возникающей из кажущегося хаоса бусинок, отскакивающих от колышков на доске Гальтона. Он описал эти отношения в своей книге «Естественное наследование» (1889) в причудливых терминах:
Порядок в кажущемся хаосе. Я едва ли знаю что-либо, столь же способное поразить воображение, как чудесная форма космического порядка, выраженная Законом Частоты Ошибок. Закон был бы персонифицирован греками и обожествлен, если бы они знали о нем. Оно царит безмятежно и в полном самоуничижении среди самой дикой неразберихи. Чем огромнее толпа и чем больше кажущаяся анархия, тем совершеннее ее власть. Это высший закон Неразумия. Всякий раз, когда большая выборка хаотических элементов берется в руки и распределяется по порядку их величины, оказывается, что неожиданная и самая красивая форма регулярности все это время была скрытой. [1] : 66
Было разработано несколько игр, в которых используется идея кеглей, изменяющих маршрут мячей или других объектов:
.jpg/1280px-Tabuleiros_de_Galton_(antes_e_depois).jpg)
