Маятник (механика)

Свободно качающееся подвешенное тело

Анимация маятника, показывающая векторы скорости и ускорения .

Маятник – это тело , подвешенное к неподвижной опоре так, что оно свободно раскачивается вперед и назад под действием силы тяжести. Когда маятник смещается вбок из своего положения покоя, равновесия, на него действует восстанавливающая сила гравитации, которая ускоряет его обратно к положению равновесия. При отпускании восстанавливающая сила, действующая на массу маятника, заставляет его колебаться около положения равновесия, раскачивая его вперед и назад. Математика маятников вообще довольно сложна. Можно сделать упрощающие предположения, которые в случае простого маятника позволяют аналитически решать уравнения движения при малоугловых колебаниях.

Простой гравитационный маятник.

Простой гравитационный маятник ^[1] ​​представляет собой идеализированную математическую модель реального маятника. ^{[2] [3] [4]} Это груз (или боб ) на конце невесомого шнура, подвешенного на шарнире без трения . Поскольку в этой модели нет потерь энергии на трение, при заданном начальном смещении оно будет раскачиваться вперед и назад с постоянной амплитудой . Модель основана на следующих предположениях:

• Стержень или шнур, на котором качается боб, невесом, нерастяжим и всегда остается натянутым.
• Боб – это точечная масса.
• Движение происходит только в двух измерениях , т.е. боб движется не по эллипсу , а по дуге .
• Движение не теряет энергию из-за трения или сопротивления воздуха .
• Гравитационное поле однородно.
• Опора не двигается.

Дифференциальное уравнение , описывающее движение простого маятника, имеет вид

где g — величина гравитационного поля , ℓ — длина стержня или шнура, а θ — угол от вертикали к маятнику.

Вывод «силы» ( уравнение 1 )

Рисунок 1. Силовая диаграмма простого гравитационного маятника.

Рассмотрим рисунок 1 справа, на котором показаны силы, действующие на простой маятник. Обратите внимание, что путь маятника очерчивает дугу круга. Угол θ измеряется в радианах , и это имеет решающее значение для этой формулы. Синяя стрелка — это гравитационная сила , действующая на груз, а фиолетовые стрелки — это та же самая сила, разделенная на компоненты, параллельные и перпендикулярные мгновенному движению груза. Направление мгновенной скорости боба всегда указывает на красную ось, которая считается тангенциальной осью, поскольку ее направление всегда касается окружности. Рассмотрим второй закон Ньютона :

$${\displaystyle F=ma}$$

где F — сумма сил, действующих на объект, m — масса, а — ускорение. Поскольку нас интересуют только изменения скорости, а боб вынужден оставаться на круговой траектории, мы применяем уравнение Ньютона только к касательной оси. Короткая фиолетовая стрелка представляет собой компонент гравитационной силы на тангенциальной оси, и для определения ее величины можно использовать тригонометрию. Таким образом,

$${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

где g — ускорение силы тяжести вблизи поверхности Земли. Знак минус в правой части означает, что θ и a всегда направлены в противоположные стороны. Это имеет смысл, поскольку, когда маятник качнулся дальше влево, мы ожидаем, что он ускорится обратно вправо.

Это линейное ускорение a вдоль красной оси можно связать с изменением угла θ по формулам длины дуги; s — длина дуги:

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$

таким образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

Вывод «крутящего момента» ( уравнение 1 )

Уравнение (1) можно получить, используя два определения крутящего момента.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}.}$$

Сначала начните с определения крутящего момента на качании маятника, используя силу гравитации.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {l} \times \mathbf {F} _{\mathrm {g} },}$$

где l — вектор длины маятника, а F _g — сила тяжести.

А пока просто рассмотрим величину крутящего момента маятника.

$${\displaystyle |{\boldsymbol {\tau }}|=-mg\ell \sin \theta ,}$$

где m — масса маятника, g — ускорение свободного падения, l — длина маятника, а θ — угол между вектором длины и силой тяжести.

Далее перепишем угловой момент.

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =m\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ).}$$

Опять же, просто рассмотрим величину углового момента.

$${\displaystyle |\mathbf {L} |=mr^{2}\omega =m\ell ^{2}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

и ее производная по времени

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|\mathbf {L} |=m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$$

Согласно τ =д л/DT, мы можем получить, сравнивая величины

$${\displaystyle -mg\ell \sin \theta =m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},}$$

таким образом:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,}$$

что является тем же результатом, что и полученный при анализе сил.

Вывод «энергии» ( уравнение 1 )

Рисунок 2. Тригонометрия простого гравитационного маятника.

Его также можно получить, используя принцип сохранения механической энергии : любой объект, падающий на вертикальное расстояние, приобретет кинетическую энергию , равную той, которую он потерял при падении. Другими словами, гравитационная потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию. Изменение потенциальной энергии определяется выражением ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

Изменение кинетической энергии (тело стартовало из состояния покоя) определяется выражением

$${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

Поскольку энергия не теряется, выигрыш в одном должен быть равен потерям в другом.

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

Изменение скорости при данном изменении высоты можно выразить как

$${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

Используя приведенную выше формулу длины дуги, это уравнение можно переписать в терминахdθ/DT:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$

где h — расстояние по вертикали, на котором упал маятник. Посмотрите на рисунок 2, на котором представлена ​​тригонометрия простого маятника. Если маятник начинает качаться под некоторым начальным углом θ ₀ , то y ₀ , расстояние по вертикали от винта, определяется выражением

$${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

Аналогично, для y ₁ имеем

$${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

Тогда h - это разница двух

$${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

С точки зренияdθ/DTдает

Это уравнение известно как первый интеграл движения . Оно определяет скорость в зависимости от местоположения и включает константу интегрирования, связанную с начальным смещением ( θ ₀ ). Мы можем дифференцировать, применяя правило цепочки , по времени, чтобы получить ускорение

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

что является тем же результатом, что и полученный при анализе сил.

Малоугловое приближение

Малоугловое приближение для синусоидальной функции: для θ ≈ 0 находим sin θ ≈ θ .

Приведенное выше дифференциальное уравнение нелегко решить, и не существует решения, которое можно было бы записать в терминах элементарных функций. Однако добавление ограничения на размер амплитуды колебаний дает форму, решение которой легко получить. Если предполагается, что угол намного меньше 1  радиана (часто упоминается как менее 0,1 радиана, около 6 °), или

$${\displaystyle \theta \ll 1,}$$

sin θуравнение. 1малоуглового приближения

$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$

гармонического осциллятора

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

Ошибка аппроксимации имеет порядок θ ³ (из разложения Тейлора для sin θ ).

Пусть начальный угол равен θ ₀ . Если предположить, что маятник выпущен с нулевой угловой скоростью , решение будет иметь вид

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\,t\right)\quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1.}$

Движение представляет собой простое гармоническое движение , где θ ₀ — амплитуда колебания (т. е. максимальный угол между стержнем маятника и вертикалью). Тогда соответствующий приблизительный период движения будет

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\quad \quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1}$

который известен как закон Христиана Гюйгенса того периода. Заметим, что в малоугловом приближении период не зависит от амплитуды θ ₀ ; это свойство изохронности , открытое Галилеем .

Эмпирическое правило длины маятника

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$

$${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

Если используются единицы измерения СИ (т.е. измерения в метрах и секундах) и предполагается, что измерения происходят на поверхности Земли, то g ≈ 9,81 м/с ² , иг/π ²≈ 1 м/с ² (0,994 – приближение до 3-х знаков после запятой).

Следовательно, относительно разумными приближениями длины и периода являются:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$

Т ₀двумяl

Период произвольной амплитуды

Рис. 3. Отклонение «истинного» периода маятника от малоуглового приближения периода. «Истинное» значение было получено путем численной оценки эллиптического интеграла.

Рисунок 4. Относительные ошибки с использованием степенного ряда за период.

Рис. 5. Потенциальная энергия и фазовый портрет простого маятника. Обратите внимание, что ось x , будучи углом, сворачивается сама на себя после каждых 2 π радиан.

Для амплитуд, выходящих за пределы приближения малого угла , можно вычислить точный период, сначала инвертировав уравнение для угловой скорости, полученное с помощью энергетического метода ( уравнение 2 ),

$${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$

$${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$

$${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$

$${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$

$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

Обратите внимание, что этот интеграл расходится по мере приближения θ ₀ к вертикали.

$${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$

Этот интеграл можно переписать в терминах эллиптических интегралов как

$${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$

Fнеполный эллиптический интеграл первого рода,

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Или, более кратко, заменой

$${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$

θu

${\displaystyle T={\frac {2T_{0}}{\pi }}K(k),\qquad {\text{where}}\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$ уравнение 3

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода, определяемый формулой

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

Для сравнения приближения с полным решением рассмотрим период маятника длиной 1 м на Земле ( g =9,806 65  м/с ² ) при начальном угле 10 градусов составляет

$${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

Разница между двумя значениями, составляющая менее 0,2%, намного меньше, чем разница, вызванная изменением g в зависимости от географического положения.

Отсюда есть много способов приступить к вычислению эллиптического интеграла.

Полиномиальное решение Лежандра для эллиптического интеграла

Учитывая уравнение. 3 и полиномиальное решение Лежандра для эллиптического интеграла:

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}}$$

н !! двойной факториал

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}}$$

На рисунке 4 показаны относительные ошибки с использованием степенного ряда. Т ₀ представляет собой линейное приближение, а Т ₂ - Т ₁₀ включают соответственно члены со 2-й по 10-ю степени.

Решение степенного ряда для эллиптического интеграла

Другую формулировку приведенного выше решения можно найти, если рассматривать следующий ряд Маклорена:

$${\displaystyle \sin {\frac {\theta _{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\theta _{0}-{\frac {1}{48}}\theta _{0}^{3}+{\frac {1}{3\,840}}\theta _{0}^{5}-{\frac {1}{645\,120}}\theta _{0}^{7}+\cdots .}$$

^[5]

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right),}$$

Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей,OEIS : A223067OEIS : A223068

Среднее арифметико-геометрическое решение эллиптического интеграла

Учитывая уравнение. 3 и среднее арифметико-геометрическое решение эллиптического интеграла:

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1-k,1+k)}},}$$

M ( x , y )xy

Это дает альтернативную и более быстро сходящуюся формулу для периода: ^{[6] [7] [8]}

$${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$$

Первая итерация этого алгоритма дает

$${\displaystyle T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.}$$

Это приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 96,11 градусов. ^[6] Поскольку выражение можно записать более кратко как ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$

$${\displaystyle T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.}$$

Разложение второго порядка сводится к ${\displaystyle \sec ^{2}(\theta _{0}/4)}$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

Вторая итерация этого алгоритма дает

$${\displaystyle T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.}$$

Это второе приближение имеет относительную погрешность менее 1% для углов до 163,10 градусов. ^[6]

Приближенные формулы для периода нелинейного маятника

Хотя точный период может быть определен для любой конечной амплитуды рад путем вычисления соответствующего полного эллиптического интеграла где , этого часто избегают в приложениях, поскольку невозможно выразить этот интеграл в замкнутой форме через элементарные функции. Это открыло путь для исследования простых приближенных формул увеличения периода маятника с амплитудой (полезных в лабораторных работах по вводной физике, классической механике, электромагнетизму, акустике, электронике, сверхпроводимости и т. д. ^[9] Приближенные формулы, найденные разными авторами, могут классифицировать следующим образом: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ ${\displaystyle K(k)}$ ${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$

• Формулы «не очень большого угла», то есть те, которые дают хорошие оценки для амплитуд ниже рад (естественный предел для боба на конце гибкой струны), хотя отклонение по отношению к точному периоду монотонно увеличивается с амплитудой, что является непригодным. для амплитуд близких к рад. Одной из простейших формул, встречающихся в литературе, является формула Лимы (2006): , где . ^[10] ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ ${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$
• Формулы «очень большого угла», т. е. те, которые асимптотически аппроксимируют точный период для амплитуд, близких к рад, с ошибкой, монотонно возрастающей для меньших амплитуд (т. е. непригодными для малых амплитуд). Одной из лучших таких формул является формула Кромера, а именно: ^[11] . ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$

Конечно, рост с амплитудой более заметен при , как это наблюдалось во многих экспериментах с использованием либо жесткого стержня, либо диска. ^[12] Поскольку точные таймеры и датчики в настоящее время доступны даже в лабораториях начальной физики, экспериментальные ошибки, обнаруженные в экспериментах «с очень большим углом», уже достаточно малы для сравнения с точным периодом и очень хорошего согласия между теорией и экспериментами в обнаружено, что трение пренебрежимо мало. Поскольку многие преподаватели поощряли эту деятельность, искали простую приближенную формулу для периода маятника, действительную для всех возможных амплитуд, с которой можно было бы сравнить экспериментальные данные. В 2008 году Лима вывел средневзвешенную формулу с такой характеристикой: ^[9] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$

$${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$

${\displaystyle r=7.17}$ ${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$

Угловое смещение произвольной амплитуды

Разложение в ряд Фурье имеет вид ^{[13] [14]} ${\displaystyle \theta (t)}$

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

где эллиптический ном и угловая частота . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$ ${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$ ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$

Если определить

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$

${\displaystyle q}$

$${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$

OEIS : A002103 ${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$ ${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$

Эквивалентно угол можно задать через эллиптическую функцию Якоби с модулем ^[15] ${\displaystyle \operatorname {cd} }$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

Для малых , и , поэтому решение хорошо аппроксимируется решением, данным в Маятник (механика)#Приближение малого угла . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sin x\approx x}$ ${\displaystyle \arcsin x\approx x}$ ${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$

Примеры

На анимациях ниже показано движение простого маятника (без трения) с увеличением начального смещения качания или, что эквивалентно, с увеличением начальной скорости. Небольшой график над каждым маятником представляет собой соответствующую диаграмму фазовой плоскости ; горизонтальная ось — перемещение, а вертикальная ось — скорость. При достаточно большой начальной скорости маятник не колеблется вперед и назад, а полностью вращается вокруг оси вращения.

• 
  Начальный угол 0°, устойчивое равновесие
• 
  Начальный угол 45°
• 
  Начальный угол 90°
• 
  Начальный угол 135°
• 
  Начальный угол 170°
• 
  Начальный угол 180°, неустойчивое равновесие.
• 
  Маятник, энергии которого едва хватает для полного раскачивания.
• 
  Маятник с достаточной энергией для полного раскачивания

Демпфированный приводной маятник

Приведенное выше обсуждение сосредоточено на раскачивании маятника, на который действует только сила гравитации. Вместо этого мы предполагаем, что на тело действует демпфирующая сила, например, сопротивление воздуха, а также синусоидальная движущая сила. Эта система представляет собой затухающий, управляемый осциллятор и хаотична .

Уравнение (1) можно записать как

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

(см. вывод крутящего момента из уравнения (1) выше).

Теперь мы можем добавить затухающий и вынуждающий члены в правую часть, чтобы получить

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

где мы предположили, что пара демпфирования пропорциональна угловой скорости (это справедливо для сопротивления воздуха на малых скоростях, см. также Сопротивление (физика) ). и являются константами, определяющими амплитуду воздействия и степень демпфирования соответственно. – угловая частота движущих колебаний. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\textstyle \Omega }$

Теперь мы можем упростить, разделив на и соответствующим образом переопределив константы, чтобы получить ${\textstyle ml^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+B{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }=A\cos(\Omega t).}$$

Это уравнение демонстрирует хаотическое поведение . Точное движение этого маятника можно определить только численно и оно сильно зависит от начальных условий, например, начальной скорости и стартовой амплитуды. Однако описанное выше приближение малого угла все же можно использовать при необходимых условиях для получения приближенного аналитического решения.

Сложный маятник

Сложный маятник (или физический маятник ) — это маятник, стержень которого не является безмассовым и может иметь увеличенный размер; то есть твердое тело произвольной формы , качающееся на оси . В этом случае период маятника зависит от его момента инерции вокруг точки поворота. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle I_{O}}$

Уравнение крутящего момента дает:

$${\displaystyle \tau =I\alpha }$$

${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \tau }$

Крутящий момент создается под действием силы тяжести так: где: ${\displaystyle \tau =-mgr_{\mathrm {CM} }\sin \theta }$

• ${\displaystyle m}$- общая масса тела ригида (стержня и боба)
• ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$расстояние от точки поворота до центра масс системы
• ${\displaystyle \theta }$это угол от вертикали

Следовательно, в приближении малых углов , ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$

$${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}\approx -{\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}\theta }$$

${\displaystyle I_{O}}$ ${\displaystyle O}$

Выражение для имеет ту же форму, что и обычный простой маятник, и дает период ^[2] ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

И частота

$${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}}$$

Если принять во внимание начальный угол (при больших амплитудах), то выражение для принимает вид: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}\sin \theta }$$

$${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$

полный эллиптический интеграл первого рода ${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$ ${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$

Важным понятием является эквивалентная длина , длина простого маятника, имеющего ту же угловую частоту, что и составной маятник: ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{gr_{\mathrm {CM} }}}}$

Рассмотрим следующие случаи:

• Простой маятник — это особый случай, когда вся масса сосредоточена на качающемся маятнике на расстоянии от оси. Таким образом, и , поэтому выражение сводится к: . Обратите внимание , как и ожидалось (определение эквивалентной длины). ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }=\ell }$ ${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$ ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$
• Однородный стержень массы и длины , качающийся на конце, имеет и , поэтому выражение сводится к: . Обратите внимание : однородный стержень колеблется, как если бы это был простой маятник, длина которого составляет две трети его длины. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$ ${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$ ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$
• Тяжелый простой маятник: комбинация стержня однородной массы и длины, качающегося на одном конце, и качания на другом конце. Тогда общая масса системы равна , а остальные параметры равны и , поэтому выражение сводится к: ${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$ ${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$ ${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })g\,{\frac {m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} }}}\ell }{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {(m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })^{2}}{(m_{\mathrm {bob} }+2m_{\mathrm {rod} })\left(m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\right)}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {\left(1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}}{\left(1+2{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)\left(1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)}}}$. Обратите внимание, что эту формулу можно преобразовать в два предыдущих случая, изученных ранее, просто считая массу стержня или боба равной нулю соответственно. Также обратите внимание, что формула зависит не от массы боба и стержня, а от их соотношения . Приближение можно сделать для : ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$ ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$ ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}{\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1-{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

Обратите внимание, насколько она похожа на угловую частоту в системе пружина-масса с эффективной массой и как появляется значение Рэлея .

Физическая интерпретация мнимого периода

Эллиптическая функция Якоби , выражающая положение маятника как функцию времени, представляет собой двоякопериодическую функцию с действительным периодом и мнимым периодом. Реальный период — это, конечно, время, за которое маятник проходит один полный цикл. Пол Аппелл указал на физическую интерпретацию мнимого периода: ^[16] если θ ₀ — максимальный угол одного маятника, а 180° − θ ₀ — максимальный угол другого, то действительный период каждого из них есть величина воображаемого маятника. период другого.

Спаренный маятник

Два одинаковых простых маятника, соединенных пружиной, соединяющей бобышки.

Спаренные маятники могут влиять на движение друг друга либо посредством соединения направления (например, пружины, соединяющей бобы), либо посредством движений в опорной конструкции (например, столешнице). Уравнения движения двух одинаковых простых маятников, связанных пружиной, соединяющей бобышки, можно получить с помощью лагранжевой механики .

Кинетическая энергия системы равна:

$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Потенциальная энергия системы равна:

$${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

где – ускорение свободного падения , – жесткость пружины . Смещение пружины из положения равновесия предполагает приближение малых углов . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$

Лагранжиан тогда

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

Поочередное сложение и вычитание этих двух уравнений и применение приближения малого угла дает два уравнения гармонического осциллятора в переменных и : ${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

и , , , – константы интегрирования . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Выражая решения через и отдельно: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

Если бобам не дается первоначальный толчок, то условие требует , что дает (после некоторой перестановки): ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$ ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Гармонограф
• Конический маятник
• Циклоидальный маятник
• Двойной маятник
• Перевернутый маятник
• маятник Капицы
• Маятник Рэлея – Лоренца
• Эластичный маятник
• функция Матье
• Уравнения маятника (программное обеспечение)

Рекомендации

1. определено Христианом Гюйгенсом: Гюйгенс, Кристиан (1673). «Horologium Oscillatorium» (PDF) . Математика 17 века . 17th Centurymaths.com . Проверено 1 марта 2009 г., Часть 4, Определение 3, перевод Яна Брюса, июль 2007 г.
2. Nave, Карл Р. (2006). «Простой маятник». Гиперфизика . Государственный университет Джорджии . Проверено 10 декабря 2008 г.
3. Сюэ, Линьвэй (2007). «Маятниковые системы». Видеть и трогать структурные концепции . Кафедра гражданского строительства, унив. Манчестера, Великобритания . Проверено 10 декабря 2008 г.
4. Вайсштейн, Эрик В. (2007). «Простой маятник». Мир науки Эрика Вайсштейна . Вольфрам Исследования . Проверено 9 марта 2009 г.
5. Нельсон, Роберт; Олссон, М.Г. (февраль 1986 г.). «Маятник — Богатая физика из простой системы». Американский журнал физики . 54 (2): 112–121. Бибкод : 1986AmJPh..54..112N. дои : 10.1119/1.14703. S2CID  121907349.
6. Карвальес, Клаудио Г.; Суппес, Патрик (декабрь 2008 г.), «Приближения периода простого маятника на основе среднего арифметико-геометрического» (PDF) , Am. Дж. Физ. , 76 (12͒): 1150–1154, бибкод : 2008AmJPh..76.1150C, номер номера : 10.1119/1.2968864, ISSN  0002-9505 , получено 14 декабря 2013 г.
7. Борвейн, Дж. М .; Борвейн, П.Б. (1987). Пи и годовое общее собрание . Нью-Йорк: Уайли. стр. 1–15. ISBN 0-471-83138-7. МР  0877728.
8. Ван Баак, Том (ноябрь 2013 г.). «Новое и чудесное уравнение периода маятника» (PDF) . Информационный бюллетень часовой науки . 2013 (5): 22–30.
9. Лима, ФМС (10 сентября 2008 г.). «Простые логарифмические формулы» для движения маятника, действительные для любой амплитуды». Европейский журнал физики . 29 (5): 1091–1098. дои : 10.1088/0143-0807/29/5/021. ISSN  0143-0807. S2CID  121743087 – через журналы IoP.
10. Лима, ФМС; Арун, П. (октябрь 2006 г.). «Точная формула для периода простого маятника, колеблющегося за пределами режима малых углов». Американский журнал физики . 74 (10): 892–895. arXiv : физика/0510206 . Бибкод : 2006AmJPh..74..892L. дои : 10.1119/1.2215616. ISSN  0002-9505. S2CID  36304104.
11. Кромер, Алан (февраль 1995 г.). «Множество колебаний жесткого стержня». Американский журнал физики . 63 (2): 112–121. Бибкод : 1995AmJPh..63..112C. дои : 10.1119/1.17966. ISSN  0002-9505.
12. Хиль, Сальвадор; Легаррета, Андрес Э.; Ди Грегорио, Дэниел Э. (сентябрь 2008 г.). «Измерение ангармонизма маятника большой амплитуды». Американский журнал физики . 76 (9): 843–847. Бибкод : 2008AmJPh..76..843G. дои : 10.1119/1.2908184. ISSN  0002-9505.
13. Лоуден, Дерек Ф. (1989). Эллиптические функции и приложения . Спрингер-Верлаг. п. 40. ИСБН 0-387-96965-9.уравнение 2.7.9: ${\textstyle -kk'\int \operatorname {sd} u\,\mathrm {d} u=\arcsin(k\operatorname {cd} u)+C}$
14. Рейнхардт, WP; Уокер, П.Л. (2010), «Эллиптические функции Якобиана», в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, МР  2723248.
15. «Полное решение нелинейного маятника». 4 декабря 2021 г.
16. Аппелл, Пол (июль 1878 г.). «Sur une interpretation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique» [Об интерпретации значений мнимого времени в механике]. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences . 87 (1).

дальнейшее чтение

• Бейкер, Грегори Л.; Блэкберн, Джеймс А. (2005). Маятник: пример из физики (PDF) . Издательство Оксфордского университета.
• Окс, Карлхайнц (2011). «Комплексное аналитическое решение нелинейного маятника». Европейский журнал физики . 32 (2): 479–490. Бибкод : 2011EJPh...32..479O. дои : 10.1088/0143-0807/32/2/019. S2CID  53621685.
• Сала, Кеннет Л. (1989). «Преобразования амплитудной функции Якобиана и ее расчет через среднее арифметико-геометрическое». СИАМ Дж. Математика. Анал . 20 (6): 1514–1528. дои : 10.1137/0520100.

Внешние ссылки

• Статья Mathworld о функции Матье