Мера Пеано–Джордана

В математике мера Пеано –Жордана (также известная как жорданова доля ) является расширением понятия размера ( длины , площади , объема ) на формы более сложные, чем, например, треугольник , диск или параллелепипед .

Оказывается, для того чтобы множество имело меру Жордана, оно должно быть хорошо себя вести в определенном ограничительном смысле. По этой причине сейчас чаще работают с мерой Лебега , которая является расширением меры Жордана на более широкий класс множеств. Исторически мера Жордана появилась первой, ближе к концу девятнадцатого века. По историческим причинам термин мера Жордана теперь прочно устоялся для этой функции множества , несмотря на то, что она не является истинной мерой в ее современном определении, поскольку измеримые по Жордану множества не образуют σ-алгебру . Например, одноэлементные множества в каждом имеют меру Жордана 0, в то время как , счетное их объединение, не является измеримым по Жордану. ^[1] По этой причине некоторые авторы ^[2] предпочитают использовать термин содержание Жордана . ${\displaystyle \{x\}_{x\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$

Мера Пеано-Жордана названа в честь ее создателей, французского математика Камиля Жордана и итальянского математика Джузеппе Пеано . ^[3]

Мера Жордана «простых множеств»

Простой набор, по определению, представляет собой объединение (возможно, перекрывающихся) прямоугольников.

Простой набор, показанный выше, разлагается в виде объединения неперекрывающихся прямоугольников.

Рассмотрим евклидово пространство. Мера Жордана сначала определяется на декартовых произведениях ограниченных полуоткрытых интервалов , которые замкнуты слева и открыты справа со всеми конечными точками и конечными действительными числами (полуоткрытые интервалы являются техническим выбором; как мы увидим ниже, можно использовать замкнутые или открытые интервалы, если это предпочтительнее). Такой набор будет называться -мерным прямоугольником или просто прямоугольником . Мера Жордана такого прямоугольника определяется как произведение длин интервалов: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ $${\displaystyle C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).}$$

Далее рассматриваются простые множества , иногда называемые полипрямоугольниками , которые представляют собой конечные объединения прямоугольников, для любого $${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}}$$ ${\displaystyle k\geq 1.}$

Меру Жордана нельзя определить просто как сумму мер отдельных прямоугольников, поскольку такое представление далеко не уникально, и между прямоугольниками могут быть значительные совпадения. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

К счастью, любой такой простой набор можно переписать как объединение другого конечного семейства прямоугольников, которые на этот раз являются взаимно непересекающимися , и тогда можно определить меру Жордана как сумму мер непересекающихся прямоугольников. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m(S)}$

Можно показать, что это определение меры Жордана не зависит от представления в виде конечного объединения непересекающихся прямоугольников. Именно на этапе «переписывания» используется предположение о том, что прямоугольники состоят из полуоткрытых интервалов. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Расширение на более сложные множества

Множество (представленное на рисунке областью внутри синей кривой) измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его можно хорошо аппроксимировать как изнутри, так и снаружи простыми множествами (их границы показаны темно-зеленым и темно-розовым цветом соответственно).

Обратите внимание, что множество, являющееся произведением замкнутых интервалов, не является простым множеством, и ни одно из них не является шаром . Таким образом, до сих пор множество измеримых по Жордану множеств все еще очень ограничено. Ключевым шагом является определение ограниченного множества как измеримого по Жордану, если оно «хорошо аппроксимируется» простыми множествами, точно так же, как функция интегрируема по Риману, если она хорошо аппроксимируется кусочно-постоянными функциями. $${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}$$

Формально, для ограниченного множества определим его ${\displaystyle B,}$внутренняя мера Иордана как и ее $${\displaystyle m_{*}(B)=\sup _{S\subseteq B}m(S)}$$внешняя мера Жордана , гдеинфимумисупремумберутся по простым множествам.Множествоназывается $${\displaystyle m^{*}(B)=\inf _{S\supseteq B}m(S)}$$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle B}$Измеримое по Жордану множество , если внутренняя мераравна внешней мере. Общее значение двух мер тогда просто называетсямерой Жордана. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$Мера Жордана — этофункция множеств, которая переводит измеримые по Жордану множества в их меру Жордана.

Оказывается, что все прямоугольники (открытые или закрытые), а также все шары, симплексы и т. д. измеримы по Жордану. Кроме того, если рассмотреть две непрерывные функции , множество точек между графиками этих функций измеримо по Жордану, пока это множество ограничено и общая область определения двух функций измерима по Жордану. Любое конечное объединение и пересечение измеримых по Жордану множеств измеримо по Жордану, как и разность множеств любых двух измеримых по Жордану множеств. Компактное множество не обязательно измеримо по Жордану. Например, ε-канторово множество не является таковым. Его внутренняя жорданова мера равна нулю, поскольку его дополнение плотно ; однако его внешняя жорданова мера не равна нулю, поскольку она не может быть меньше (фактически равна) его меры Лебега. Кроме того, ограниченное открытое множество не обязательно измеримо по Жордану. Например, дополнение толстого канторовского множества (внутри интервала) не является таковым. Ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его индикаторная функция интегрируема по Риману , а значение интеграла является его мерой Жордана.[1]

Эквивалентно, для ограниченного множества внутренняя мера Жордана является мерой Лебега топологической внутренности , а внешняя мера Жордана является мерой Лебега замыкания . [ ^4] Из этого следует, что ограниченное множество является измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда его топологическая граница имеет нулевую меру Лебега. (Или, что эквивалентно, если граница имеет нулевую меру Жордана; эквивалентность имеет место в силу компактности границы.) ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Мера Лебега

Это последнее свойство значительно ограничивает типы множеств, которые являются измеримыми по Жордану. Например, множество рациональных чисел, содержащихся в интервале [0,1], тогда не является измеримым по Жордану, так как его граница равна [0,1], которая не имеет жордановой меры нуль. Однако интуитивно, множество рациональных чисел является «малым» множеством, так как оно счетно , и его «размер» должен быть равен нулю. Это действительно так, но только если заменить жорданову меру на меру Лебега . Мера Лебега множества совпадает с его жордановой мерой, пока это множество имеет жорданову меру. Однако мера Лебега определена для гораздо более широкого класса множеств, таких как множество рациональных чисел в интервале, упомянутом ранее, а также для множеств, которые могут быть неограниченными или фракталами . Кроме того, мера Лебега, в отличие от меры Жордана, является истинной мерой , то есть любое счетное объединение измеримых по Лебегу множеств является измеримым по Лебегу, тогда как счетные объединения измеримых по Жордану множеств не обязаны быть измеримыми по Жордану.

Ссылки

1. В то время как множество, мера которого определена, называется измеримым , не существует общепринятого термина для описания множества, жорданово содержание которого определено. Манкрес (1991) предлагает термин «выпрямляемый» как обобщение использования этого термина для описания кривых. Другие авторы использовали такие термины, как «допустимый» (Лэнг, Зорич); «вымываемый» (Хаббард); «имеющий содержание» (Беркилл); «довольный» (Лумис и Стернберг).
2. Манкрес, Дж. Р. (1991). Анализ многообразий . Боулдер, Колорадо: Westview Press. стр. 113. ISBN 0-201-31596-3.
3. Г. Пеано, "Applicazioni геометрические расчеты бесконечно малых", Fratelli Bocca , Турин, 1887.
4. Фринк, Оррин-младший (июль 1933 г.). «Мера Жордана и интегрирование Римана». Анналы математики . 2. 34 (3): 518–526. doi :10.2307/1968175. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968175.

• Эммануэле ДиБенедетто (2002). Реальный анализ . Базель, Швейцария: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4231-5.
• Ричард Курант; Фриц Джон (1999). Введение в исчисление и анализ Том II/1: Главы 1–4 (Классика математики) . Берлин: Springer. ISBN 3-540-66569-2.

Внешние ссылки

• Дервент, Джон. «Мера Иордана». MathWorld .
• Терехин, А.П. (2001) [1994], "Мера Жордана", Энциклопедия математики , Издательство EMS