Металлический средний

Обобщение золотых и серебряных сечений

Соотношения золота, серебра и бронзы внутри соответствующих прямоугольников.

Металлическое среднее (также металлическое отношение , металлическая константа или благородное среднее ^[1] ) натурального числа n — это положительное действительное число , обозначенное здесь , которое удовлетворяет следующим эквивалентным характеристикам: ${\displaystyle S_{n},}$

• единственное положительное действительное число такое, что ${\displaystyle x}$ ${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$
• положительный корень квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$
• число ${\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$
• число, выражение которого в виде непрерывной дроби равно

  ${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}$

Металлические средства являются (последовательными) производными от золотого ( ) и серебряного соотношений ( ), и разделяют некоторые из их интересных свойств. Термин "бронзовое соотношение" ( ) (Ср. Золотой век и Олимпийские медали ) и даже металлы, такие как медь ( ) и никель ( ) иногда встречаются в литературе. ^{[2] [3]} ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n=5}$

С точки зрения алгебраической теории чисел металлические средние числа — это в точности действительные квадратичные целые числа , которые больше и имеют своей нормой . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

Определяющее уравнение n-го металлического среднего является характеристическим уравнением линейного рекуррентного соотношения вида Отсюда следует, что при наличии такой рекуррентности решение можно выразить как ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ ${\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}$

${\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}$

где — n -е металлическое среднее, а a и b — константы, зависящие только от и Поскольку величина, обратная металлическому среднему, меньше 1 , эта формула подразумевает, что частное двух последовательных элементов такой последовательности стремится к металлическому среднему, когда k стремится к бесконечности. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}.}$

Например, если — золотое сечение . Если и последовательность — последовательность Фибоначчи , а приведенная выше формула — формула Бине . Если есть числа Люка . Если металлическое среднее называется серебряным сечением , а элементы последовательности, начинающиеся с и , называются числами Пелля . ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{1}=1,}$ ${\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}$ ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{1}=1}$

Геометрия

Если из прямоугольника с отношением длины к ширине, равным n-му металлическому среднему, удалить n наибольших возможных квадратов , то получится прямоугольник с тем же отношением длины к ширине (на рисунках n — количество пунктирных линий).

Золотое сечение внутри пентаграммы ( φ = красный/зеленый = зеленый/синий = синий/фиолетовый) и серебряное сечение внутри восьмиугольника.

Определяющее уравнение n- го металлического среднего вызывает следующую геометрическую интерпретацию. ${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$

Рассмотрим прямоугольник, у которого отношение его длины L к ширине W равно n -му металлическому отношению. Если из этого прямоугольника удалить n квадратов длины стороны W , то получится прямоугольник, аналогичный исходному прямоугольнику; то есть прямоугольник с тем же отношением длины к ширине (см. рисунки).

Некоторые металлические средства появляются как сегменты в фигуре, образованной правильным многоугольником и его диагоналями. Это, в частности, касается золотого сечения и пятиугольника , а также серебряного сечения и восьмиугольника ; см. рисунки.

Полномочия

Обозначая металлическим средним значением m, имеем ${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}$

где числа определяются рекурсивно начальными условиями K ₀ = 0 и K ₁ = 1 , и рекуррентным соотношением ${\displaystyle K_{n}}$

${\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}$

Доказательство: Равенство сразу же верно для Из рекуррентного соотношения следует, что делает равенство верным для Предположим, что равенство верно с точностью до одного, ${\displaystyle n=1.}$ ${\displaystyle K_{2}=m,}$ ${\displaystyle k=2.}$ ${\displaystyle n-1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(defining equation)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(recurrence hypothesis)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(regrouping)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(recurrence on }}K_{n}).\end{aligned}}}$

Конец доказательства.

Также есть ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}$

Нечетные степени металлического среднего сами являются металлическими средними. Точнее, если n — нечетное натуральное число, то где определяется рекуррентным соотношением и начальными условиями и ${\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}$ ${\displaystyle M_{n}}$ ${\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}}$ ${\displaystyle M_{0}=2}$ ${\displaystyle M_{1}=m.}$

Доказательство: Пусть и Из определения металлических средних следует, что и Пусть Поскольку при нечетном n степень является корнем числа So, остается доказать, что является целым числом, удовлетворяющим данному рекуррентному соотношению. Это следует из тождества ${\displaystyle a=S_{m}}$ ${\displaystyle b=-1/S_{m}.}$ ${\displaystyle a+b=m}$ ${\displaystyle ab=-1.}$ ${\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}$ ${\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}$ ${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}$

Это завершает доказательство, учитывая, что начальные значения легко проверить.

В частности, есть

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}$

и, в общем, ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}$

где

${\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}$

Для четных степеней все сложнее. Если n — положительное четное целое число, то ^{[ нужна цитата ]}

${\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

Кроме того, ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}$

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}$

Для квадрата металлического отношения имеем: ${\displaystyle S_{m}^{2}=[m{\sqrt {m^{2}+4}}+(m+2)]/2=(p+{\sqrt {p^{2}+4}})/2}$

где лежит строго между и . Поэтому ${\displaystyle p=m{\sqrt {m^{2}+4}}}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle m^{2}+2}$

${\displaystyle S_{m^{2}+1}<S_{m}^{2}<S_{m^{2}+2}}$

Обобщение

Можно определить металлическое среднее отрицательного целого числа − n как положительное решение уравнения Металлическое среднее − n является мультипликативной обратной величиной металлического среднего числа n : ${\displaystyle S_{-n}}$ ${\displaystyle x^{2}-(-n)x-1.}$

${\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}$

Другое обобщение состоит в изменении определяющего уравнения с на . Если ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$ ${\displaystyle x^{2}-nx-c=0}$

${\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}$

любой корень уравнения, то есть

${\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}$

Серебряное среднее m также определяется интегралом ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

Другая форма металлического среднего — ^{[ требуется ссылка ]}

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}$

Отношение к котангенсу половинного угла

Формула тангенса половинного угла дает , которую можно переписать как То есть, для положительного значения металлическое среднее имеет особый смысл, когда является положительным целым числом, как в случае некоторых примитивных пифагорейских треугольников. $${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1}{2\cot {\frac {\theta }{2}}}}}$$ $${\displaystyle \cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-(2\cot \theta )\cot {\frac {\theta }{2}}-1=0\,.}$$ ${\textstyle \cot {\frac {\theta }{2}}}$ $${\displaystyle S_{2\cot \theta }=\cot {\frac {\theta }{2}}\,,}$$ ${\textstyle 2\cot \theta }$

Связь с пифагорейскими тройками

Металлические пропорции в примитивных пифагорейских треугольниках

Металлические средние точно представлены некоторыми примитивными пифагорейскими тройками , a ² + b ² = c ² , с положительными целыми числами a < b < c .

В примитивной пифагоровой тройке, если разница между гипотенузой c и более длинным катетом b составляет 1, 2 или 8, такая пифагорова тройка точно представляет одно конкретное металлическое среднее. Котангенс четверти меньшего острого угла такого пифагорова треугольника равен точному значению одного конкретное металлическое среднее.

Рассмотрим примитивную пифагорову тройку ( a , b , c ) , в которой a < b < c и c − b ∈ {1, 2, 8} . Такой пифагоров треугольник ( a , b , c ) дает точное значение конкретного металлического среднего следующим образом: ${\displaystyle S_{n}}$

$${\displaystyle S_{n}=\cot {\frac {\alpha }{4}}}$$

где α — меньший острый угол треугольника Пифагора, а металлический средний индекс равен ${\displaystyle n=2\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2a}{c-b}}=2{\sqrt {\frac {c+b}{c-b}}}\,.}$

Например, примитивная пифагорейская тройка 20-21-29 включает 5-е металлическое среднее. Котангенс четверти меньшего острого угла пифагорейского треугольника 20-21-29 дает точное значение 5-го металлического среднего. Аналогично, пифагорейский треугольник 3-4-5 представляет 6-е металлическое среднее. Аналогично, пифагорейская тройка 12-35-37 дает 12-е металлическое среднее, пифагорейская тройка 52-165-173 дает 13-е металлическое среднее и так далее. ^[4]

Числовые значения

Смотрите также

• Постоянный
• Иметь в виду
• Соотношение
• Коэффициент пластичности

Примечания

1. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A001622 (Десятичное разложение золотого сечения фи (или тау) = (1 + sqrt(5))/2)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
2. OEIS : A014176 , Десятичное разложение среднего значения серебра, 1+sqrt(2).
3. OEIS : A098316 , Десятичное разложение [3, 3, ...] = (3 + sqrt(13))/2.
4. OEIS : A098317 , Десятичное разложение phi^3 = 2 + sqrt(5).
5. OEIS : A098318 , Десятичное разложение [5, 5, ...] = (5 + sqrt(29))/2.
6. OEIS : A176398 , Десятичное разложение 3+sqrt(10).
7. OEIS : A176439 , Десятичное разложение (7+sqrt(53))/2.
8. OEIS : A176458 , Десятичное разложение 4+sqrt(17).
9. OEIS : A176522 , Десятичное разложение (9+sqrt(85))/2.
10. OEIS : A176537 , Десятичное разложение (10+sqrt(104)/2.

Ссылки

1. М. Бааке, У. Гримм (2013) Апериодический порядок. Том 1. Математическое приглашение. С предисловием Роджера Пенроуза. Энциклопедия математики и ее приложений, 149. Cambridge University Press, Кембридж, ISBN 978-0-521-86991-1.
2. de Spinadel, Vera W. (1999). "Семейство металлических средних и мультифрактальные спектры" (PDF) . Нелинейный анализ, теория, методы и приложения . 36 (6). Elsevier Science: 721–745.
3. de Spinadel, Vera W. (1998). Williams, Kim (ред.). «Металлические средства и дизайн». Nexus II: Архитектура и математика . Fucecchio (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.
4. Раджпут, Четансинг; Манджунат, Харипрасад (2024). «Металлические средние и пифагорейские тройки | Заметки по теории чисел и дискретной математике». Болгарская академия наук.{{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
5. Вайсштейн, Эрик В. «Средства таблицы серебра». MathWorld .
6. «Введение в непрерывные дроби: Серебряные средние», maths.surrey.ac.uk .

Дальнейшее чтение

• Стахов, Алексей Петрович (2009). Математика Гармонии: от Евклида до современной математики и компьютерных наук , стр. 228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832 . 

Внешние ссылки

• Кристина-Елена Грецкану и Мирча Красмаряну (2013). «Металлические структуры на римановых многообразиях», Revista de la Unión Matemática Argentina .
• Ракочевич, Милое М. «Дальнейшее обобщение золотого сечения в отношении «божественного» уравнения Эйлера», Arxiv.org .