Мультипликативный обратный

Число, которое при умножении на x равно 1

Обратная функция: y = 1/ x . Для каждого x, кроме 0, y представляет собой его мультипликативную обратную величину. График образует прямоугольную гиперболу .

В математике мультипликативное обратное или обратное число x , обозначаемое 1/ x или x − ¹ , представляет собой число, которое при умножении на x дает мультипликативное тождество 1. Мультипликативное обратное дроби a / b равно b / а . Чтобы получить мультипликативное обратное вещественному числу, разделите 1 на число. Например, обратная величина 5 равна одной пятой (1/5 или 0,2), а обратная величина 0,25 равна 1, деленной на 0,25, или 4. Обратная функция , функция f ( x ), которая отображает x в 1/ x , — один из простейших примеров функции, обратной к самой себе (инволюции ) .

Умножение на число аналогично делению на обратное ему число, и наоборот. Например, умножение на 4/5 (или 0,8) даст тот же результат, что и деление на 5/4 (или 1,25). Следовательно, умножение на число, за которым следует умножение на обратное ему число, дает исходное число (поскольку произведение числа и обратного ему числа равно 1).

Термин «обратное» широко использовался, по крайней мере, еще в третьем издании Британской энциклопедии (1797 г.) для описания двух чисел, произведение которых равно 1; геометрические величины в обратной пропорции описаны как обратные в переводе 1570 года « Начал » Евклида . ^[1]

Во фразе multiplicative inverse квалификатор multiplicative часто опускается, а затем молчаливо понимается (в отличие от аддитивного inverse ). Мультипликативные обратные операции могут быть определены во многих математических областях, а также в числах. В этих случаях может случиться, что ab ≠ ba ; тогда «инверсный» обычно подразумевает, что элемент является обратным как слева, так и справа .

Обозначение f ⁻¹ иногда также используется для обозначения обратной функции f , которая для большинства функций не равна мультипликативной обратной функции. Например, мультипликативный обратный 1/(sin x ) = (sin x ) ⁻¹ является косекансом x, а не обратным синусом x , обозначаемым sin ⁻¹ x или arcsin x . Разница в терминологии «обратная» и «обратная» недостаточна, чтобы провести это различие, поскольку многие авторы предпочитают противоположное соглашение об именах, вероятно, по историческим причинам (например, во французском языке обратная функция предпочтительно называется bijection réciproque).

Примеры и контрпримеры

В действительных числах ноль не имеет обратной величины ( деление на ноль не определено ), поскольку ни одно действительное число, умноженное на 0, не дает 1 (произведение любого числа на ноль равно нулю). За исключением нуля, обратные величины каждого действительного числа являются действительными, обратные величины каждого рационального числа являются рациональными, а обратные величины каждого комплексного числа являются комплексными. Свойство, заключающееся в том, что каждый элемент, отличный от нуля, имеет мультипликативную обратную величину, является частью определения поля , примерами которого являются все эти элементы. С другой стороны, ни одно целое число, кроме 1 и −1, не имеет целочисленного обратного значения, поэтому целые числа не являются полем.

В модульной арифметике также определяется модульное мультипликативное обратное к a : это число x такое, что ax ≡ 1 (mod n ) . Этот мультипликативный обратный существует тогда и только тогда, когда a и n взаимно просты . Например, обратное число 3 по модулю 11 равно 4, потому что 4 ⋅ 3 ≡ 1 (по модулю 11) . Для его вычисления можно использовать расширенный алгоритм Евклида .

Седенионы — это алгебра, в которой каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, но, тем не менее, имеет делители нуля, то есть ненулевые элементы x , y такие, что xy =  0.

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель имеет обратный в кольце коэффициентов . Линейная карта, имеющая матрицу A ^-1 относительно некоторой базы, является обратной функцией карты, имеющей A в качестве матрицы в той же базе. Таким образом, два различных понятия обратной функции в этом случае сильно связаны, но они все же не совпадают, поскольку мультипликативной обратной функцией Ax будет ( Ax ) ⁻¹ , а не A ⁻¹ x.

Эти два понятия обратной функции иногда совпадают, например, для функции где - главная ветвь комплексного логарифма и : ${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$

${\displaystyle ((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x}$.

Тригонометрические функции связаны обратным тождеством: котангенс является обратной величиной тангенса; секанс является обратной величиной косинуса; косеканс является обратной величиной синуса.

Кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный, является телом ; аналогично алгебра , в которой это справедливо, является алгеброй с делением .

Комплексные числа

Как упоминалось выше, обратное каждому ненулевому комплексному числу z = a + bi является комплексным. Его можно найти, умножив верхнюю и нижнюю часть 1/ z на его комплексно-сопряженное число и используя свойство , которое представляет собой квадрат абсолютного значения z , которое представляет собой действительное число a ² + b ² : ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

Интуиция в том, что

${\displaystyle {\frac {\bar {z}}{\|z\|}}}$

дает нам комплексно-сопряженное число с величиной , уменьшенной до значения , поэтому повторное деление на гарантирует, что величина теперь также равна обратной величине исходной величины, следовательно: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \|z\|}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$

В частности, если || z ||=1 ( z имеет единичную величину), тогда . Следовательно, мнимые единицы ± i имеют аддитивную обратную величину , равную мультипликативной обратной, и являются единственными комплексными числами с этим свойством. Например, аддитивными и мультипликативными обратными к i являются −( i ) = − i и 1/ i = − i соответственно. ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$

Для комплексного числа в полярной форме z = r (cos φ + i  sin φ) обратное число просто принимает обратное значение величины и отрицательное значение угла:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

Геометрическая интуиция для интеграла 1/ x . Все три интеграла от 1 до 2, от 2 до 4 и от 4 до 8 равны. Каждый регион представляет собой предыдущий регион, разделенный пополам по вертикали и удвоенный по горизонтали. Если расширить это, то интеграл от 1 до 2 ^k будет в k раз больше интеграла от 1 до 2, так же, как ln 2 ^k = k ln 2.

Исчисление

В реальном исчислении производная 1 / x = x −1 определяется по правилу степени со степенью −1 ^:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

Степенное правило для интегралов ( квадратурная формула Кавальери ) не может использоваться для вычисления интеграла от 1/ x , поскольку это приведет к делению на 0:

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$

$${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,}$$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$

натуральный логарифм^[2] ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$ ${\displaystyle x=e^{y}}$ ${\displaystyle y=\ln x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

Алгоритмы

Обратная величина может быть вычислена вручную с использованием длинного деления .

Вычисление обратной величины важно во многих алгоритмах деления , поскольку частное a / b можно вычислить, сначала вычислив 1/ b , а затем умножив его на a . Заметив, что в точке x = 1/ b имеется ноль , метод Ньютона может найти этот ноль, начиная с предположения и повторяя его по правилу: ${\displaystyle f(x)=1/x-b}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$

Это продолжается до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность. Например, предположим, что мы хотим вычислить 1/17 ≈ 0,0588 с точностью до 3 знаков. Принимая x ₀ = 0,1, получаем следующую последовательность:

х ₁ = 0,1(2 - 17 × 0,1) = 0,03

х ₂ = 0,03(2 - 17 × 0,03) = 0,0447

х ₃ = 0,0447(2 - 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

х ₄ = 0,0554(2 - 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

х ₅ = 0,0586(2 - 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Типичное начальное предположение можно найти, округлив b до степени, близкой к 2, а затем используя сдвиг битов для вычисления обратного значения.

В конструктивной математике для того, чтобы действительное число x имело обратное значение, недостаточно, чтобы x ≠ 0. Вместо этого должно быть задано рациональное число r такое, что 0 <  r  < | х |. С точки зрения описанного выше алгоритма аппроксимации это необходимо для того, чтобы доказать, что изменение y со временем станет сколь угодно малым.

График f( x ) = x ^x , показывающий минимум в точке (1/ e , e ^{−1/ e} ).

Эту итерацию также можно обобщить на более широкий вид обратных операций; например, обратные матрицы .

Обратные числа иррациональных чисел

Каждое действительное или комплексное число, за исключением нуля, имеет обратное значение, а обратные числа некоторых иррациональных чисел могут иметь важные специальные свойства. Примеры включают обратную величину e (≈ 0,367879) и обратную величину золотого сечения (≈ 0,618034). Первое обратное число является особенным, потому что никакое другое положительное число не может дать меньшее число, если его возвести в степень самого себя; является глобальным минимумом . Второе число — единственное положительное число, равное обратному ему плюс единице: . Его аддитивное обратное число — единственное отрицательное число, равное обратному ему минус единице: . ${\displaystyle f(1/e)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}$ ${\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}$

Функция дает бесконечное количество иррациональных чисел, которые отличаются от обратного на целое число. Например, иррационально . Его обратная величина ровно меньше . Такие иррациональные числа обладают очевидным свойством: они имеют ту же дробную часть , что и обратная им, поскольку эти числа отличаются на целое число. ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {n^{2}+1}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 4}$

Обратная функция играет важную роль в цепных дробях , которые обладают рядом замечательных свойств, касающихся представления (как рациональных, так и) иррациональных чисел.

Дальнейшие замечания

Если умножение ассоциативно, элемент x с мультипликативным обратным не может быть делителем нуля ( x является делителем нуля, если некоторый ненулевой y , xy = 0 ). Чтобы убедиться в этом, достаточно умножить уравнение xy = 0 на обратное x (слева), а затем упростить, используя ассоциативность. В отсутствие ассоциативности седенионы представляют собой контрпример.

Обратное неверно: элемент, который не является делителем нуля , не гарантирует наличие мультипликативного обратного. В Z все целые числа, кроме −1, 0, 1, служат примерами; они не являются делителями нуля и не имеют обратных значений по Z. Однако если кольцо или алгебра конечны , то все элементы a , не являющиеся делителями нуля, имеют обратные (левые и правые). Ибо сначала заметим, что отображение f ( x ) = ax должно быть инъективным : f ( x ) = f ( y ) подразумевает x = y :

${\displaystyle {\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$

Различные элементы отображаются на отдельные элементы, поэтому изображение состоит из одного и того же конечного числа элементов, и карта обязательно сюръективна . В частности, ƒ (а именно умножение на a ) должно отображать некоторый элемент x в 1, ax = 1 , так что x является обратным для a .

Приложения

Разложение обратного 1/ q по любому основанию может также выступать ^[3] как источник псевдослучайных чисел , если q — «подходящее» безопасное простое число , простое число вида 2 p  + 1, где p также является основной.  В результате разложения будет получена последовательность псевдослучайных чисел длины q - 1.

Смотрите также

• Отдел (математика)
• Экспоненциальный распад
• Доля
• Группа (математика)
• Гипербола
• Обратное распределение
• Список сумм обратных величин
• Повторяющаяся десятичная дробь
• 6-сферные координаты
• Дроби единицы измерения – обратные целым числам.
• Нули и полюса

Примечания

1. «У равных параллелепипедов основания обратны своей высоте». ОЭД «Взаимный» §3а. Перевод сэра Генри Биллингсли «Элементов XI, 34».
2. Энтони, доктор «Доказательство того, что INT(1/x)dx = lnx». Спросите доктора Математика . Дрексельский университет . Проверено 22 марта 2013 г.
3. Митчелл, Дуглас В., «Нелинейный генератор случайных чисел с известной длинной длиной цикла», Cryptologia 17, январь 1993 г., 55–62.

Рекомендации

• Максимально периодические обратные величины, Бюллетень Мэтьюза RAJ Института математики и его приложений, том 28, стр. 147–148, 1992 г.