Метод Рэлея-Ритца

Метод аппроксимации собственных значений

Метод Рэлея-Ритца — прямой численный метод аппроксимации собственных значений , возникший в контексте решения физических краевых задач и названный в честь лорда Рэлея и Вальтера Ритца .

Он используется во всех приложениях, которые включают аппроксимацию собственных значений и собственных векторов , часто под разными названиями. В квантовой механике , где система частиц описывается с помощью гамильтониана , метод Ритца использует пробные волновые функции для аппроксимации собственной функции основного состояния с наименьшей энергией. В контексте метода конечных элементов математически тот же алгоритм обычно называют методом Ритца-Галеркина . Метод Рэлея-Ритца или терминология метода Ритца типичны в машиностроении и проектировании конструкций для аппроксимации собственных мод и резонансных частот конструкции.

Именование и атрибуция

Имя Рэлея-Ритца обсуждается ^{[1] [2]} по сравнению с методом Ритца после Вальтера Ритца , поскольку численная процедура была опубликована Вальтером Ритцем в 1908-1909 годах. По словам А.В. Лейссы, ^[1] лорд Рэлей в 1911 году написал статью, в которой поздравил Ритца с его работой, но заявил, что сам использовал метод Ритца во многих местах в своей книге и в другой публикации. Это утверждение, хотя позже и оспаривалось, а также тот факт, что метод в тривиальном случае одного вектора приводит к коэффициенту Рэлея, заставляют спорное неправильное название сохраняться. По мнению С. Иланко ^[2] со ссылкой на Рихарда Куранта , и лорд Рэлей , и Вальтер Ритц независимо друг от друга выдвинули идею использования эквивалентности между краевыми задачами уравнений в частных производных , с одной стороны, и задачами вариационного исчисления, с другой стороны. для численного расчета решений - путем замены вариационных задач более простыми аппроксимирующими экстремальными задачами, в которых необходимо определить конечное число параметров; подробности см. в статье « Метод Ритца» . По иронии судьбы, современное обоснование алгоритма отказывается от вариационного исчисления в пользу более простого и более общего подхода ортогонального проецирования, как в методе Галеркина, названном в честь Бориса Галеркина , что также приводит к названию метода Ритца-Галеркина .

Для матричных задач на собственные значения

В числовой линейной алгебре метод Рэлея–Ритца обычно применяется ^[3] для аппроксимации задачи на собственные значения.

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$$

ортонормированными ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m<N}$ ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$

1. Вычислите матрицу , где обозначает комплексно-сопряженное транспонирование ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle V^{*}AV}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$
2. Решите проблему собственных значений ${\displaystyle V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}}$
3. Вычислите векторы Ритца и значение Ритца ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{i}=V\mathbf {y} _{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}}$
4. Выходные аппроксимации , называемые парами Ритца, к собственным значениям и собственным векторам исходной матрицы . ${\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})}$ ${\displaystyle A}$

Если подпространство с ортонормированным базисом, заданным столбцами матрицы, содержит векторы, близкие к собственным векторам матрицы , описанный выше метод Рэлея-Ритца находит векторы Ритца, которые хорошо аппроксимируют эти собственные векторы. Легко вычислимая величина определяет точность такого приближения для каждой пары Ритца. ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$ ${\displaystyle k\leq m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \|A{\tilde {\mathbf {x} }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{i}{\tilde {\mathbf {x} }}_{i}\|}$

В простейшем случае матрица превращается в единичный вектор-столбец , матрица представляет собой скаляр, равный коэффициенту Рэлея , единственным решением проблемы собственных значений является и , а единственным вектором Ритца является он сам. Таким образом, метод Рэлея–Ритца превращается в вычисление фактора Рэлея, если . ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle N\times m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle V^{*}AV}$ ${\displaystyle \rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle y_{i}=1}$ ${\displaystyle \mu _{i}=\rho (v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle m=1}$

Другая полезная связь с фактором Рэлея заключается в том, что для каждой пары Ритца это позволяет вывести некоторые свойства значений Ритца из соответствующей теории для фактора Рэлея . Например, если является эрмитовой матрицей , ее фактор Рэлея (и, следовательно, каждое ее значение Ритца) является вещественным и принимает значения в пределах замкнутого интервала наименьших и наибольших собственных значений . ${\displaystyle \mu _{i}=\rho (v_{i})}$ ${\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Пример

Матрица

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle 1,2,3}$

$${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$$

$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle 1,3}$

$${\displaystyle \mathbf {y} _{\mu =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {y} _{\mu =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle 1,3}$

$${\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}$$

пространство столбцов ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =3}}$

Для матричных задач с сингулярными значениями

Усеченное разложение по сингулярным значениям (SVD) в числовой линейной алгебре также может использовать метод Рэлея – Ритца для поиска аппроксимаций левых и правых сингулярных векторов матрицы размера в заданных подпространствах путем превращения проблемы сингулярных значений в проблему собственных значений. ${\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{M\times N}}$ ${\displaystyle M\times N}$

Использование обычной матрицы

Определение сингулярного значения и соответствующих левых и правых сингулярных векторов — это и . Найдя один набор (слева направо) приближенных сингулярных векторов и сингулярных значений, наивно применив метод Рэлея-Ритца к эрмитовой нормальной матрице или , в зависимости от того, какой из них меньше, можно просто определить другой набор левых или правых сингулярных векторов. путем деления на сингулярные значения, т.е. и . Однако деление нестабильно или не работает для малых или нулевых сингулярных значений. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Mv=\sigma u}$ ${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$ ${\displaystyle M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$ ${\displaystyle MM^{*}\in \mathbb {C} ^{M\times M}}$ ${\displaystyle u=Mv/\sigma }$ ${\displaystyle v=M^{*}u/\sigma }$

Альтернативный подход, например, определение нормальной матрицы размером , использует тот факт, что для данной матрицы с ортонормированными столбцами проблема собственных значений метода Рэлея – Ритца для матрицы ${\displaystyle A=M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\times m}$ ${\displaystyle W\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$ ${\displaystyle m\times m}$

$${\displaystyle W^{*}AW=W^{*}M^{*}MW=(MW)^{*}MW}$$

${\displaystyle N\times m}$ ${\displaystyle MW}$

1. Вычислить матрицу . ${\displaystyle N\times m}$ ${\displaystyle MW}$
2. Вычислите тонкий или экономичный SVD с помощью array , диагональной матрицы и матрицы . ${\displaystyle MW=\mathbf {U} \Sigma \mathbf {V} _{h},}$ ${\displaystyle N\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{h}}$
3. Вычислите матрицы левых и правых сингулярных векторов Ритца . ${\displaystyle U=\mathbf {U} }$ ${\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}$
4. Выходные аппроксимации , называемые сингулярными тройками Ритца, к выбранным сингулярным значениям и соответствующим левым и правым сингулярным векторам исходной матрицы, представляющим приближенное разложение усеченных сингулярных значений (SVD) с левыми сингулярными векторами, ограниченными пространством столбцов матрицы . ${\displaystyle U,\Sigma ,V_{h}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle W}$

Алгоритм можно использовать в качестве этапа постобработки, где матрица является результатом работы решателя собственных значений, например, такого как LOBPCG , аппроксимирующего численно выбранные собственные векторы нормальной матрицы . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A=M^{*}M}$

Пример

Матрица

$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle A=M^{*}M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&9&0\\0&0&0&16\\\end{bmatrix}},}$$

тонкие СВД ${\displaystyle 1,2,3,4}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}^{*}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$$

Давайте возьмем

$${\displaystyle W={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$

Следуя шагу 1 алгоритма, вычисляем

$${\displaystyle MW={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},}$$

тонкая СВД ${\displaystyle MW=\mathbf {U} {\Sigma }\mathbf {V} _{h}}$

$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad \Sigma ={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}$$

${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle [0,1,0,0,0]^{*}}$ ${\displaystyle [1,0,0,0,0]^{*}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Наконец, шаг 3 вычисляет матрицу ${\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}$

$${\displaystyle \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0&0\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle [0,1,0,0]^{*}}$ ${\displaystyle [1,0,0,0]^{*}}$ ${\displaystyle Mv=\sigma u}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle M^{*}u=\sigma v}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}.}$$

${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$

Смотрите также

• метод Ритца
• коэффициент Рэлея
• Итерация Арнольди

Примечания и ссылки

1. Лейсса, AW (2005). «Исторические основы методов Рэлея и Ритца» . Журнал звука и вибрации . 287 (4–5): 961–978. Бибкод : 2005JSV...287..961L. дои : 10.1016/j.jsv.2004.12.021.
2. Иланко, Синния (2009). «Комментарии к историческим основам методов Рэлея и Ритца». Журнал звука и вибрации . 319 (1–2): 731–733. Бибкод : 2009JSV...319..731I. дои : 10.1016/j.jsv.2008.06.001.
3. Трефетен, Ллойд Н.; Бау, III, Дэвид (1997). Численная линейная алгебра. СИАМ. п. 254. ИСБН 978-0-89871-957-4.

Внешние ссылки

• В курсе вариационного исчисления есть раздел, посвященный методу Рэлея – Ритца.