Метод частиц

Класс численных методов в научных вычислениях

Методы частиц — это широко используемый класс численных алгоритмов в научных вычислениях. Его применение простирается от вычислительной гидродинамики (CFD) и молекулярной динамики (MD) до методов дискретных элементов .

История

Одним из самых ранних методов частиц является метод сглаженной гидродинамики частиц , представленный в 1977 году. ^[1] Либерски и др. ^[2] были первыми, кто применил SPH в механике твердого тела. Главными недостатками SPH являются неточные результаты вблизи границ и нестабильность натяжения, впервые исследованная Свеглом. ^[3]

В 1990-х годах появился новый класс методов частиц. Появился метод воспроизводящего ядра частиц ^[4] (RKPM), аппроксимация была частично мотивирована для исправления оценки ядра в SPH: для обеспечения точности вблизи границ, в неравномерных дискретизациях и точности более высокого порядка в целом. Примечательно, что в параллельной разработке примерно в то же время были разработаны методы материальной точки ^[5] , которые предлагают схожие возможности. В 1990-х годах и позже было разработано несколько других разновидностей, включая перечисленные ниже.

Список методов и сокращений

Следующие численные методы обычно считаются относящимися к общему классу методов «частиц». Сокращения указаны в скобках.

• Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) (1977)
• Диссипативная динамика частиц (ДДЧ) (1992)
• Метод воспроизводящих ядерных частиц (RKPM) (1995)
• Движущиеся частицы полунеявные (MPS)
• Частица в ячейке (PIC)
• Метод конечных элементов с движущимися частицами (MPFEM)
• Метод растрескивания частиц (CPM) (2004)
• Метод погруженных частиц (IPM) (2006)

Определение

Математическое определение методов частиц охватывает структурные общности всех методов частиц. ^[6] Таким образом, оно допускает формальные рассуждения в различных областях применения. Определение состоит из трех частей: во-первых, структура алгоритма метода частиц, включая структурные компоненты, а именно структуры данных и функции. Во-вторых, определение экземпляра метода частиц. Экземпляр метода частиц описывает конкретную проблему или настройку, которые могут быть решены или смоделированы с помощью алгоритма метода частиц. В-третьих, определение функции перехода состояния частицы. Функция перехода состояния описывает, как метод частиц переходит от экземпляра к конечному состоянию, используя структуры данных и функции из алгоритма метода частиц. ^[6]

Алгоритм метода частиц представляет собой 7-кортеж , состоящий из двух структур данных ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&P:=A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}&&{\text{the particle space,}}\\&G:=B_{1}\times B_{2}\times ...\times B_{m}&&{\text{the global variable space,}}\end{aligned}}}$

такое, что представляет собой пространство состояний метода частиц, и пять функций: ${\displaystyle [G\times P^{*}]}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&u:[G\times P^{*}]\times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ^{*}&&{\text{the neighborhood function,}}\\&f:G\rightarrow \{\top ,\bot \}&&{\text{the stopping condition,}}\\&i:G\times P\times P\rightarrow P\times P&&{\text{the interact function,}}\\&e:G\times P\rightarrow G\times P^{*}\ &&{\text{the evolve function,}}\\&{\overset {\circ }{e}}:G\rightarrow G&&{\text{the evolve function of the global variable.}}\end{aligned}}}$

Начальное состояние определяет экземпляр метода частиц для заданного алгоритма метода частиц : ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$

${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]\in [G\times P^{*}].}$

Экземпляр состоит из начального значения глобальной переменной и начального кортежа частиц . ${\displaystyle g^{1}\in G}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}\in P^{*}}$

В конкретном методе частиц элементы кортежа должны быть указаны. При заданной начальной точке, определенной экземпляром , алгоритм выполняется итерациями. Каждая итерация соответствует одному шагу перехода состояния , который переводит текущее состояние метода частиц в следующее состояние . Переход состояния использует функции для определения следующего состояния. Функция перехода состояния генерирует серию шагов перехода состояния, пока функция остановки не станет . Вычисленное таким образом конечное состояние является результатом функции перехода состояния. Функция перехода состояния идентична для каждого метода частиц. ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$ ${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [g^{t},\mathbf {p} ^{t}]}$ ${\displaystyle [g^{t+1},\mathbf {p} ^{t+1}]}$ ${\displaystyle u,i,e,{\overset {\circ }{e}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle true}$

Функция перехода состояний определяется как

${\displaystyle S:[G\times P^{*}]\rightarrow [G\times P^{*}]}$

с

${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]:=S([g^{1},\mathbf {p} ^{1}])}$.

Псевдокод иллюстрирует функцию перехода состояния метода частиц:

1 2 пока 3 для 4 5 для 6 7 8 для 9 10
11
12
13 ​ ​
​  ${\displaystyle [g,\mathbf {p} ]=[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$  ${\displaystyle f(g)=false}$  ${\displaystyle j=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =u([g,\mathbf {p} ],j)}$  ${\displaystyle l=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle (p_{j},p_{k_{j}})=i(g,p_{j},p_{k_{j}})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =()}$  ${\displaystyle j=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle (g,{\overline {\mathbf {q} }})=e(g,p_{j})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} \circ {\overline {\mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {q} }$ ${\displaystyle g={\overset {\circ }{e}}(g)}$ ${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]=[g,\mathbf {p} ]}$

Жирные символы — это кортежи, — это кортежи частиц, а — это индексный кортеж. — это пустой кортеж. Оператор — это конкатенация кортежей частиц, например . И — это количество элементов в кортеже , например . ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})\circ (p_{3},p_{4},p_{5})=(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5})}$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle |(p_{1},p_{2})|=2}$

Смотрите также

• Механика сплошной среды
• Метод граничных элементов
• Метод погруженной границы
• Код трафарета
• Методы без сетки

Ссылки

1. Gingold RA, Monaghan JJ (1977). Гидродинамика сглаженных частиц – теория и применение к несферическим звездам. Mon Not R Astron Soc 181:375–389
2. Либерски, Л. Д., Петчек, А. Г., Карни, Т. К., Хипп, Дж. Р., Аллахдади, Ф. А. (1993). Лагранжева гидродинамика высоких напряжений. Журнал вычислительной физики .
3. Swegle, JW, Hicks, DL, Attaway, SW (1995). Анализ устойчивости сглаженной гидродинамики частиц. Журнал вычислительной физики . 116(1), 123-134
4. Лю, ВК, Цзюнь, С., Чжан, ЙФ (1995), Воспроизведение методов частиц ядра, Международный журнал численных методов в жидкостях . 20, 1081-1106.
5. D. Sulsky, Z., Chen, H. Schreyer (1994). Метод частиц для материалов, зависящих от истории. Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении (118) 1, 179-196.
6. Pahlke, Johannes; Sbalzarini, Ivo F. (март 2023 г.). «Унифицированное математическое определение методов частиц». IEEE Open Journal of the Computer Society . 4 : 97–108. doi : 10.1109/OJCS.2023.3254466 . S2CID  257480034.  В данной статье используется текст, доступный по лицензии CC BY 4.0.

Дальнейшее чтение

• Лю МБ, Лю ГР, Цзун З, ОБЗОР ГИДРОДИНАМИКИ СГЛАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ, МЕЖДУНАРОДНЫЙ ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МЕТОДОВ Том 5 Выпуск: 1, 135–188, 2008.
• Лю, GR, Лю, MB (2003). Гидродинамика сглаженных частиц, метод без сеток и частиц , World Scientific, ISBN 981-238-456-1 . 

Внешние ссылки

• Методы частиц