В геометрии многогранник Ханнера — выпуклый многогранник, построенный рекурсивно с помощью декартова произведения и полярных двойственных операций. Многогранники Ханнера названы в честь Олофа Ханнера , который ввел их в 1956 году. [1]
Многогранники Ханнера строятся рекурсивно по следующим правилам: [2]
Это именно те многогранники, которые можно построить, используя только эти правила: то есть, каждый многогранник Ханнера можно образовать из отрезков прямых с помощью последовательности операций произведения и двойственных операций. [2]
Альтернативно и эквивалентно полярной двойственной операции, многогранники Ханнера могут быть построены с помощью декартовых произведений и прямых сумм , двойственных декартовым произведениям. Эта операция прямой суммы объединяет два многогранника, помещая их в два линейно независимых подпространства большего пространства, а затем строя выпуклую оболочку их объединения. [3] [4]
Куб является многогранником Ханнера и может быть построен как декартово произведение трех отрезков прямых. Его двойственный, октаэдр , также является многогранником Ханнера , прямой суммой трех отрезков прямых. В трех измерениях все многогранники Ханнера комбинаторно эквивалентны одному из этих двух типов многогранников. [5] В более высоких измерениях гиперкубы и кросс-многогранники , аналоги куба и октаэдра, снова являются многогранниками Ханнера. Однако возможны и другие примеры. Например, октаэдрическая призма , четырехмерная призма с октаэдром в качестве основания, также является многогранником Ханнера, как и ее двойственный, кубическая бипирамида .
Каждому многограннику Ханнера можно задать координаты вершин, равные 0, 1 или −1. [6] Более конкретно, если P и Q являются многогранниками Ханнера с координатами в этой форме, то координаты вершин декартова произведения P и Q образуются путем конкатенации координат вершины в P с координатами вершины в Q. Координаты вершин прямой суммы P и Q образуются либо путем конкатенации координат вершины в P с вектором нулей, либо путем конкатенации вектора нулей с координатами вершины в Q.
Поскольку полярный двойственный многогранник Ханнера является другим многогранником Ханнера, многогранники Ханнера обладают тем свойством, что и они, и их двойственные многогранники имеют координаты в {0,1,−1}. [6]
Каждый многогранник Ханнера является центрально симметричным и имеет ровно 3 d непустых граней (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество). Например, куб имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратов и 1 куб (сам по себе) в качестве граней; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3 3 . Многогранники Ханнера образуют важный класс примеров для трехмерной гипотезы Калаи о том, что все центрально симметричные многогранники имеют по крайней мере 3 d непустых граней. [3]
В многограннике Ханнера каждые две противоположные грани не пересекаются и вместе включают все вершины многогранника, так что выпуклая оболочка двух граней является всем многогранником. [6] [7] Как простое следствие этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое количество вершин (половина числа вершин всего многогранника). Однако грани могут быть не все изоморфны друг другу. Например, в октаэдрической призме две грани являются октаэдрами, а остальные восемь граней являются треугольными призмами . Двойственно, в каждом многограннике Ханнера каждые две противоположные вершины касаются непересекающихся множеств граней и вместе касаются всех граней многогранника.
Объем Малера многогранника Ханнера (произведение его объема и объема его полярного дуала) такой же, как для куба или крестообразного многогранника. Если гипотеза Малера верна, эти многогранники являются минимизаторами объема Малера среди всех центрально-симметричных выпуклых тел . [8]
Трансляции гиперкуба ( или его аффинного преобразования, параллелоэдра ) образуют семейство Хелли : каждое множество трансляций, имеющих непустые попарные пересечения, имеет непустое пересечение. Более того, это единственные выпуклые тела с этим свойством. [9] Для любого другого центрально-симметричного выпуклого многогранника K Ханнер (1956) определил I ( K ) как наименьшее число трансляций K , которые не образуют семейство Хелли (они пересекаются попарно, но имеют пустое пересечение). Он показал, что I ( K ) равно либо трем, либо четырем, и привел многогранники Ханнера в качестве примеров многогранников, для которых оно равно четырем. Хансен и Лима (1981) позже показали, что это свойство можно использовать для характеристики многогранников Ханнера: они (с точностью до аффинного преобразования) являются в точности многогранниками, для которых I ( K ) > 3. [10]
Число комбинаторных типов многогранников Ханнера размерности d равно числу простых последовательно-параллельных графов с d непомеченными ребрами. [4] Для d = 1, 2, 3, ... оно равно:
Более явная биекция между многогранниками Ханнера размерности d и кографами с d вершинами дана Рейснером (1991). Для этой биекции предполагается, что многогранники Ханнера представлены геометрически с использованием координат в {0,1,−1}, а не как комбинаторные классы эквивалентности; в частности, существуют две различные геометрические формы многогранника Ханнера даже в двух измерениях: квадрат с координатами вершин (±1,±1) и ромб с координатами вершин (0,±1) и (±1,0). Для заданного d -мерного многогранника с координатами вершин в {0,1,−1} Рейснер определяет ассоциированный граф, d вершин которого соответствуют единичным векторам пространства, содержащего многогранник, и для которого два вектора соединены ребром, если их сумма лежит вне многогранника. Он замечает, что графы многогранников Ханнера являются кографами, которые он характеризует двумя способами: графы без индуцированного пути длины три и графы, индуцированные подграфы которых либо все несвязны, либо являются дополнениями несвязных графов. Наоборот, каждый кограф может быть представлен таким образом с помощью многогранника Ханнера. [6]
Многогранники Ханнера — это единичные шары семейства конечномерных банаховых пространств , называемых пространствами Ханнера . [7] Пространства Ханнера — это пространства, которые могут быть построены из одномерных пространств с помощью и комбинаций. [1]
