пространство Адамара

В пространстве Адамара треугольник является гиперболическим ; то есть, средний на рисунке. Фактически, любое полное метрическое пространство, где треугольник является гиперболическим, является пространством Адамара.

В геометрии , пространство Адамара , названное в честь Жака Адамара , является нелинейным обобщением гильбертова пространства . В литературе они также эквивалентно определяются как полные CAT(0) пространства .

Пространство Адамара определяется как непустое ^[1] полное метрическое пространство , такое что для любых точек и существует точка такая, что для каждой точки ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z,}$ $${\displaystyle d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^{2} \over 2}.}$$

Тогда точка является серединой и ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y:}$ ${\displaystyle d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2.}$

В гильбертовом пространстве указанное выше неравенство является равенством (с ), и в общем случае пространство Адамара называется плоским , если указанное выше неравенство является равенством. Плоское пространство Адамара изоморфно замкнутому выпуклому подмножеству гильбертова пространства. В частности, нормированное пространство является пространством Адамара тогда и только тогда, когда оно является гильбертовым пространством. ${\displaystyle m=(x+y)/2}$

Геометрия пространств Адамара напоминает геометрию пространств Гильберта, что делает их естественными условиями для изучения теорем жесткости . В пространстве Адамара любые две точки могут быть соединены единственной геодезической между ними; в частности, она стягиваема . В общем случае, если — ограниченное подмножество метрического пространства, то центр замкнутого шара минимального радиуса, содержащего его, называется центром описанной окружности [ ^2]. Каждое ограниченное подмножество пространства Адамара содержится в наименьшем замкнутом шаре (который совпадает с замыканием его выпуклой оболочки). Если — группа изометрий пространства Адамара, оставляющая инвариантным , то фиксирует центр описанной окружности ( теорема Брюа–Титса о неподвижной точке ). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle B}$

Основной результат для неположительно искривленного многообразия — теорема Картана–Адамара . Аналог справедлив для пространства Адамара: полное связное метрическое пространство, локально изометричное пространству Адамара, имеет пространство Адамара в качестве своей универсальной оболочки . Его вариант применим для неположительно искривленных орбифолдов . (ср. Лурье.)

Примерами пространств Адамара являются гильбертовы пространства , диск Пуанкаре , полные вещественные деревья (например, полное здание Брюа–Титса ), ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} -пространство с и и многообразиями Адамара , то есть полными односвязными римановыми многообразиями неположительной секционной кривизны . Важными примерами многообразий Адамара являются односвязные неположительно искривленные симметричные пространства . ${\displaystyle p,q\geq 3}$ ${\displaystyle 2pq\geq p+q,}$

Применение пространств Адамара не ограничивается геометрией. В 1998 году Дмитрий Бураго и Серж Ферлегер ^[3] использовали геометрию CAT(0) для решения задачи в динамическом бильярде : существует ли равномерная граница числа столкновений в газе из твердых шаров? Решение начинается с построения конфигурационного пространства для динамической системы , полученного путем объединения копий соответствующего бильярдного стола, который оказывается пространством Адамара.

Смотрите также

• CAT(k) пространство  – Тип метрического пространства в математике
• Многообразие Адамара  – полное, односвязное риманово многообразие с неположительной секционной кривизной всюдуСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва

Ссылки

1. Предположение о «непустоте» имеет смысл: теорема о неподвижной точке часто утверждает, что множество неподвижных точек является пространством Адамара. Основное содержание такого утверждения заключается в том, что множество непусто.
2. Курс метрической геометрии, стр. 334.
3. Бураго Д., Ферлегер С. Равномерные оценки числа столкновений в полурассеивающих бильярдах. Ann. of Math. 147 (1998), 695-708

• Бридсон, Мартин Р.; Хефлигер, Андре (1999), Метрические пространства неположительной кривизны , Springer
• Пападопулос, Атанас (2014), Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, т. 6 (Второе издание), Европейское математическое общество , ISBN 978-3-03719-132-3
• Бураго, Дмитрий; Юрий Бураго и Сергей Иванов. Курс метрической геометрии . Американское математическое общество. (1984)
• Якоб Лурье : Заметки о теории пространств Адамара
• Александр С., Капович В., Петрунин А. Заметки по геометрии Александрова.