Многоцелевая оптимизация

Математическая концепция

Многокритериальная оптимизация или оптимизация Парето (также известная как многокритериальное программирование , векторная оптимизация , многокритериальная оптимизация или многоатрибутивная оптимизация ) — это область принятия многокритериальных решений , которая связана с математическими задачами оптимизации, включающими более одной целевой функции для одновременной оптимизации. Многокритериальная оптимизация — это тип векторной оптимизации , который применяется во многих областях науки, включая инженерию, экономику и логистику, где необходимо принимать оптимальные решения при наличии компромиссов между двумя или более конфликтующими целями. Минимизация стоимости при максимизации комфорта при покупке автомобиля и максимизация производительности при минимизации расхода топлива и выбросов загрязняющих веществ транспортного средства — это примеры задач многокритериальной оптимизации, включающих две и три цели соответственно. В практических задачах может быть более трех целей.

Для многокритериальной задачи оптимизации не гарантируется, что одно решение одновременно оптимизирует каждую задачу. Целевые функции называются конфликтующими. Решение называется недоминируемым , оптимальным по Парето, эффективным по Парето или нехудшим, если ни одна из целевых функций не может быть улучшена по значению без ухудшения некоторых других целевых значений. Без дополнительной информации о субъективных предпочтениях может существовать (возможно, бесконечное) количество оптимальных по Парето решений, все из которых считаются одинаково хорошими. Исследователи изучают многокритериальные задачи оптимизации с разных точек зрения, и, таким образом, существуют разные философии решения и цели при их постановке и решении. Целью может быть поиск репрезентативного набора оптимальных по Парето решений и/или количественная оценка компромиссов при удовлетворении различных задач и/или поиск единого решения, которое удовлетворяет субъективным предпочтениям человека, принимающего решения (ЛПР).

Бикритериальная оптимизация обозначает особый случай, в котором имеются две целевые функции.

Существует прямая связь между многозадачной оптимизацией и многоцелевой оптимизацией. ^[1]

Введение

Многокритериальная задача оптимизации — это задача оптимизации , которая включает в себя несколько целевых функций. ^{[2] [3] [4]} В математических терминах многокритериальная задача оптимизации может быть сформулирована как

${\displaystyle \min _{x\in X}(f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{k}(x))}$

где целое число — это количество целей, а множество — это допустимый набор векторов решений, который обычно равен , но зависит от -мерной области применения. Допустимый набор обычно определяется некоторыми функциями ограничений. Кроме того, векторная целевая функция часто определяется как ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f:X&\to \mathbb {R} ^{k}\\x&\mapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{k}(x)\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Пример границы Парето (красный), множество оптимальных по Парето решений (те, которые не доминируются никакими другими допустимыми решениями). Точки в рамке представляют допустимые варианты, и меньшие значения предпочтительнее больших. Точка C не находится на границе Парето, поскольку она доминируется как точкой A , так и точкой B. Точки A и B не доминируются строго никакой другой и, следовательно, лежат на границе.

Если некоторая целевая функция должна быть максимизирована, это эквивалентно минимизации ее отрицательной или обратной функции. Мы обозначаем образ ; допустимое решение или допустимое решение ; и целевой вектор или результат . ${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{*}\in X}$ ${\displaystyle z^{*}=f(x^{*})\in \mathbb {R} ^{k}}$

В многокритериальной оптимизации обычно не существует допустимого решения, которое минимизирует все целевые функции одновременно. Поэтому внимание уделяется оптимальным по Парето решениям; то есть решениям, которые нельзя улучшить ни по одной из целей, не ухудшив хотя бы одну из других целей. В математических терминах допустимое решение считается (по Парето) доминирующим по отношению к другому решению , если ${\displaystyle x_{1}\in X}$ ${\displaystyle x_{2}\in X}$

1. ${\displaystyle \forall i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})\leq f_{i}(x_{2})}$, и
2. ${\displaystyle \exists i\in \{1,\dots ,k\},f_{i}(x_{1})<f_{i}(x_{2})}$.

Решение (и соответствующий результат ) называется оптимальным по Парето, если не существует другого решения, которое его доминирует. Множество оптимальных по Парето результатов, обозначаемое , часто называют фронтом Парето , границей Парето или границей Парето. ${\displaystyle x^{*}\in X}$ ${\displaystyle f(x^{*})}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Фронт Парето многокритериальной задачи оптимизации ограничен так называемым надирным целевым вектором и идеальным целевым вектором , если они конечны. Надирный целевой вектор определяется как ${\displaystyle z^{nadir}}$ ${\displaystyle z^{ideal}}$

${\displaystyle z^{nadir}={\begin{pmatrix}\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\sup _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}}$

и идеальный объективный вектор как

${\displaystyle z^{ideal}={\begin{pmatrix}\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{1}(x^{*})\\\vdots \\\inf _{x^{*}\in X^{*}}f_{k}(x^{*})\end{pmatrix}}}$

Другими словами, компоненты надирного и идеального целевых векторов определяют верхнюю и нижнюю границы целевой функции оптимальных по Парето решений. На практике надирный целевой вектор может быть только приближен, поскольку, как правило, весь оптимальный по Парето набор неизвестен. Кроме того, утопический целевой вектор , такой что где — малая константа, часто определяется по численным причинам. ${\displaystyle z^{utop}}$ ${\displaystyle z_{i}^{utop}=z_{i}^{ideal}-\epsilon ,\forall i\in \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

Примеры применения

Экономика

В экономике многие проблемы включают в себя несколько целей вместе с ограничениями на то, какие комбинации этих целей достижимы. Например, спрос потребителя на различные товары определяется процессом максимизации полезности, получаемой от этих товаров, с учетом ограничения, основанного на том, какой доход доступен для расходов на эти товары, и на ценах этих товаров. Это ограничение позволяет покупать больше одного товара только за счет потребления меньшего количества другого товара; поэтому различные цели (предпочтительнее большее потребление каждого товара) конфликтуют друг с другом. Распространенным методом анализа такой проблемы является использование графика кривых безразличия , представляющих предпочтения, и бюджетного ограничения, представляющего компромиссы, с которыми сталкивается потребитель.

Другой пример касается границы производственных возможностей , которая определяет, какие комбинации различных типов товаров может производить общество с определенным количеством различных ресурсов. Граница определяет компромиссы, с которыми сталкивается общество — если общество полностью использует свои ресурсы, больше одного товара может быть произведено только за счет производства меньшего количества другого товара. Затем общество должно использовать некий процесс для выбора среди возможностей на границе.

Макроэкономическая политика - это контекст, требующий многоцелевой оптимизации. Обычно центральный банк должен выбрать позицию для денежно-кредитной политики , которая уравновешивает конкурирующие цели - низкую инфляцию , низкую безработицу , низкий дефицит торгового баланса и т. д. Для этого центральный банк использует модель экономики , которая количественно описывает различные причинно-следственные связи в экономике; он многократно моделирует модель при различных возможных позициях денежно-кредитной политики, чтобы получить меню возможных прогнозируемых результатов для различных интересующих переменных. Затем, в принципе, он может использовать агрегированную целевую функцию для оценки альтернативных наборов прогнозируемых результатов, хотя на практике центральные банки используют неколичественный, основанный на суждениях процесс для ранжирования альтернатив и принятия решения о политике.

Финансы

В финансах распространенной проблемой является выбор портфеля, когда есть две противоречивые цели — желание иметь ожидаемое значение доходности портфеля как можно выше и желание иметь риск , часто измеряемый стандартным отклонением доходности портфеля, как можно ниже. Эта проблема часто представлена ​​графиком, на котором эффективная граница показывает наилучшие доступные комбинации риска и ожидаемой доходности, а кривые безразличия показывают предпочтения инвестора для различных комбинаций риска и ожидаемой доходности. Проблема оптимизации функции ожидаемого значения (первый момент ) и стандартного отклонения (квадратный корень из второго центрального момента) доходности портфеля называется двухмоментной моделью принятия решений .

Оптимальное управление

В инженерии и экономике многие проблемы включают в себя несколько целей, которые нельзя описать как «чем больше, тем лучше» или «чем меньше, тем лучше»; вместо этого существует идеальное целевое значение для каждой цели, и желание состоит в том, чтобы максимально приблизиться к желаемому значению каждой цели. Например, энергетические системы обычно имеют компромисс между производительностью и стоимостью ^{[5] [6]} или кто-то может захотеть скорректировать расход топлива и ориентацию ракеты так, чтобы она прибыла в указанное место и в указанное время; или кто-то может захотеть провести операции на открытом рынке так, чтобы и уровень инфляции , и уровень безработицы были как можно ближе к желаемым значениям.

Часто такие проблемы подчиняются линейным ограничениям равенства, которые не позволяют одновременно полностью достичь всех целей, особенно когда количество контролируемых переменных меньше количества целей и когда наличие случайных шоков порождает неопределенность. Обычно используется многоцелевая квадратичная целевая функция , при этом стоимость, связанная с целью, растет квадратично с расстоянием цели от ее идеального значения. Поскольку эти проблемы обычно включают корректировку контролируемых переменных в различные моменты времени и/или оценку целей в различные моменты времени, применяются методы межвременной оптимизации . ^[7]

Оптимальный дизайн

Проектирование продуктов и процессов можно значительно улучшить с помощью современных методов моделирования, имитации и оптимизации. ^{[ необходима цитата ]} Ключевым вопросом в оптимальном проектировании является измерение того, что хорошо или желательно в проекте. Перед поиском оптимального проекта важно определить характеристики, которые вносят наибольший вклад в общую ценность проекта. Хороший проект обычно включает в себя несколько критериев/целей, таких как капитальные затраты/инвестиции, эксплуатационные расходы, прибыль, качество и/или восстановление продукта, эффективность, безопасность процесса, время работы и т. д. Поэтому в практических приложениях производительность процесса и проектирования продукта часто измеряется по отношению к нескольким целям. Эти цели, как правило, противоречивы, т. е. достижение оптимального значения для одной цели требует некоторого компромисса по одной или нескольким целям.

Например, при проектировании бумажной фабрики можно стремиться к уменьшению объема капитала, вложенного в бумажную фабрику, и одновременному повышению качества бумаги. Если проект бумажной фабрики определяется большими объемами хранения, а качество бумаги определяется параметрами качества, то задача оптимального проектирования бумажной фабрики может включать такие цели, как i) минимизация ожидаемого отклонения этих параметров качества от их номинальных значений, ii) минимизация ожидаемого времени перерывов и iii) минимизация инвестиционных затрат на объемы хранения. Здесь максимальный объем башен является переменной проектирования. Этот пример оптимального проектирования бумажной фабрики является упрощением модели, используемой в ^[8] . Многоцелевая оптимизация проектирования также была реализована в инженерных системах в таких обстоятельствах, как оптимизация компоновки шкафа управления, ^[9] оптимизация формы аэродинамического профиля с использованием научных рабочих процессов, ^[10] проектирование нано- КМОП , ^{[11] проектирование} систем на кристалле , проектирование систем орошения на солнечных батареях, ^[12] оптимизация систем песчаных форм, ^{[13] [14]} проектирование двигателя, ^{[15] [16]} оптимальное размещение датчиков ^[17] и оптимальное проектирование контроллера. ^{[18] [19]}

Оптимизация процесса

Многоцелевая оптимизация все чаще применяется в химической инженерии и производстве . В 2009 году Фиандака и Фрага использовали многоцелевой генетический алгоритм (MOGA) для оптимизации процесса адсорбции при переменном давлении (циклический процесс разделения). Задача проектирования включала двойную максимизацию извлечения азота и чистоты азота. Результаты хорошо аппроксимировали границу Парето с приемлемыми компромиссами между целями. ^[20]

В 2010 году Сендин и др. решили многоцелевую задачу для термической обработки продуктов питания. Они взялись за два тематических исследования (двухцелевые и трехцелевые задачи) с нелинейными динамическими моделями. Они использовали гибридный подход, состоящий из взвешенного Чебышева и подхода нормального граничного пересечения. Новый гибридный подход смог построить оптимальное по Парето множество для термической обработки продуктов питания. ^[21]

В 2013 году Ганесан и др. провели многоцелевую оптимизацию комбинированного риформинга диоксида углерода и частичного окисления метана. Целевыми функциями были конверсия метана, селективность оксида углерода и соотношение водорода к оксиду углерода. Ганесан использовал метод нормального пересечения границ (NBI) в сочетании с двумя роевыми методами (Gravitational Search Algorithm (GSA) и Particle Swarm Optimization (PSO)) для решения этой проблемы. ^[22] Приложения, включающие химическую экстракцию ^[23] и процессы производства биоэтанола ^[24], поставили похожие многоцелевые проблемы.

В 2013 году Абакаров и др. предложили альтернативный метод решения многокритериальных задач оптимизации, возникающих в пищевой инженерии. ^[25] Подход агрегирующих функций, алгоритм адаптивного случайного поиска и подход штрафных функций использовались для вычисления начального набора недоминируемых или оптимальных по Парето решений. Процесс аналитической иерархии и табличный метод использовались одновременно для выбора лучшей альтернативы среди вычисленного подмножества недоминируемых решений для процессов осмотической дегидратации. ^[26]

В 2018 году Пирс и др. сформулировали распределение задач между людьми и роботами как многоцелевую задачу оптимизации, рассматривая время производства и эргономическое воздействие на человека как две цели, рассматриваемые в формулировке. Их подход использовал смешанную целочисленную линейную программу для решения задачи оптимизации для взвешенной суммы двух целей для вычисления набора оптимальных решений Парето . Применение подхода к нескольким производственным задачам показало улучшения по крайней мере по одной цели в большинстве задач и по обеим целям в некоторых процессах. ^[27]

Управление радиоресурсами

Целью управления радиоресурсами является удовлетворение скоростей передачи данных, запрашиваемых пользователями сотовой сети. ^[28] Основными ресурсами являются временные интервалы, частотные блоки и мощности передачи. У каждого пользователя есть своя собственная целевая функция, которая, например, может представлять некоторую комбинацию скорости передачи данных, задержки и энергоэффективности. Эти цели являются конфликтующими, поскольку частотные ресурсы очень редки, поэтому существует необходимость в плотном пространственном повторном использовании частот , что вызывает огромные межпользовательские помехи, если не контролировать их должным образом. В настоящее время для уменьшения помех используются многопользовательские методы MIMO с помощью адаптивного предварительного кодирования . Оператор сети хотел бы обеспечить как большое покрытие, так и высокие скорости передачи данных, поэтому оператор хотел бы найти оптимальное по Парето решение, которое сбалансирует общую пропускную способность сети и справедливость для пользователей соответствующим субъективным образом.

Управление радиоресурсами часто решается с помощью скаляризации, то есть выбора функции полезности сети, которая пытается сбалансировать пропускную способность и справедливость для пользователей. Выбор функции полезности оказывает большое влияние на вычислительную сложность результирующей задачи оптимизации с одной целью. ^[28] Например, общая полезность взвешенной скорости суммы дает NP-трудную задачу со сложностью, которая масштабируется экспоненциально с числом пользователей, в то время как взвешенная полезность максимальной-минимальной справедливости приводит к квазивыпуклой задаче оптимизации с только полиномиальным масштабированием с числом пользователей. ^[29]

Электроэнергетические системы

Реконфигурация путем обмена функциональными связями между элементами системы представляет собой одну из важнейших мер, которая может улучшить эксплуатационные характеристики распределительной системы. Задача оптимизации посредством реконфигурации распределительной системы, с точки зрения ее определения, является исторической одноцелевой задачей с ограничениями. С 1975 года, когда Мерлин и Бэк ^[30] представили идею реконфигурации распределительной системы для снижения потерь активной мощности, и до настоящего времени многие исследователи предлагали различные методы и алгоритмы для решения задачи реконфигурации как одноцелевой задачи. Некоторые авторы предлагали подходы, основанные на оптимальности Парето (включая потери активной мощности и показатели надежности в качестве целей). Для этой цели использовались различные методы, основанные на искусственном интеллекте: микрогенетический, ^[31] обмен ветвями, ^[32] оптимизация роя частиц ^[33] и недоминируемый генетический алгоритм сортировки. ^[34]

Инспекция инфраструктуры

Автономная инспекция инфраструктуры имеет потенциал для снижения затрат, рисков и воздействия на окружающую среду, а также для обеспечения лучшего периодического обслуживания проверяемых активов. Обычно планирование таких миссий рассматривается как задача оптимизации с одной целью, где цель — минимизировать энергию или время, затрачиваемое на проверку всей целевой структуры. ^[35] Однако для сложных реальных структур покрытие 100% объекта инспекции невыполнимо, и создание плана инспекции может лучше рассматриваться как задача многоцелевой оптимизации, где цель — как максимизировать охват инспекцией, так и минимизировать время и затраты. Недавнее исследование показало, что планирование многоцелевой инспекции действительно имеет потенциал превзойти традиционные методы на сложных структурах ^[36]

Решение

Поскольку обычно существует несколько оптимальных по Парето решений для многокритериальных задач оптимизации, то, что значит решить такую ​​задачу, не так просто, как для обычной однокритериальной задачи оптимизации. Поэтому разные исследователи по-разному определяли термин «решение многокритериальной задачи оптимизации». В этом разделе обобщаются некоторые из них и контексты, в которых они используются. Многие методы преобразуют исходную задачу с несколькими целями в однокритериальную задачу оптимизации . Это называется скаляризированной задачей. Если можно гарантировать оптимальность по Парето полученных однокритериальных решений, скаляризация характеризуется как выполненная аккуратно.

Решение многокритериальной задачи оптимизации иногда понимается как аппроксимация или вычисление всех или репрезентативного набора оптимальных по Парето решений. ^{[37] [38]}

Когда подчеркивается принятие решений , цель решения многокритериальной задачи оптимизации называется поддержкой лица, принимающего решения, в поиске наиболее предпочтительного оптимального решения по Парето в соответствии с его субъективными предпочтениями. ^{[2] [39]} Основное предположение заключается в том, что должно быть идентифицировано одно решение проблемы для его реализации на практике. Здесь важную роль играет человек, принимающий решения (ЛПР). Ожидается, что ЛПР будет экспертом в проблемной области.

Наиболее предпочтительные результаты могут быть найдены с использованием различных философий. Методы многокритериальной оптимизации можно разделить на четыре класса. ^[3]

1. В так называемых методах без предпочтений не ожидается, что DM будет доступна, но нейтральное компромиссное решение определяется без информации о предпочтениях. ^[2] Другие классы — это так называемые априорные, апостериорные и интерактивные методы, и все они по-разному используют информацию о предпочтениях от DM.
2. В априорных методах сначала запрашивается информация о предпочтениях ЛПР, а затем находится решение, наилучшим образом удовлетворяющее этим предпочтениям.
3. В апостериорных методах сначала находится репрезентативный набор оптимальных по Парето решений, а затем ЛПР должен выбрать одно из них.
4. В интерактивных методах лицо, принимающее решение, может искать наиболее предпочтительное решение итеративно. На каждой итерации интерактивного метода DM показывается оптимальное по Парето решение(я) и описывается, как это решение(я) можно улучшить. Информация, предоставленная DM, затем учитывается при генерации нового оптимального по Парето решения(й), которое DM может изучить на следующей итерации. Таким образом, DM узнает о выполнимости своих желаний и может сосредоточиться на решениях, которые ему интересны. DM может остановить поиск, когда захочет.

Более подробная информация и примеры различных методов в четырех классах приведены в следующих разделах.

Методы без предпочтений

Когда лицо, принимающее решение, явно не формулирует какую-либо информацию о предпочтениях, метод многокритериальной оптимизации можно классифицировать как метод без предпочтений. ^[3] Хорошо известным примером является метод глобального критерия, ^[40] в котором скаляризованная задача вида

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\|f(x)-z^{ideal}\|\\{\text{s.t. }}&x\in X\end{aligned}}}$

решено. В вышеприведенной задаче может быть любая норма , с общим выбором, включая , , и . ^[2] Метод глобального критерия чувствителен к масштабированию целевых функций. Таким образом, рекомендуется, чтобы цели были нормализованы в единой, безразмерной шкале. ^{[2] [39]} ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Априорные методы

Априорные методы требуют, чтобы достаточная информация о предпочтениях была выражена до процесса решения. ^[3] Известные примеры априорных методов включают метод функции полезности, лексикографический метод и целевое программирование .

Метод функции полезности

Метод функции полезности предполагает, что функция полезности лица, принимающего решения, доступна. Отображение является функцией полезности, если для всех оно содержит, что если лицо, принимающее решения, предпочитает , и если лицо, принимающее решения, безразлично между и . Функция полезности определяет порядок векторов решений (напомним, что векторы можно упорядочивать многими различными способами). После того, как получено, достаточно решить ${\displaystyle u\colon Y\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1},\mathbf {y} ^{2}\in Y}$ ${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})>u(\mathbf {y} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$ ${\displaystyle u(\mathbf {y} ^{1})=u(\mathbf {y} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{2}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \max \;u(\mathbf {f} (\mathbf {x} )){\text{ subject to }}\mathbf {x} \in X,}$

Однако на практике очень сложно построить функцию полезности, которая точно отражала бы предпочтения лица, принимающего решения, ^[2] , особенно потому, что фронт Парето неизвестен до начала оптимизации.

Лексикографический метод

Лексикографический метод предполагает, что цели можно ранжировать по степени важности. Мы предполагаем, что целевые функции располагаются в порядке важности, так что наиболее и наименее важны для лица, принимающего решения. При условии этого предположения можно использовать различные методы для достижения лексикографически оптимального решения. Обратите внимание, что здесь не указывается цель или целевое значение для какой-либо цели, что отличает его от метода лексикографического целевого программирования . ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{k}}$

Скаляризация

Линейный скалярный подход — это простой метод, используемый для решения многокритериальной задачи оптимизации. Он заключается в агрегировании различных функций оптимизации в одну функцию. Однако этот метод позволяет найти только поддерживаемые решения задачи (т. е. точки на выпуклой оболочке целевого множества). Эта анимация показывает, что когда результирующее множество не является выпуклым, не все эффективные решения могут быть найдены

Скаляризация многокритериальной задачи оптимизации является априорным методом, который означает формулировку однокритериальной задачи оптимизации таким образом, что оптимальные решения однокритериальной задачи оптимизации являются оптимальными по Парето решениями многокритериальной задачи оптимизации. ^[3] Кроме того, часто требуется, чтобы каждое оптимальное по Парето решение могло быть достигнуто с некоторыми параметрами скаляризации. ^[3] При различных параметрах скаляризации производятся различные оптимальные по Парето решения. Общая формулировка для скаляризации многокритериальной задачи оптимизации:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &g(f_{1}(x),\ldots ,f_{k}(x),\theta )\\{\text{s.t.}}&x\in X_{\theta }\end{array}}}$

где — векторный параметр, множество — множество, зависящее от параметра , а — функция. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle X_{\theta }\subseteq X}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{k+1}\rightarrow \mathbb {R} }$

Вот очень известные примеры:

• линейная скаляризация

${\displaystyle \min _{x\in X}\sum _{i=1}^{k}w_{i}f_{i}(x)}$

где веса целей являются параметрами скаляризации. ${\displaystyle w_{i}>0}$

• ${\displaystyle \epsilon }$-метод ограничений (см., например, ^[2] )

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\min &f_{j}(x)\\{\text{s.t.}}&x\in X\\&f_{i}(x)\leq \epsilon _{i}{\text{ for }}i\in \{1,\ldots ,k\}\setminus \{j\}\end{array}}}$

где верхние границы — это параметры, указанные выше, а — цель, которую необходимо минимизировать. ${\displaystyle \epsilon _{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Несколько более продвинутые примеры:

• достижение скаляризации проблемы Вежбицкого ^[41]

Один из примеров задач скаляризации достижений можно сформулировать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\min &\max _{i=1,\ldots ,k}\left[{\frac {f_{i}(x)-{\bar {z}}_{i}}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\right]+\rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}\\{\text{s.t. }}&x\in S\end{aligned}}}$

где член называется членом аугментации, — малая константа, а и — надирный и утопический векторы соответственно. В приведенной выше задаче параметр — это так называемая опорная точка, представляющая значения целевой функции, предпочитаемые лицом, принимающим решения. ${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{k}{\frac {f_{i}(x)}{z_{i}^{nadir}-z_{i}^{utop}}}}$ ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle z^{nadir}}$ ${\displaystyle z^{utop}}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

• Многоцелевое программирование Сена ^[42]

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\max &{\frac {\sum _{j=1}^{r}Z_{j}}{W_{j}}}-{\frac {\sum _{j=r+1}^{s}Z_{j}}{W_{r+1}}}\\{\text{s.t. }}&AX=b\\&X\geq 0\end{array}}}$

где — индивидуальные оптимумы (абсолютные) для целей максимизации и минимизации до . ${\displaystyle W_{j}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+1}$ ${\displaystyle s}$

• Гиперобъем/скаляризация Чебышева ^[43]

${\displaystyle \min _{x\in X}\max _{i}{\frac {f_{i}(x)}{w_{i}}}}$

где веса целей являются параметрами скаляризации. Если параметры/веса равномерно расставлены в положительном ортанте, то показано, что эта скаляризация доказуемо сходится к фронту Парето , ^[43] даже когда фронт невыпуклый. ${\displaystyle w_{i}>0}$

Например, оптимизация портфеля часто проводится в терминах анализа среднего отклонения . В этом контексте эффективный набор представляет собой подмножество портфелей, параметризованное средней доходностью портфеля в задаче выбора акций портфеля для минимизации дисперсии доходности портфеля при заданном значении ; подробности см. в Теореме разделения паевых инвестиционных фондов . В качестве альтернативы эффективный набор может быть определен путем выбора акций портфеля для максимизации функции ; набор эффективных портфелей состоит из решений в диапазоне от нуля до бесконечности. ${\displaystyle \mu _{P}}$ ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle \mu _{P}}$ ${\displaystyle \mu _{P}-b\sigma _{P}}$ ${\displaystyle b}$

Некоторые из приведенных выше скаляризаций подразумевают использование принципа минимакса , где всегда оптимизируется худшая из различных целей. ^[44]

Апостериорные методы

Методы апостериори направлены на создание всех оптимальных по Парето решений или представительного подмножества оптимальных по Парето решений. Большинство методов апостериори попадают в один из следующих трех классов:

• Математическое программирование — основанные на апостериорных методах, где алгоритм повторяется, и каждый запуск алгоритма дает одно оптимальное по Парето решение;
• Эволюционные алгоритмы , в которых один запуск алгоритма создает набор оптимальных по Парето решений;
• Методы глубокого обучения , при которых модель сначала обучается на подмножестве решений, а затем запрашивается для предоставления других решений на фронте Парето.

Математическое программирование

Известными примерами методов апостериорного математического программирования являются методы нормального граничного пересечения (NBI), ^[45] модифицированного нормального граничного пересечения (NBIm), ^[46] нормального ограничения (NC), ^{[47] [48]} последовательной оптимизации Парето (SPO), ^[49] и направленного домена поиска (DSD) ^[50] , которые решают задачу многокритериальной оптимизации путем построения нескольких скаляризаций. Решение каждой скаляризации дает оптимальное по Парето решение, локально или глобально. Скаляризации методов NBI, NBIm, NC и DSD строятся для получения равномерно распределенных точек Парето, которые дают хорошее приближение к реальному набору точек Парето.

Эволюционные алгоритмы

Эволюционные алгоритмы являются популярными подходами к генерации оптимальных по Парето решений для многокритериальной задачи оптимизации. Большинство алгоритмов эволюционной многокритериальной оптимизации (EMO) применяют схемы ранжирования на основе Парето. Эволюционные алгоритмы, такие как не-доминируемый генетический алгоритм сортировки II (NSGA-II), ^[51] его расширенная версия NSGA-III, ^{[52] [53]} алгоритм эволюции Парето 2 (SPEA-2) ^[54] и многокритериальные варианты дифференциальной эволюции стали стандартными подходами, хотя некоторые схемы, основанные на оптимизации роя частиц и имитации отжига ^[55], являются значительными. Главным преимуществом эволюционных алгоритмов при применении для решения многокритериальных задач оптимизации является тот факт, что они обычно генерируют наборы решений, позволяя вычислять приближение всего фронта Парето. Главным недостатком эволюционных алгоритмов является их более низкая скорость и невозможность гарантировать оптимальность по Парето решений; известно лишь, что ни одно из полученных решений не доминирует над другим.

Недавно была улучшена другая парадигма для многокритериальной оптимизации, основанная на новизне с использованием эволюционных алгоритмов. ^[56] Эта парадигма ищет новые решения в объективном пространстве (т. е. поиск новизны ^[57] в объективном пространстве) в дополнение к поиску недоминируемых решений. Поиск новизны подобен ступеням, направляющим поиск в ранее неисследованные места. Он особенно полезен для преодоления смещения и плато, а также для направления поиска в задачах многокритериальной оптимизации.

Методы глубокого обучения

Методы глубокого обучения на основе условий — это новые подходы к генерации нескольких оптимальных решений Парето. Идея заключается в использовании обобщения возможностей глубоких нейронных сетей для изучения модели всего фронта Парето из ограниченного числа примеров компромиссов вдоль этого фронта, задача называется обучением фронту Парето . ^[58] Несколько подходов решают эту задачу, включая использование гиперсетей ^[58] и использование вариационного градиентного спуска Штейна. ^[59]

Список методов

Ниже перечислены общеизвестные апостериорные методы:

• метод ε-ограничений ^{[60] [61]}
• Парето-гиперсети ^[58]
• Многоцелевой метод ветвей и границ ^{[62] [63] [64]}
• Нормальное граничное пересечение (NBI) ^[45]
• Модифицированное нормальное граничное пересечение (NBIm) ^[46]
• Нормальное ограничение (NC) ^{[47] [48]}
• Последовательная оптимизация Парето (SPO) ^[49]
• Направленный поисковый домен (DSD) ^{[ необходима ссылка ]}
• NSGA-II ^[51]
• PGEN (генерация поверхности Парето для выпуклых многокритериальных случаев) ^[65]
• IOSO (Косвенная оптимизация на основе самоорганизации)
• SMS-EMOA (эволюционный многоцелевой алгоритм выбора S-метрики) ^[66]
• Эволюция, управляемая аппроксимацией (первый алгоритм для прямой реализации и оптимизации формальной концепции аппроксимации из теоретической информатики) ^[67]
• Реактивная оптимизация поиска (использование машинного обучения для адаптации стратегий и целей), ^{[68] [69]} реализована в LIONsolver
• Алгоритм Бенсона для многокритериальных линейных программ и многокритериальных выпуклых программ
• Многокритериальная оптимизация роя частиц
• Алгоритм субпопуляции, основанный на новизне ^[56]
• MOEA/D (Многоцелевой эволюционный алгоритм, основанный на декомпозиции)

Интерактивные методы

В интерактивных методах оптимизации многоцелевых задач процесс решения является итеративным, и лицо, принимающее решение, постоянно взаимодействует с методом при поиске наиболее предпочтительного решения (см., например, Miettinen 1999, ^[2] Miettinen 2008 ^[70] ). Другими словами, ожидается, что лицо, принимающее решение, будет выражать предпочтения на каждой итерации, чтобы получить оптимальные по Парето решения , которые представляют интерес для лица, принимающего решение, и узнать, какие решения достижимы.

В интерактивных методах оптимизации обычно присутствуют следующие шаги: ^[70]

1. инициализировать (например, рассчитать идеальные и приближенные векторы цели надира и показать их лицу, принимающему решения)
2. создать оптимальную по Парето начальную точку (используя, например, какой-либо метод без предпочтений или решение, данное лицом, принимающим решения)
3. запросить информацию о предпочтениях у лица, принимающего решения (например, уровень стремлений или количество новых решений, которые должны быть созданы)
4. сгенерировать новое оптимальное по Парето решение(я) в соответствии с предпочтениями и показать его/их, а также, возможно, некоторую другую информацию о проблеме лицу, принимающему решения
5. если было сгенерировано несколько решений, попросите лицо, принимающее решение, выбрать лучшее на данный момент решение
6. остановиться (если лицо, принимающее решение, того хочет; в противном случае перейти к шагу 3).

Вышеуказанные уровни стремления относятся к желаемым значениям целевой функции, формирующим точку отсчета. Вместо математической сходимости, часто используемой в качестве критерия остановки в математических методах оптимизации , в интерактивных методах часто подчеркивается психологическая сходимость. В общем, метод завершается, когда лицо, принимающее решение, уверено, что оно нашло наиболее предпочтительное из доступных решений .

Типы информации о предпочтениях

Существуют различные интерактивные методы, включающие различные типы информации о предпочтениях. Три типа могут быть определены на основе

1. информация о компромиссах,
2. контрольные точки и
3. классификация целевых функций. ^[70]

С другой стороны, четвертый тип генерации небольшой выборки решений включен в: ^{[71] [72]} Примером интерактивного метода, использующего информацию о компромиссах, является метод Зайонца-Валлениуса , ^[73] где лицу, принимающему решения, показывают несколько объективных компромиссов на каждой итерации, и от него (нее) ожидается, что он (она) скажет, нравится ли ему (ей) каждый компромисс, не нравится или он безразличен в отношении каждого компромисса. В методах, основанных на точках отсчета (см., например, ^{[74] [75]} ), от лица, принимающего решения, на каждой итерации ожидается указание точки отсчета, состоящей из желаемых значений для каждой цели, а затем вычисляется соответствующее оптимальное по Парето решение (решения), которое затем показывается ему для анализа. В интерактивных методах, основанных на классификации, предполагается, что лицо, принимающее решения, дает предпочтения в форме классификации целей в текущем оптимальном по Парето решении на различные классы, указывая, как следует изменить значения целей, чтобы получить более предпочтительное решение. Затем классификационная информация учитывается, когда вычисляются новые (более предпочтительные) оптимальные по Парето решения. В методе удовлетворительного компромисса (STOM) ^[76] используются три класса: цели, значения которых 1) должны быть улучшены, 2) могут быть ослаблены и 3) приемлемы как таковые. В методе NIMBUS ^{[77] [78]} также используются два дополнительных класса: цели, значения которых 4) должны быть улучшены до заданной границы и 5) могут быть ослаблены до заданной границы.

Гибридные методы

Существуют различные гибридные методы, но здесь мы рассмотрим гибридизацию MCDM ( многокритериальное принятие решений ) и EMO (эволюционная многоцелевая оптимизация). Гибридный алгоритм в многоцелевой оптимизации объединяет алгоритмы/подходы из этих двух областей (см., например, ^[70] ). Гибридные алгоритмы EMO и MCDM в основном используются для преодоления недостатков за счет использования сильных сторон. В литературе было предложено несколько типов гибридных алгоритмов, например, включение подходов MCDM в алгоритмы EMO в качестве локального оператора поиска, приводящего DM к наиболее предпочтительному решению(ям) и т. д. Локальный оператор поиска в основном используется для повышения скорости сходимости алгоритмов EMO.

Корни гибридной многокритериальной оптимизации можно проследить до первого семинара Dagstuhl, организованного в ноябре 2004 года (см. здесь). Здесь некоторые из лучших умов ^{[ требуется ссылка ]} в EMO (профессор Кальянмой Деб, профессор Юрген Бранке и т. д.) и MCDM (профессор Кайса Миеттинен, профессор Ральф Э. Штойер и т. д.) осознали потенциал объединения идей и подходов областей MCDM и EMO для подготовки их гибридов. Впоследствии было организовано еще много семинаров Dagstuhl для содействия сотрудничеству. В последнее время гибридная многокритериальная оптимизация стала важной темой на нескольких международных конференциях в области EMO и MCDM (см., например, ^{[79] [80]} ).

Визуализация фронта Парето

Визуализация фронта Парето является одним из методов апостериорного предпочтения многокритериальной оптимизации. Методы апостериорного предпочтения представляют собой важный класс методов многокритериальной оптимизации. ^[2] Обычно методы апостериорного предпочтения включают четыре шага: (1) компьютер аппроксимирует фронт Парето, т. е. оптимальное по Парето множество в целевом пространстве; (2) лицо, принимающее решение, изучает аппроксимацию фронта Парето; (3) лицо, принимающее решение, определяет предпочтительную точку на фронте Парето; (4) компьютер предоставляет оптимальное по Парето решение, выход которого совпадает с целевой точкой, определенной лицом, принимающим решение. С точки зрения лица, принимающего решение, второй шаг методов апостериорного предпочтения является наиболее сложным. Существует два основных подхода к информированию лица, принимающего решение. Во-первых, ряд точек фронта Парето может быть предоставлен в виде списка (интересное обсуждение и ссылки приведены в ^[81] ) или с использованием тепловых карт. ^[82]

Визуализация в двукритериальных задачах: кривая компромисса

В случае двухкритериальных задач информирование лица, принимающего решения, относительно фронта Парето обычно осуществляется путем его визуализации: фронт Парето, часто называемый в этом случае кривой компромисса, может быть изображен на плоскости целей. Кривая компромисса дает полную информацию о значениях целей и о компромиссах целей, которые информируют о том, как улучшение одной цели связано с ухудшением второй при движении вдоль кривой компромисса. Лицо, принимающее решения, учитывает эту информацию при указании предпочтительной оптимальной по Парето целевой точки. Идея аппроксимации и визуализации фронта Парето была введена для линейных двухкритериальных задач принятия решений С. Гассом и Т. Саати. ^[83] Эта идея была развита и применена в экологических проблемах Дж. Л. Кохоном. ^[84] Обзор методов аппроксимации фронта Парето для различных задач принятия решений с небольшим количеством целей (в основном, двумя) представлен в. ^[85]

Визуализация в многокритериальных задачах оптимизации высокого порядка

Существует две общие идеи визуализации фронта Парето в многокритериальных задачах принятия решений высокого порядка (задачи с более чем двумя целями). Одна из них, которая применима в случае относительно небольшого числа целевых точек, представляющих фронт Парето, основана на использовании методов визуализации, разработанных в статистике (различные диаграммы и т. д.; см. соответствующий подраздел ниже). Вторая идея предлагает отображение двукритериальных сечений (срезов) фронта Парето. Она была введена WS Meisel в 1973 году ^[86], который утверждал, что такие срезы информируют лицо, принимающее решения, о компромиссах между целями. Фигуры, которые отображают ряд двукритериальных срезов фронта Парето для трехкритериальных задач, известны как карты решений. Они дают ясную картину компромиссов между тремя критериями. Недостатки такого подхода связаны со следующими двумя фактами. Во-первых, вычислительные процедуры для построения двуцелевых срезов фронта Парето нестабильны, поскольку фронт Парето обычно нестабилен. Во-вторых, он применим в случае только трех целей. В 1980-х годах идея WS Meisel была реализована в другой форме — в форме техники Interactive Decision Maps (IDM). ^[87] Совсем недавно Н. Веснер ^[88] предложил использовать комбинацию диаграммы Венна и множественных диаграмм рассеяния целевого пространства для исследования границы Парето и выбора оптимальных решений.

Смотрите также

• Параллельное программирование
• Программное обеспечение для принятия решений
• Программирование целей
• Интерактивные карты решений
• Принятие решений на основе множества критериев
• Многокритериальное линейное программирование
• Оптимизация многопрофильного дизайна
• эффективность по Парето
• Функция полезности
• Векторная оптимизация

Ссылки

1. J. -Y. Li, Z. -H. Zhan, Y. Li и J. Zhang, «Множественные задачи для множественных целей: новый метод многоцелевой оптимизации с помощью многозадачной оптимизации», в IEEE Transactions on Evolutionary Computation, doi :10.1109/TEVC.2023.3294307
2. Кайса Миеттинен (1999). Нелинейная многокритериальная оптимизация. Спрингер. ISBN 978-0-7923-8278-2. Получено 29 мая 2012 г.
3. Чинг-Лай Хванг; Абу Сайед Мд Масуд (1979). Многоцелевое принятие решений, методы и приложения: обзор современного состояния дел . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09111-2. Получено 29 мая 2012 г.
4. Хассанзаде, Хамидреза; Рухани, Моджтаба (2010). «Многоцелевой алгоритм гравитационного поиска». В Computational Intelligence, Communication Systems and Networks (CICSyN) : 7–12.
5. Ширази, Али; Наджафи, Бехзад; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (2014-05-01). «Термально-экономическо-экологический анализ и многоцелевая оптимизация системы хранения тепловой энергии на льду для охлаждения входящего воздуха в цикле газовой турбины». Энергия . 69 : 212–226. doi : 10.1016/j.energy.2014.02.071 . hdl : 11311/845828 .
6. Наджафи, Бехзад; Ширази, Али; Аминьявари, Мехди; Ринальди, Фабио; Тейлор, Роберт А. (2014-02-03). «Эксергетический, экономический и экологический анализ и многоцелевая оптимизация гибридного цикла SOFC-газовой турбины в сочетании с системой опреснения MSF». Опреснение . 334 (1): 46–59. doi : 10.1016/j.desal.2013.11.039 . hdl : 11311/764704 .
7. Рафией, СМР; Амирахмади, А.; Грива, Г. (2009). «Подавление хаоса и оптимальная динамическая реакция для повышающего преобразователя с использованием подхода многоцелевой оптимизации SPEA». 2009 35-я ежегодная конференция IEEE Industrial Electronics . стр. 3315–3322. doi :10.1109/IECON.2009.5415056. ISBN 978-1-4244-4648-3. S2CID  2539380.
8. Роппонен, А.; Ритала, Р.; Пистикопулос, Э.Н. (2011). «Проблемы оптимизации системы управления браком в производстве бумаги». Компьютеры и химическая инженерия . 35 (11): 2510. doi :10.1016/j.compchemeng.2010.12.012.
9. Pllana, Sabri; Memeti, Suejb; Kolodziej, Joanna (2019). «Настройка имитации отжига по Парето для многокритериальной оптимизации компоновки шкафа управления». arXiv : 1906.04825 [cs.OH].
10. Нгуен, Хоанг Ань; ван Иперен, Зейн; Рагхунатх, Шрикант; Абрамсон, Дэвид; Кипурос, Тимолеон; Сомасехаран, Сандип (2017). «Многокритериальная оптимизация в научном рабочем процессе». Procedia Информатика . 108 : 1443–1452. дои : 10.1016/j.procs.2017.05.213 . hdl : 1826/12173 .
11. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Васант, П. (2015-07-01). «Многоцелевая оптимизация конструкции нано-КМОП-генератора, управляемого напряжением, с использованием игровой теоретико-дифференциальной эволюции». Applied Soft Computing . 32 : 293–299. doi :10.1016/j.asoc.2015.03.016.
12. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (2013-01-01). "Аналитическое программирование на основе гиперобъемов для оптимизации ирригационной системы на солнечных батареях". В Зелинка, Иван; Чэнь, Гуанронг; Рёсслер, Отто Э.; Снасел, Вацлав; Абрахам, Аджит (ред.). Нострадамус 2013: Прогнозирование, моделирование и анализ сложных систем . Достижения в области интеллектуальных систем и вычислений. Том 210. Springer International Publishing. стр. 147–154. doi :10.1007/978-3-319-00542-3_15. ISBN 978-3-319-00541-6.
13. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Шаари, Ку Зилати Ку; Васант, П. (2013-01-01). "Многоцелевая оптимизация системы формовочной смеси зеленого песка с использованием хаотической дифференциальной эволюции". В Гаврилова, Марина Л .; Тан, К. Дж. Кеннет; Абрахам, Аджит (ред.). Труды по вычислительной науке XXI . Конспект лекций по информатике. Том 8160. Springer Berlin Heidelberg. стр. 145–163. doi :10.1007/978-3-642-45318-2_6. ISBN 978-3-642-45317-5.
14. Surekha, B.; Kaushik, Lalith K.; Panduy, Abhishek K.; Vundavilli, Pandu R.; Parappagoudar, Mahesh B. (2011-05-07). "Многоцелевая оптимизация системы формования сырого песка с использованием эволюционных алгоритмов". Международный журнал передовых производственных технологий . 58 (1–4): 9–17. doi :10.1007/s00170-011-3365-8. ISSN  0268-3768. S2CID  110315544.
15. "Многоцелевая оптимизация в конструкции двигателя с использованием генетических алгоритмов для улучшения характеристик двигателя | ESTECO". www.esteco.com . Получено 01.12.2015 .
16. Куртель, Э.; Мортье, Ф.; Леотуан, Л.; Рагно, Э. (2005-05-16). «Многоцелевая надежная оптимизация конструкции системы крепления двигателя». Серия технических документов SAE (PDF) . Том 1. Уоррендейл, Пенсильвания. doi : 10.4271/2005-01-2412. S2CID  20170456.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
17. Доминго-Перес, Франциско; Лазаро-Галилеа, Хосе Луис; Визер, Андреас; Мартин-Горостиса, Эрнесто; Салидо-Монсу, Дэвид; Льяна, Альваро де ла (апрель 2016 г.). «Определение размещения датчика для позиционирования разницы дальностей с использованием эволюционной многоцелевой оптимизации». Экспертные системы с приложениями . 47 : 95–105. doi :10.1016/j.eswa.2015.11.008.
18. Бемпорад, Альберто; Муньос де ла Пенья, Давид (1 декабря 2009 г.). «Многокритериальное модельное прогнозирующее управление». Автоматика . 45 (12): 2823–2830. doi :10.1016/j.automatica.2009.09.032.
19. Панда, Сидхартха (2009-06-01). «Многоцелевой эволюционный алгоритм для проектирования контроллера на основе SSSC». Electric Power Systems Research . 79 (6): 937–944. doi :10.1016/j.epsr.2008.12.004.
20. Фиандака, Джованна; Фрага, Эрик С.; Брэндани, Стефано (2009). «Многоцелевой генетический алгоритм для проектирования адсорбции при переменном давлении». Engineering Optimization . 41 (9): 833–854. doi :10.1080/03052150903074189. S2CID  120201436 . Получено 01.12.2015 .
21. Сендин, Хосе Оскар Х.; Алонсо, Антонио А.; Банга, Хулио Р. (2010-06-01). «Эффективная и надежная многоцелевая оптимизация обработки пищевых продуктов: новый подход с применением к термической стерилизации». Журнал пищевой инженерии . 98 (3): 317–324. doi :10.1016/j.jfoodeng.2010.01.007. hdl : 10261/48082 .
22. Ганесан, Т.; Эламвазути, И.; Ку Шаари, Ку Зилати; Васант, П. (2013-03-01). «Алгоритм роевого интеллекта и гравитационного поиска для многоцелевой оптимизации производства синтез-газа». Applied Energy . 103 : 368–374. Bibcode : 2013ApEn..103..368G. doi : 10.1016/j.apenergy.2012.09.059.
23. Ганесан, Тимоти; Эламвазути, Ирраиван; Васант, Пандиан; Шаари, Ку Зилати Ку (2015-03-23). ​​«Многоцелевая оптимизация процесса экстракции биоактивных соединений с помощью эволюционных стратегий». В Нгуен, Нгок Тхань; Травински, Богдан; Косала, Рэймонд (ред.). Интеллектуальные информационные системы и системы баз данных . Конспект лекций по информатике. Том 9012. Springer International Publishing. стр. 13–21. doi :10.1007/978-3-319-15705-4_2. ISBN 978-3-319-15704-7.
24. Мехди, Хосров-Пур (2014-06-30). Современные достижения в области развития информационных технологий в динамических средах. IGI Global. ISBN 9781466662537.
25. Абакаров. А., Сушков. Ю., Маскерони. Р. Х. (2012). "Многокритериальная оптимизация и подход к принятию решений для улучшения процессов пищевой инженерии" (PDF) . Международный журнал пищевых исследований . 2 : 1–21. doi :10.7455/ijfs/2.1.2013.a1. S2CID  3708256.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
26. Абакаров, А., Сушков, Ю., Альмонасид, С. и Симпсон, Р. (2009). «Многоцелевой подход к оптимизации: термическая обработка пищевых продуктов». Журнал пищевой науки . 74 (9): E471–E487. doi :10.1111/j.1750-3841.2009.01348.x. hdl : 10533/134983 . PMID  20492109.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Пирс, Маргарет; Мутлу, Бильге; Шах, Джули; Радвин, Роберт (2018). «Оптимизация Makespan и эргономики при интеграции коллаборативных роботов в производственные процессы». Труды IEEE по автоматизации науки и техники . 15 (4): 1772–1784. doi : 10.1109/tase.2018.2789820 . ISSN  1545-5955. S2CID  52927442.
28. E. Björnson и E. Jorswieck, Оптимальное распределение ресурсов в скоординированных многоклеточных системах, Основы и тенденции в теории коммуникаций и информации, т. 9, № 2-3, стр. 113-381, 2013.
29. Z.-Q. Luo и S. Zhang, Динамическое управление спектром: сложность и двойственность, IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, т. 2, № 1, стр. 57–73, 2008.
30. Мерлин, А.; Бэк, Х. Поиск конфигурации связующего дерева с минимальными потерями в городской системе распределения электроэнергии. В трудах Пятой компьютерной конференции по энергосистемам 1975 года (PSCC), Кембридж, Великобритания, 1–5 сентября 1975 г.; стр. 1–18.
31. Мендоса, Дж. Э.; Лопес, М. Э.; Коэльо, К. А.; Лопес, Е. А. Микрогенетический многокритериальный алгоритм реконфигурации, учитывающий потери мощности и показатели надежности для распределительной сети среднего напряжения. IET Gener. Transm. Distrib. 2009, 3, 825–840.
32. Бернардон, Д.П.; Гарсия, В.Дж.; Феррейра, А.С.К.; Канья, Л.Н. Многокритериальная реконфигурация распределительной сети с учетом анализа подсистемы передачи. IEEE Trans. Power Deliv. 2010, 25, 2684–2691.
33. Аманулла, Б.; Чакрабарти, С.; Сингх, С. Н. Реконфигурация систем распределения электроэнергии с учетом надежности и потерь электроэнергии. IEEE Trans. Power Deliv. 2012, 27, 918–926.
34. Томояга, Б.; Чиндрис, М.; Сумпер, А.; Судрия-Андреу, А.; Виллафафила-Роблес, Р. Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II. Energies 2013, 6, 1439-1455.
35. Гальсеран, Энрик; Каррерас, Марк (2013). «Обзор планирования пути покрытия для робототехники». Робототехника и автономные системы . 61 (12): 1258–1276. CiteSeerX 10.1.1.716.2556 . doi :10.1016/j.robot.2013.09.004. ISSN  0921-8890. S2CID  1177069. 
36. Эллефсен, КО; Лепиксон, HA; Альбиез, Дж. К. (2019). «Планирование многоцелевого покрытия пути: обеспечение автоматизированного осмотра сложных реальных структур». Applied Soft Computing . 61 : 264–282. arXiv : 1901.07272 . Bibcode :2019arXiv190107272O. doi :10.1016/j.asoc.2017.07.051. hdl :10852/58883. ISSN  1568-4946. S2CID  6183350.
37. Маттиас Эрготт (1 июня 2005 г.). Многокритериальная оптимизация. Birkhäuser. ISBN 978-3-540-21398-7. Получено 29 мая 2012 г.
38. Карлос А. Коэльо Коэльо; Гэри Б. Ламонт; Дэвид А. Ван Вельдхейзен (2007). Эволюционные алгоритмы для решения многоцелевых задач. Springer. ISBN 978-0-387-36797-2. Получено 1 ноября 2012 г.
39. Юрген Бранке; Кальянмой Деб; Кайса Миеттинен; Роман Словински (21 ноября 2008 г.). Многоцелевая оптимизация: интерактивные и эволюционные подходы. Springer. ISBN 978-3-540-88907-6. Получено 1 ноября 2012 г.
40. Зелени, М. (1973), «Программирование компромиссов», в Cochrane, JL; Зелени, М. (ред.), Принятие решений по нескольким критериям , University of South Carolina Press, Колумбия, стр. 262–301
41. Wierzbicki, AP (1982). «Математическая основа для удовлетворительного принятия решений». Математическое моделирование . 3 (5): 391–405. doi : 10.1016/0270-0255(82)90038-0 .
42. Сен, Чандра, (1983) Новый подход к многоцелевому планированию развития сельских районов, The Indian Economic Journal, т. 30, (4), 91-96.
43. Дэниел Головин и Цюи Чжан. Случайные гиперобъемные скаляризации для доказуемой многоцелевой оптимизации черного ящика. ICML 2021. https://arxiv.org/abs/2006.04655
44. Сюй, Дж., Тао, З. (2011). Грубое принятие решений с множественными целями. Vereinigtes Königreich: CRC Press., стр. 67 https://books.google.com/books?id=zwDSBQAAQBAJ&dq=the%20minimax%20multi%20objective%20-game&pg=PA67
45. Das, I.; Dennis, JE (1998). "Нормальное граничное пересечение: новый метод генерации поверхности Парето в нелинейных многокритериальных задачах оптимизации". SIAM Journal on Optimization . 8 (3): 631. doi :10.1137/S1052623496307510. hdl : 1911/101880 . S2CID  207081991.
46. S. Motta, Renato; Afonso, Silvana MB; Lyra, Paulo RM (8 января 2012 г.). «Модифицированный метод NBI и NC для решения задач N-многокритериальной оптимизации». Structural and Multidisciplinary Optimization . 46 (2): 239–259. doi :10.1007/s00158-011-0729-5. S2CID  121122414.
47. Messac, A. ; Ismail-Yahaya, A.; Mattson, CA (2003). "Метод нормализованных нормальных ограничений для генерации границы Парето". Structural and Multidisciplinary Optimization . 25 (2): 86–98. doi :10.1007/s00158-002-0276-1. S2CID  58945431.
48. Messac, A.; Mattson, CA (2004). «Метод нормальных ограничений с гарантией равномерного представления полной границы Парето». Журнал AIAA . 42 (10): 2101–2111. Bibcode : 2004AIAAJ..42.2101M. doi : 10.2514/1.8977.
49. Мюллер-Гритшнедер, Даниэль; Греб, Хельмут; Шлихтманн, Ульф (2009). «Последовательный подход к вычислению ограниченного фронта Парето практических задач многокритериальной оптимизации». Журнал SIAM по оптимизации . 20 (2): 915–934. doi :10.1137/080729013.
50. Эрфани, Тохид; Утюжников, Сергей В. (2010). «Направленная область поиска: метод равномерной генерации границы Парето в многокритериальной оптимизации». Engineering Optimization . 43 (5): 467–484. doi :10.1080/0305215X.2010.497185. ISSN  0305-215X.
51. Deb, K.; Pratap, A.; Agarwal, S.; Meyarivan, T. (2002). "Быстрый и элитарный многоцелевой генетический алгоритм: NSGA-II". IEEE Transactions on Evolutionary Computation . 6 (2): 182. CiteSeerX 10.1.1.17.7771 . doi :10.1109/4235.996017. S2CID  9914171. 
52. Деб, Кальянмой; Джейн, Химансю (2014). «Эволюционный алгоритм многокритериальной оптимизации с использованием подхода к недоминируемой сортировке на основе опорных точек, часть I: решение проблем с ограничениями ящиков». Труды IEEE по эволюционным вычислениям . 18 (4): 577–601. doi : 10.1109/TEVC.2013.2281535. ISSN  1089-778X. S2CID  206682597.
53. Джейн, Химансю; Деб, Кальянмой (2014). «Эволюционный алгоритм многокритериальной оптимизации с использованием подхода к недоминируемой сортировке на основе опорных точек, часть II: обработка ограничений и расширение до адаптивного подхода». Труды IEEE по эволюционным вычислениям . 18 (4): 602–622. doi :10.1109/TEVC.2013.2281534. ISSN  1089-778X. S2CID  16426862.
54. Цицлер, Э., Лауманнс, М., Тиле, Л.: SPEA2: Улучшение производительности эволюционного алгоритма прочности Парето, Технический отчет 103, Лаборатория компьютерной инженерии и коммуникационных сетей (TIK), Швейцарский федеральный технологический институт (ETH), Цюрих (2001) [1]
55. Суман, Б.; Кумар, П. (2006). «Обзор имитации отжига как инструмента для однокритериальной и многокритериальной оптимизации». Журнал Operational Research Society . 57 (10): 1143–1160. doi :10.1057/palgrave.jors.2602068. S2CID  18916703.
56. Данило Васконселлос Варгас, Дзюнъити Мурата, Хиротака Такано, Александр Клаудио Ботаццо Дельбем (2015), «Общая структура субпопуляций и укрощение конфликта внутри популяций», Эволюционные вычисления 23 (1), 1-36.
57. Леман, Джоэл и Кеннет О. Стэнли. «Отказ от целей: эволюция только через поиск новизны». Эволюционные вычисления 19.2 (2011): 189-223.
58. Навон, Авив; Шамсиан, Авив; Чечик, Гал; Фетайя, Итан (2021-04-26). «Изучение фронта Парето с помощью гиперсетей». Труды Международной конференции по обучению представлениям (ICLR) . arXiv : 2010.04104 .
59. Синчао, Лю; Синь, Тонг; Цян, Лю (2021-12-06). «Профилирование фронта Парето с помощью многоцелевого вариационного градиентного спуска Штейна». Достижения в области нейронных систем обработки информации . 34 .
60. Мавротас, Джордж (2009). «Эффективная реализация метода ε-ограничений в задачах многоцелевого математического программирования». Прикладная математика и вычисления . 213 (2): 455–465. doi :10.1016/j.amc.2009.03.037. ISSN  0096-3003.
61. Карвальо, Яго А.; Рибейро, Марко А. (2020). «Точный подход к задаче дерева калибровки с минимальной стоимостью и ограниченной ошибкой». Annals of Operations Research . 287 (1): 109–126. doi :10.1007/s10479-019-03443-4. ISSN  0254-5330. S2CID  209959109.
62. Мавротас, Г.; Диакулаки, Д. (2005). «Многокритериальный метод ветвей и границ: векторный алгоритм максимизации для смешанного линейного программирования с несколькими целями 0-1». Прикладная математика и вычисления . 171 (1): 53–71. doi :10.1016/j.amc.2005.01.038. ISSN  0096-3003.
63. Винсент, Томас; Зайпп, Флориан; Рузика, Стефан; Пржибыльский, Энтони; Гандибле, Ксавье (2013). «Многоцелевой переход и граница для смешанного линейного программирования 0-1: исправления и улучшения для случая биообъективности». Computers & Operations Research . 40 (1): 498–509. doi :10.1016/j.cor.2012.08.003. ISSN  0305-0548.
64. Пржибыльский, Энтони; Гандибле, Ксавье (2017). «Многоцелевой метод ветвей и границ». Европейский журнал операционных исследований . 260 (3): 856–872. doi :10.1016/j.ejor.2017.01.032. ISSN  0377-2217.
65. Крафт, Д.; Халаби, Т.; Ши, Х.; Бортфельд, Т. (2006). «Аппроксимация выпуклых поверхностей Парето при многоцелевом планировании лучевой терапии». Медицинская физика . 33 (9): 3399–3407. Bibcode : 2006MedPh..33.3399C. doi : 10.1118/1.2335486. PMID  17022236.
66. Beume, N.; Naujoks, B.; Emmerich, M. (2007). "SMS-EMOA: Многоцелевой выбор на основе доминируемого гиперобъема". European Journal of Operational Research . 181 (3): 1653. doi :10.1016/j.ejor.2006.08.008.
67. Брингманн, Карл; Фридрих, Тобиас; Нойманн, Франк; Вагнер, Маркус (2011). «Аппроксимационно-ориентированная эволюционная многокритериальная оптимизация». IJCAI . doi :10.5591/978-1-57735-516-8/IJCAI11-204.
68. Баттити, Роберто; Мауро Брунато; Франко Массия (2008). Реактивный поиск и интеллектуальная оптимизация . Спрингер Верлаг . ISBN 978-0-387-09623-0.
69. Баттити, Роберто; Мауро Брунато (2011). Реактивная бизнес-аналитика. От данных к моделям и к пониманию. Тренто, Италия: Reactive Search Srl. ISBN 978-88-905795-0-9.
70. Миеттинен, К.; Руис, Ф.; Вежбицкий, А. П. (2008). «Введение в многоцелевую оптимизацию: интерактивные подходы». Многоцелевая оптимизация . Конспект лекций по информатике. Том 5252. С. 27–57. CiteSeerX 10.1.1.475.465 . doi :10.1007/978-3-540-88908-3_2. ISBN  978-3-540-88907-6.
71. Luque, M.; Ruiz, F.; Miettinen, K. (2008). «Глобальная формулировка для интерактивной многокритериальной оптимизации». OR Spectrum . 33 : 27–48. doi :10.1007/s00291-008-0154-3. S2CID  15050545.
72. Руис, Ф.; Луке, М.; Миеттинен, К. (2011). «Улучшение вычислительной эффективности в глобальной формулировке (GLIDE) для интерактивной многокритериальной оптимизации». Annals of Operations Research . 197 : 47–70. doi :10.1007/s10479-010-0831-x. S2CID  14947919.
73. Zionts, S.; Wallenius, J. (1976). «Метод интерактивного программирования для решения многокритериальной проблемы». Management Science . 22 (6): 652. doi :10.1287/mnsc.22.6.652.
74. Wierzbicki, AP (1986). «О полноте и конструктивности параметрических характеристик для задач векторной оптимизации». OR Spektrum . 8 (2): 73–78. doi :10.1007/BF01719738. S2CID  121771992.
75. Анджей П. Вежбицкий; Марек Маковски; Яап Вессельс (31 мая 2000 г.). Методология поддержки принятия решений на основе моделей с экологическими приложениями. Springer. ISBN 978-0-7923-6327-9. Получено 17 сентября 2012 г.
76. Накаяма, Х.; Савараги, И. (1984), «Метод удовлетворительного компромисса для многоцелевого программирования», в Grauer, М.; Wierzbicki, AP (ред.), Interactive Decision Analysis , Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, стр. 113–122
77. Миеттинен, К.; Мякеля, ММ (1995). «Интерактивный метод недифференцируемой многокритериальной оптимизации на основе пакетов: Nimbus§». Оптимизация . 34 (3): 231. дои : 10.1080/02331939508844109.
78. Миеттинен, К.; Мякеля, ММ (2006). «Синхронный подход в интерактивной многокритериальной оптимизации». Европейский журнал операционных исследований . 170 (3): 909. doi :10.1016/j.ejor.2004.07.052.
79. Sindhya, K.; Ruiz, AB; Miettinen, K. (2011). "Интерактивный эволюционный алгоритм на основе предпочтений для многокритериальной оптимизации: PIE". Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. Том 6576. С. 212–225. doi :10.1007/978-3-642-19893-9_15. ISBN 978-3-642-19892-2.
80. Sindhya, K.; Deb, K.; Miettinen, K. (2008). "Локальный поиск на основе эволюционного многоцелевого подхода к оптимизации для быстрой и точной сходимости". Параллельное решение задач из природы – PPSN X. Конспект лекций по информатике. Том 5199. С. 815–824. doi :10.1007/978-3-540-87700-4_81. ISBN 978-3-540-87699-1.
81. Бенсон, Гарольд П.; Сайин, Серпил (1997). «К поиску глобальных представлений эффективного множества в многоцелевом математическом программировании» (PDF) . Naval Research Logistics . 44 (1): 47–67. doi :10.1002/(SICI)1520-6750(199702)44:1<47::AID-NAV3>3.0.CO;2-M. hdl :11693/25666. ISSN  0894-069X.
82. Pryke, Andy; Sanaz Mostaghim; Alireza Nazemi (2007). "Визуализация тепловой карты многоцелевых алгоритмов на основе популяции". Эволюционная многокритериальная оптимизация . Конспект лекций по информатике. Том 4403. С. 361–375. doi :10.1007/978-3-540-70928-2_29. ISBN 978-3-540-70927-5. S2CID  2502459.
83. Гасс, Саул; Саати, Томас (1955). «Вычислительный алгоритм для параметрической целевой функции». Naval Research Logistics Quarterly . 2 (1–2): 39–45. doi :10.1002/nav.3800020106. ISSN  0028-1441.
84. Джаред Л. Кохон (13 января 2004 г.). Многоцелевое программирование и планирование. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-43263-2. Получено 29 мая 2012 г.
85. Ruzika, S.; Wiecek, MM (2005). «Методы аппроксимации в многоцелевом программировании». Журнал теории оптимизации и приложений . 126 (3): 473–501. doi :10.1007/s10957-005-5494-4. ISSN  0022-3239. S2CID  122221156.
86. Мейзел, В. Л. (1973), Дж. Л. Кокрейн; М. Зелени (ред.), «Компромиссное решение при принятии решений по нескольким критериям», Принятие решений по нескольким критериям : 461–476
87. А. В. Лотов; В. А. Бушенков; Г. К. Каменев (29 февраля 2004 г.). Интерактивные карты решений: аппроксимация и визуализация границы Парето. Springer. ISBN 978-1-4020-7631-2. Получено 29 мая 2012 г.
88. Веснер, Н. (2017), «Многоцелевая оптимизация с помощью визуализации», Economics Bulletin , 37 (2): 1226–1233

Внешние ссылки

• Эммерих, МТМ, Дойц, А.Х. Учебное пособие по многокритериальной оптимизации: основы и эволюционные методы. Nat Comput 17, 585–609 (2018). https://doi.org/10.1007/s11047-018-9685-y
• Международное общество по принятию решений на основе множественных критериев
• Эволюционная многокритериальная оптимизация, проект демонстраций Wolfram
• Учебное пособие по многокритериальной оптимизации и генетическим алгоритмам, профессиональный партнер Scilab
• Томойага, Богдан; Чиндрис, Мирча; Сампер, Андреас; Судрия-Андреу, Антони; Вильяфафила-Роблес, Роберто. 2013. «Оптимальная по Парето реконфигурация систем распределения электроэнергии с использованием генетического алгоритма на основе NSGA-II». Энергии 6, нет. 3: 1439-1455.
• Список литературы по эволюционной многокритериальной оптимизации