Производный набор (математика)

Множество всех предельных точек множества

В математике, а точнее в топологии точечной топологии , производное множество подмножества топологического пространства — это множество всех предельных точек Оно обычно обозначается как ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S'.}$

Это понятие впервые было введено Георгом Кантором в 1872 году, и он разработал теорию множеств в значительной степени для изучения производных множеств на действительной прямой .

Определение

Производное множество подмножества топологического пространства, обозначаемое как , представляет собой множество всех точек , являющихся предельными точками , то есть точек, таких, что каждая окрестность содержит точку , отличную от нее самой . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S',}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Примеры

Если наделено своей обычной евклидовой топологией , то производное множество полуоткрытого интервала является замкнутым интервалом ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1].}$

Рассмотрим топологию (открытые множества) , состоящую из пустого множества и любого подмножества , содержащего 1. Производное множество имеет вид ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A:=\{1\}}$ ${\displaystyle A'=\mathbb {R} \setminus \{1\}.}$

Характеристики

Если и являются подмножествами топологического пространства , то производное множество обладает следующими свойствами: ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}}),}$

• ${\displaystyle \varnothing '=\varnothing }$
• ${\displaystyle a\in A'}$подразумевает ${\displaystyle a\in (A\setminus \{a\})'}$
• ${\displaystyle (A\cup B)'=A'\cup B'}$
• ${\displaystyle A\subseteq B}$подразумевает ${\displaystyle A'\subseteq B'}$

Подмножество топологического пространства замкнуто в точности тогда, когда ^[1] то есть, когда содержит все свои предельные точки. Для любого подмножества множество замкнуто и является замыканием ( то есть множеством ). ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S\cup S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$

Производное множество подмножества пространства не обязательно должно быть замкнутым в общем случае. Например, если с тривиальной топологией множество имеет производное множество , которое не замкнуто в Но производное множество замкнутого множества всегда замкнуто. ^{[доказательство 1]} Кроме того, если является пространством T 1 , производное множество каждого подмножества замкнуто в ^{[4] [5]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle S=\{a\}}$ ${\displaystyle S'=\{b\},}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Два подмножества и разделены именно тогда, когда они не пересекаются и каждое из них не пересекается с производным множеством другого ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\textstyle S'\cap T=\varnothing =T'\cap S.}$

Биекция между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда производное множество образа ( во втором пространстве) любого подмножества первого пространства является образом производного множества этого подмножества. ^[7]

Пространство является пространством T 1 , если каждое подмножество, состоящее из одной точки, замкнуто. ^[8] В пространстве T ₁ производное множество множества, состоящего из одного элемента, пусто (Пример 2 выше не является пространством T ₁ ). Из этого следует, что в пространствах T ₁ производное множество любого конечного множества пусто и, более того, для любого подмножества и любой точки пространства. Другими словами, производное множество не изменяется при добавлении или удалении из данного множества конечного числа точек. ^[9] Можно также показать, что в пространстве T ₁ для любого подмножества ^[10] $${\displaystyle (S-\{p\})'=S'=(S\cup \{p\})',}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(S'\right)'\subseteq S'}$ ${\displaystyle S.}$

Множество с (то есть не содержащее изолированных точек ) называется плотным в себе . Множество с называется совершенным множеством . ^[11] Эквивалентно, совершенное множество — это замкнутое плотное в себе множество или, другими словами, замкнутое множество без изолированных точек. Совершенные множества особенно важны в приложениях теоремы Бэра о категории . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\subseteq S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=S'}$

Теорема Кантора –Бендиксона утверждает, что любое польское пространство может быть записано как объединение счетного множества и совершенного множества. Поскольку любое подмножество G δ польского пространства снова является польским пространством, теорема также показывает, что любое подмножество G _δ польского пространства является объединением счетного множества и множества, совершенного относительно индуцированной топологии .

Топология в терминах производных множеств

Поскольку гомеоморфизмы могут быть описаны полностью в терминах производных множеств, производные множества использовались как примитивное понятие в топологии . Множество точек может быть снабжено оператором, отображающим подмножества в подмножества таким образом, что для любого множества и любой точки : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$

1. ${\displaystyle \varnothing ^{*}=\varnothing }$
2. ${\displaystyle S^{**}\subseteq S^{*}\cup S}$
3. ${\displaystyle a\in S^{*}}$подразумевает ${\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{*}}$
4. ${\displaystyle (S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*}}$
5. ${\displaystyle S\subseteq T}$подразумевает ${\displaystyle S^{*}\subseteq T^{*}.}$

Называя множество замкнутым , мы определим топологию на пространстве, в котором находится производный оператор множества, то есть ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{*}\subseteq S}$ ${\displaystyle S\mapsto S^{*}}$ ${\displaystyle S^{*}=S'.}$

Ранг Кантора–Бендиксона

Для порядковых чисел -я производная Кантора– Бендиксона топологического пространства определяется путем многократного применения операции производного множества с использованием трансфинитной рекурсии следующим образом: ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \alpha }$

• ${\displaystyle \displaystyle X^{0}=X}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\alpha +1}=\left(X^{\alpha }\right)'}$
• ${\displaystyle \displaystyle X^{\lambda }=\bigcap _{\alpha <\lambda }X^{\alpha }}$для предельных ординалов ${\displaystyle \lambda .}$

Трансфинитная последовательность производных Кантора–Бендиксона убывает и в конечном итоге должна быть постоянной. Наименьший ординал такой, что называется ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }}$Ранг Кантора-Бендиксона ${\displaystyle X.}$

Это исследование процесса вывода было одним из мотивов введения порядковых числительных Георгом Кантором .

Смотрите также

• Точка присоединения  – точка, принадлежащая замыканию некоторого заданного подмножества топологического пространства.
• Точка конденсации  – более сильный аналог предельной точки.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Изолированная точка  – точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
• Предельная точка  – точка кластера в топологическом пространствеPages displaying short descriptions of redirect targets

Примечания

1. Baker 1991, стр. 41
2. Первин 1964, стр.38
3. Бейкер 1991, стр. 42
4. Энгелькинг 1989, стр. 47
5. «Общая топология. Доказательство замкнутости производного множества $E'$».
6. Первин 1964, стр. 51
7. Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988) [1961], Топология, Дувр, стр. 4, ISBN 0-486-65676-4
8. Первин 1964, стр. 70
9. Куратовский 1966, стр.77
10. Куратовский 1966, стр.76
11. Первин 1964, стр. 62

Доказательства

1. Доказательство: Предполагая, что есть замкнутое подмножество , которое показывает, что возьмите производное множество с обеих сторон, чтобы получить , что есть, замкнуто в ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle S'\subseteq S,}$ ${\displaystyle S''\subseteq S';}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle X.}$

Ссылки

• Бейкер, Крамп В. (1991), Введение в топологию , Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Куратовский, К. (1966), Топология , т. 1, Academic Press, ISBN 0-12-429201-1
• Первин, Уильям Дж. (1964), Основы общей топологии , Academic Press

Дальнейшее чтение

• Кехрис, Александр С. (1995). Классическая описательная теория множеств ( Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
• Серпинский, Вацлав Ф. ; перевод Кригера, К. Сесилии (1952). Общая топология . Университет Торонто Пресс.

Внешние ссылки

• Статья PlanetMath о производной Кантора–Бендиксона