Теорема Бэра о категории

О топологических пространствах, где пересечение счетного числа плотных открытых множеств плотно

Теорема о категории Бэра ( BCT ) является важным результатом в общей топологии и функциональном анализе . Теорема имеет две формы, каждая из которых дает достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было пространством Бэра (топологическое пространство, такое, что пересечение счетного числа плотных открытых множеств все еще плотно). Она используется при доказательстве результатов во многих областях анализа и геометрии , включая некоторые из основных теорем функционального анализа .

Версии теоремы Бэра о категории были впервые независимо доказаны в 1897 году Осгудом для действительной прямой и в 1899 году Бэром ^[1] для евклидова пространства . ^[2] Более общее утверждение для полностью метризуемых пространств впервые было показано Хаусдорфом ^[3] в 1914 году. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Заявление

Пространство Бэра — это топологическое пространство , в котором каждое счетное пересечение открытых плотных множеств плотно в . Список эквивалентных характеристик см. в соответствующей статье, поскольку некоторые из них более полезны, чем другие, в зависимости от приложения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

• ( BCT1 ) Каждое полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. ^{[4] [5] [6]} В частности, каждое полностью метризуемое топологическое пространство является пространством Бэра. ^[7]
• ( BCT2 ) Каждое локально компактное регулярное пространство является пространством Бэра. ^{[4] [8]} В частности, каждое локально компактное хаусдорфово пространство является пространством Бэра. ^{[9] [7]}

Ни одно из этих утверждений не подразумевает прямо другое, поскольку существуют полные метрические пространства, которые не являются локально компактными ( иррациональные числа с метрикой, определенной ниже; также любое банахово пространство бесконечной размерности ) , и существуют локально компактные хаусдорфовы пространства, которые не являются метризуемыми (например, любое несчетное произведение нетривиальных компактных хаусдорфовых пространств; также несколько функциональных пространств, используемых в функциональном анализе; несчетное пространство Форта ). См. Стин и Зеебах в приведенных ниже ссылках.

Отношение к аксиоме выбора

Доказательство BCT1 для произвольных полных метрических пространств требует некоторой формы аксиомы выбора ; и на самом деле BCT1 эквивалентно над ZF аксиоме зависимого выбора , слабой форме аксиомы выбора. ^[10]

Ограниченная форма теоремы Бэра о категории, в которой также предполагается, что полное метрическое пространство является сепарабельным , доказуема в ZF без дополнительных принципов выбора. ^[11] Эта ограниченная форма применима, в частности, к действительной прямой , пространству Бэра , пространству Кантора и сепарабельному гильбертову пространству, такому как -пространство . ${\displaystyle \omega ^{\omega },}$ ${\displaystyle 2^{\omega },}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Использует

BCT1 используется в функциональном анализе для доказательства теоремы об открытом отображении , теоремы о замкнутом графике и принципа равномерной ограниченности .

BCT1 также показывает, что каждое непустое полное метрическое пространство без изолированной точки несчетно . (Если — непустое счетное метрическое пространство без изолированной точки, то каждый синглтон в нигде не плотен и является тощим сам по себе.) В частности, это доказывает, что множество всех действительных чисел несчетно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

BCT1 показывает, что каждое из следующих пространств является пространством Бэра:

• Пространство действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Иррациональные числа с метрикой, определяемой соотношением, где — первый индекс, для которого разложения в цепную дробь и различаются (это полное метрическое пространство) ${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Множество Кантора

Согласно BCT2 , каждое конечномерное хаусдорфово многообразие является пространством Бэра, поскольку оно локально компактно и хаусдорфово. Это так даже для непаракомпактных ( следовательно, неметризуемых) многообразий, таких как длинная линия .

BCT используется для доказательства теоремы Хартогса — фундаментального результата в теории многих комплексных переменных.

BCT1 используется для доказательства того, что банахово пространство не может иметь счетно бесконечную размерность.

Доказательство

( BCT1 ) Ниже приведено стандартное доказательство того, что полное псевдометрическое пространство является пространством Бэра. ^[6] ${\displaystyle X}$

Пусть будет счетным набором открытых плотных подмножеств. Мы хотим показать, что пересечение плотно. Подмножество плотно тогда и только тогда, когда каждое непустое открытое подмножество пересекает его. Таким образом, чтобы показать, что пересечение плотно, достаточно показать, что любое непустое открытое подмножество имеет некоторую общую точку со всеми из . Поскольку является плотным, пересекает , следовательно, существуют точка и число, такие что: где и обозначают открытый и закрытый шары, соответственно, с центрами в с радиусом Поскольку каждое является плотным, это построение можно продолжить рекурсивно, чтобы найти пару последовательностей и таких, что: ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U_{1};}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle 0<r_{1}<1}$ $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}}$$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle 0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}}$ $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.}$$

(Этот шаг опирается на аксиому выбора и тот факт, что конечное пересечение открытых множеств открыто и, следовательно, внутри него можно найти открытый шар с центром в .) Последовательность является последовательностью Коши, поскольку всякий раз, когда и, следовательно, сходится к некоторому пределу по полноте. Если — положительное целое число, то (потому что это множество замкнуто). Таким образом , и для всех ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)}$ ${\displaystyle n>m,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)}$ ${\displaystyle x\in W}$ ${\displaystyle x\in U_{n}}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Существует альтернативное доказательство, использующее игру Шоке . ^[12]

( BCT2 ) Доказательство того, что локально компактное регулярное пространство является пространством Бэра, аналогично. ^[8] Оно использует факты, что (1) в таком пространстве каждая точка имеет локальную базу замкнутых компактных окрестностей; и (2) в компактном пространстве любой набор замкнутых множеств со свойством конечного пересечения имеет непустое пересечение. Результат для локально компактных хаусдорфовых пространств является частным случаем, поскольку такие пространства являются регулярными. ${\displaystyle X}$

Примечания

1. Бэр, Р. (1899). «Сюр-ле-функции переменных». Энн. Ди Мат . 3 : 1–123.
2. Бурбаки 1989, Историческая справка, стр. 272.
3. Энгелькинг 1989, Исторические и библиографические примечания к разделу 4.3, стр. 277.
4. Kelley 1975, теорема 34, стр. 200.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, Теорема 11.7.2, стр. 393.
6. Schechter 1996, теорема 20.16, с. 537.
7. Willard 2004, Следствие 25.4.
8. Schechter 1996, теорема 20.18, с. 538.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, Теорема 11.7.3, стр. 394.
10. Блэр, Чарльз Э. (1977). «Теорема Бэра о категории подразумевает принцип зависимого выбора». Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys . 25 (10): 933–934.
11. Леви 2002, стр. 212.
12. Бейкер, Мэтт (7 июля 2014 г.). «Действительные числа и бесконечные игры, часть II: игра Шоке и теорема Бэра о категориях».

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Том. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64563-4. OCLC  246032063.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология . Тексты для аспирантов по математике . Том 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  338047.
• Леви, Азриэль (2002) [Впервые опубликовано в 1979]. Базовая теория множеств (переиздание). Дувр. ISBN 0-486-42079-5.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1978). Контрпримеры в топологии . Нью-Йорк: Springer-Verlag.Перепечатано издательством Dover Publications, Нью-Йорк, 1995. ISBN 0-486-68735-X (издание Dover). 
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

Внешние ссылки

• Статья в Энциклопедии математики о теореме Бэра
• Тао, Т. (1 февраля 2009 г.). «245B, Примечания 9: Теорема Бэра о категории и ее последствия для банахова пространства».