Пересечение (теория множеств)

Набор элементов, общих для всех некоторых множеств

В теории множеств пересечение двух множеств и обозначается как [ ^1], это множество, содержащее все элементы из , которые также принадлежат или, что эквивалентно, все элементы из , которые также принадлежат ^[2]. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

Обозначения и терминология

Пересечение записывается с использованием символа " " между терминами; то есть в инфиксной нотации . Например: Пересечение более чем двух множеств (обобщенное пересечение) можно записать как: что похоже на нотацию с заглавной сигмой . ${\displaystyle \cap }$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$ $${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$ $${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$ $${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$

Объяснение символов, используемых в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Определение

Пересечение трех множеств:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Пересечения безударных современных греческих , латинских и кириллических шрифтов, учитывающие только форму букв и игнорирующие их произношение

Пример пересечения с множествами

Пересечение двух множеств и обозначается как , ^[3] — это множество всех объектов, которые являются членами обоих множеств и В символах: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ $${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

То есть, является элементом пересечения тогда и только тогда, когда является одновременно элементом и элементом ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

Например:

• Пересечение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {2, 3}.
• Число 9 не находится на пересечении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, поскольку 9 не является простым числом.

Пересекающиеся и непересекающиеся множества

Мы говорим, что ${\displaystyle A}$пересекается (встречается), ${\displaystyle B}$ если существует некоторый, который является элементом обоих, ив этом случае мы также говорим, чтопересекается (встречается) в . Эквивалентно,пересекаетсяесли их пересечениеявляется обитаемым множеством , что означает, что существует некоторыйтакой, что ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in A\cap B.}$

Мы говорим, что и не пересекаются , если не пересекаются . Проще говоря, они не имеют общих элементов. и не пересекаются, если их пересечение пусто , что обозначается ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Например, множества и не пересекаются, в то время как множество четных чисел пересекает множество чисел , кратных 3, в точках, кратных 6. ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{3,4\}}$

Алгебраические свойства

Бинарное пересечение — ассоциативная операция, то есть для любых множеств и имеем ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$Таким образом, скобки можно опустить без двусмысленности: любое из вышеприведенных выражений можно записать как . Пересечение также коммутативно . То есть, для любого и имеет Пересечение любого множества с пустым множеством приводит к пустому множеству; то есть, для любого множества , Кроме того, операция пересечения идемпотентна ; то есть, любое множество удовлетворяет условию . Все эти свойства вытекают из аналогичных фактов о логической конъюнкции . ${\displaystyle A\cap B\cap C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ $${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap A=A}$

Пересечение распределяется по объединению , а объединение распределяется по пересечению. То есть для любых множеств и внутри вселенной можно определить дополнение как множество всех элементов не в Кроме того, пересечение и можно записать как дополнение объединения их дополнений, легко выведенное из законов Де Моргана : ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

Произвольные пересечения

Наиболее общим понятием является пересечение произвольной непустой совокупности множеств. Если — непустое множество, элементы которого сами являются множествами, то — элемент пересечения тогда и только тогда, когда для каждого элемента — элемент В символах: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A.}$ $${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

Обозначение для этого последнего понятия может значительно различаться. Теоретики множеств иногда пишут " ", в то время как другие вместо этого пишут " ". Последнее обозначение можно обобщить до " ", которое относится к пересечению коллекции Здесь есть непустое множество, и является множеством для каждого ${\displaystyle \bigcap M}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$ ${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$

В случае, если индексный набор представляет собой множество натуральных чисел , можно увидеть запись, аналогичную записи бесконечного произведения : ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

Если форматирование затруднено, это также можно записать как " ". Последний пример, пересечение счетного числа множеств, на самом деле очень распространен; для примера см. статью о σ-алгебрах . ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$

Нулевое пересечение

Конъюнкции аргументов в скобках

Конъюнкция без аргументов является тавтологией (сравните: пустое произведение ); соответственно, пересечение без множеств является вселенной .

В предыдущем разделе мы исключили случай, когда было пустым множеством ( ). Причина в следующем: пересечение коллекции определяется как множество (см. обозначение конструктора множеств ). Если пусто, множеств в нет, поэтому возникает вопрос «какие удовлетворяют указанному условию?» Ответ, по-видимому, будет все возможные . Когда пусто, условие, приведенное выше, является примером бессодержательной истины . Таким образом, пересечение пустого семейства должно быть универсальным множеством ( элементом тождества для операции пересечения), ^[4] но в стандартной ( ZF ) теории множеств универсального множества не существует. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

Однако, если ограничиться контекстом подмножеств заданного фиксированного множества , то понятие пересечения пустого набора подмножеств из будет хорошо определено. В этом случае, если пусто, его пересечение будет . Поскольку все пусто удовлетворяют требуемому условию, пересечение пустого набора подмножеств из равно всем из В формулах, Это соответствует интуиции, что по мере того, как наборы подмножеств становятся меньше, их соответствующие пересечения становятся больше; в крайнем случае пустой набор имеет пересечение, равное всему базовому набору. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$

Кроме того, в теории типов имеет предписанный тип , поэтому пересечение понимается как имеющее тип (тип множеств, элементы которых находятся в ), и мы можем определить его как универсальное множество (множество, элементы которого являются в точности всеми членами типа ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$ ${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Смотрите также

• Алгебра множеств  – тождества и отношения, включающие множества
• Кардинальность  — определение количества элементов в наборе.
• Дополнение  – множество элементов, не входящих в заданное подмножество.
• Пересечение (евклидова геометрия)  – форма, образованная точками, общими для других фигур.Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Граф пересечений  – граф, представляющий пересечения между заданными множествами.
• Теория пересечений  – Раздел алгебраической геометрии
• Список тождеств и отношений множеств  – Равенства для комбинаций множеств
• Логическая конъюнкция  – Логическая связка И
• MinHash  — техника интеллектуального анализа данных
• Наивная теория множеств  – Неформальные теории множеств
• Симметричная разность  – элементы находятся ровно в одном из двух множеств
• Объединение  – множество элементов в каком-либо из множеств.

Ссылки

1. "Пересечение множеств". web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2020-09-04 .
2. "Статистика: Правила вероятности". People.richland.edu . Получено 2012-05-08 .
3. "Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Разность | Взаимоисключающие | Разделы | Закон Де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение". www.probabilitycourse.com . Получено 04.09.2020 .
4. Меггинсон, Роберт Э. (1998). "Глава 1". Введение в теорию банаховых пространств . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 183. New York: Springer-Verlag. pp. xx+596. ISBN 0-387-98431-3.

Дальнейшее чтение

• Девлин, К. Дж. (1993). Радость множеств: основы современной теории множеств (второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). "Теория множеств и логика". Топология (второе изд.). Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Розен, Кеннет (2007). «Базовые структуры: множества, функции, последовательности и суммы». Дискретная математика и ее приложения (шестое изд.). Бостон: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение». MathWorld .