Уровень установлен

Подмножество области определения функции, на котором ее значение равно

( n − 1) -мерные множества уровня для функций вида f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a _n x _{n ,} где a ₁ , a ₂ , …, a _n — константы, в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве, для n = 1, 2, 3 .

( n − 1) -мерные множества уровня нелинейных функций f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) в ( n + 1) -мерном евклидовом пространстве, для n = 1, 2, 3 .

В математике множество уровней действительной функции f от n действительных переменных — это множество , в котором функция принимает заданное постоянное значение c , то есть:

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

Когда число независимых переменных равно двум, множество уровня называется кривой уровня , также известной как контурная линия или изолиния ; таким образом, кривая уровня — это множество всех действительных решений уравнения с двумя переменными x ₁ и x ₂ . Когда n = 3 , множество уровня называется поверхностью уровня (или изоповерхностью ); таким образом, поверхность уровня — это множество всех действительных корней уравнения с тремя переменными x ₁ , x ₂ и x ₃ . Для более высоких значений n множество уровня является гиперповерхностью уровня , множеством всех действительных корней уравнения с n > 3 переменными.

Уровневый набор — это частный случай волокна .

Альтернативные названия

Пересечения поверхностей уровня координатной функции с узлом трилистника . Красные кривые находятся ближе всего к наблюдателю, а желтые — дальше всего.

Уровневые множества появляются во многих приложениях, часто под разными названиями. Например, неявная кривая — это кривая уровня, которая рассматривается независимо от соседних кривых, подчеркивая, что такая кривая определяется неявным уравнением . Аналогично, поверхность уровня иногда называют неявной поверхностью или изоповерхностью .

Используется также название изоконтур, что означает контур одинаковой высоты. В различных областях применения изоконтуры получили специфические названия, которые часто указывают на характер значений рассматриваемой функции, такие как изобара , изотерма , изогона , изохрона , изокванта и кривая безразличия .

Примеры

Рассмотрим двумерное евклидово расстояние: множество уровня этой функции состоит из тех точек, которые находятся на расстоянии от начала координат, которые образуют окружность . Например, , поскольку . Геометрически это означает, что точка лежит на окружности радиусом 5 с центром в начале координат. В более общем смысле сфера в метрическом пространстве с радиусом с центром в можно определить как множество уровня . $${\displaystyle d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ ${\displaystyle L_{r}(d)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$ ${\displaystyle d(3,4)=5}$ ${\displaystyle (3,4)}$ ${\displaystyle (M,m)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$

Вторым примером является график функции Химмельблау , показанный на рисунке справа. Каждая показанная кривая является кривой уровня функции, и они расположены логарифмически: если кривая представляет , кривая непосредственно «внутри» представляет , а кривая непосредственно «снаружи» представляет . ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{x/10}}$ ${\displaystyle L_{10x}}$

График кривой уровня логарифмического интервала функции Химмельблау ^[1]

Уровни против градиента

Рассмотрим функцию f, график которой похож на холм. Синие кривые — это уровни; красные кривые следуют направлению градиента. Осторожный турист следует по синим тропам; смелый турист следует по красным тропам. Обратите внимание, что синие и красные тропы всегда пересекаются под прямым углом.

Теорема : Если функция f дифференцируема, то градиент f в точке либо равен нулю, либо перпендикулярен уровню f в этой точке.

Чтобы понять, что это значит, представьте, что два туриста находятся в одном и том же месте на горе. Один из них смелый и решает пойти в направлении, где склон самый крутой. Другой более осторожен и не хочет ни подниматься, ни спускаться, выбирая путь, который остается на той же высоте. В нашей аналогии приведенная выше теорема гласит, что два туриста отправятся в направлениях, перпендикулярных друг другу.

Следствием этой теоремы (и ее доказательства) является то, что если f дифференцируема, множество уровня является гиперповерхностью и многообразием вне критических точек f . В критической точке множество уровня может быть сведено к точке (например, к локальному экстремуму f ) или может иметь особенность, такую ​​как точка самопересечения или касп .

Подуровневые и суперуровневые множества

Набор формы

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

называется множеством подуровней f (или, альтернативно, множеством нижнего уровня или траншеей f ). Строгий набор подуровней f — это

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

Сходным образом

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

называется суперуровневым множеством f (или, альтернативно, верхним уровнем множества f ) . А строгое суперуровневое множество f называется

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

Множества подуровней важны в теории минимизации . По теореме Вейерштрасса ограниченность некоторого непустого множества подуровней и полунепрерывность снизу функции подразумевают, что функция достигает своего минимума. Выпуклость всех множеств подуровней характеризует квазивыпуклые функции . ^[2]

Смотрите также

• Эпиграф
• Метод установки уровня
• Уровень набора (структуры данных)

Ссылки

1. Симионеску, П. А. (2011). «Некоторые достижения в визуализации ограниченных функций и неравенств двух переменных». Журнал вычислительной техники и информационной науки в машиностроении . 11 (1). doi :10.1115/1.3570770.
2. Kiwiel, Krzysztof C. (2001). «Сходимость и эффективность субградиентных методов для квазивыпуклой минимизации». Математическое программирование, Серия A. 90 ( 1). Берлин, Гейдельберг: Springer: 1–25. doi :10.1007/PL00011414. ISSN  0025-5610. MR  1819784. S2CID  10043417.