Спланированные эксперименты с полным факторным дизайном (слева), поверхность отклика с полиномом второй степени (справа)
В статистике методология поверхности отклика ( RSM ) исследует взаимосвязи между несколькими объясняющими переменными и одной или несколькими переменными отклика . RSM — это эмпирическая модель, которая использует математические и статистические методы для соотнесения входных переменных, также известных как факторы, с откликом. RSM стала очень полезной из-за того, что другие доступные методы, такие как теоретическая модель, могли быть очень громоздкими в использовании, занимающими много времени, неэффективными, подверженными ошибкам и ненадежными. Метод был введен Джорджем Э. П. Боксом и К. Б. Уилсоном в 1951 году. Основная идея RSM заключается в использовании последовательности спланированных экспериментов для получения оптимального отклика. Бокс и Уилсон предлагают использовать для этого полиномиальную модель второй степени . Они признают, что эта модель является лишь приближением, но они используют ее, потому что такую модель легко оценить и применить, даже когда о процессе мало что известно.
Статистические подходы, такие как RSM, могут быть использованы для максимизации производства специального вещества путем оптимизации эксплуатационных факторов. В последнее время для оптимизации формулировки RSM, используя надлежащее планирование экспериментов ( DoE ), стал широко использоваться. [1] В отличие от обычных методов, взаимодействие между переменными процесса может быть определено статистическими методами. [2]
Базовый подход методологии поверхности отклика
Простым способом оценки полиномиальной модели первой степени является использование факторного эксперимента или дробного факторного плана . Этого достаточно, чтобы определить, какие объясняющие переменные влияют на интересующую ответную переменную(ые). Если есть подозрение, что остались только значимые объясняющие переменные, то можно реализовать более сложный план, такой как центральный составной план , для оценки полиномиальной модели второй степени, которая в лучшем случае все еще является лишь приближением. Однако модель второй степени можно использовать для оптимизации (максимизации, минимизации или достижения определенной цели) интересующей ответной переменной(ых).
Важные свойства и особенности RSM
Ортогональность
Свойство, позволяющее оценивать отдельные эффекты k-факторов независимо без (или с минимальным) смешением. Также ортогональность обеспечивает минимальные оценки дисперсии коэффициента модели, так что они не коррелируют.
Вращаемость
Свойство вращения точек плана вокруг центра факторного пространства. Моменты распределения точек плана постоянны.
Однородность
Третьим свойством конструкций ПЗС, используемых для управления количеством центральных точек, является равномерная точность (или однородность).
Специальные геометрии
Куб
Кубические конструкции обсуждаются Кифером, Аткинсоном, Доневым и Тобиасом, а также Хардином и Слоаном.
Симплексная геометрия и эксперименты по смешиванию
Эксперименты со смесями обсуждаются во многих книгах по планированию экспериментов , а также в учебниках по методологии поверхности отклика Бокса и Дрейпера, а также Аткинсона, Донева и Тобиаса. Подробное обсуждение и обзор представлены в продвинутом учебнике Джона Корнелла.
Расширения
Множественные целевые функции
Некоторые расширения методологии поверхности отклика решают проблему множественного отклика. Множественные переменные отклика создают трудности, поскольку то, что оптимально для одного отклика, может не быть оптимальным для других откликов. Другие расширения используются для снижения изменчивости в одном отклике, при этом ориентируясь на определенное значение или достигая близкого максимума или минимума, не допуская, чтобы изменчивость в этом отклике стала слишком большой.
Практические проблемы
Методология поверхности отклика использует статистические модели, и поэтому практикующие специалисты должны знать, что даже лучшая статистическая модель является приближением к реальности. На практике и модели, и значения параметров неизвестны и подвержены неопределенности в дополнение к незнанию. Конечно, предполагаемая оптимальная точка не обязательно должна быть оптимальной в реальности из-за ошибок оценок и неадекватности модели.
Тем не менее, методология поверхности отклика имеет эффективный послужной список помощи исследователям в улучшении продуктов и услуг: например, оригинальное моделирование поверхности отклика Бокса позволило инженерам-химикам улучшить процесс, который годами застрял в седловой точке. Инженеры не могли позволить себе подогнать кубическую трехуровневую конструкцию для оценки квадратичной модели, а их смещенные линейные модели оценивали градиент как нулевой. Конструкция Бокса снизила затраты на эксперименты, так что квадратичная модель могла быть подогнана, что привело к (долгожданному) направлению подъема. [3] [4]
^ Кармокер, Дж. Р.; Хасан, И.; Ахмед, Н.; Сайфуддин, М.; Реза, М. С. (2019). «Разработка и оптимизация мукоадгезивных микросфер, нагруженных ацикловиром, с помощью конструкции Box-Behnken». Журнал фармацевтических наук Университета Дакки . 18 (1): 1–12. doi : 10.3329/dujps.v18i1.41421 .
^ Асади, Нушин; Зилоуэй, Хамид (март 2017 г.). «Оптимизация предварительной обработки органосольвентом рисовой соломы для улучшенного производства биоводорода с использованием Enterobacter aerogenes». Bioresource Technology . 227 : 335–344. doi :10.1016/j.biortech.2016.12.073. PMID 28042989.
^ Бокс и Уилсон 1951
^ Улучшение почти всего: Идеи и эссе , Пересмотренное издание (Серия Wiley по вероятности и статистике) Джордж Э.П. Бокс
Бокс, ГЭП; Уилсон, КБ (1951). «Об экспериментальном достижении оптимальных условий». Журнал Королевского статистического общества, Серия B. 13 ( 1): 1–45. doi :10.1111/j.2517-6161.1951.tb00067.x.
Бокс, ГЭП и Дрейпер, Норман. 2007. Поверхности отклика, смеси и гребневые анализы , второе издание [ Empirical Model-Building and Response Surfaces , 1987], Wiley.
Аткинсон, AC; Донев, AN; Тобиас, RD (2007). Оптимальные экспериментальные проекты с SAS. Oxford University Press. стр. 511+xvi. ISBN 978-0-19-929660-6.
Корнелл, Джон (2002). Эксперименты со смесями: проекты, модели и анализ данных по смесям (третье изд.). Wiley. ISBN 978-0-471-07916-3.
Goos, Peter] (2002). Оптимальный дизайн экспериментов с блокированными и разделенными участками. Конспект лекций по статистике. Том 164. Springer. ISBN 978-0-387-95515-5. {{cite book}}: Внешняя ссылка в |series=( помощь )
Пукельсхайм, Фридрих (2006). Оптимальный дизайн экспериментов. SIAM . ISBN 978-0-89871-604-7.
Хардин, Р. Х.; Слоан, Н. Дж. А. (1993). «Новый подход к построению оптимальных конструкций» (PDF) . Журнал статистического планирования и вывода . 37 (3): 339–369. doi :10.1016/0378-3758(93)90112-J.
Хардин, Р. Х.; Слоан, Н. Дж. А. «Сгенерированные компьютером минимальные (и более крупные) конструкции поверхности отклика: (I) Сфера» (PDF) .
Хардин, Р. Х.; Слоан, Н. Дж. А. «Сгенерированные компьютером минимальные (и более крупные) конструкции поверхности отклика: (II) Куб» (PDF) .
Гош, С.; Рао, К. Р. , ред. (1996). Планирование и анализ экспериментов . Справочник по статистике. Том 13. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82061-7.
Дрейпер, Норман; Лин, Деннис К.Дж. (1996). "11 Дизайны поверхности отклика". Дизайны поверхности отклика . Справочник по статистике. Том 13. С. 343–375. doi :10.1016/S0169-7161(96)13013-3. ISBN 9780444820617.
Gaffke, Norbert; Heiligers, Berthold (1996). "30 Approximate designs for polynomial regression: Invariance, admissibility, and optimality". Approximate designs for polynomial regression: Invariance, admissibility, and optimizeity . Handbook of Statistics. Vol. 13. pp. 1149–99. doi :10.1016/S0169-7161(96)13032-7. ISBN 9780444820617.
Исторический
Gergonne, JD (1974) [1815]. «Применение метода наименьших квадратов к интерполяции последовательностей». Historia Mathematica . 1 (4) (Перевод Ральфа Сент-Джона и С.М. Стиглера с французского издания 1815 г.): 439–447. doi : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
Стиглер, Стивен М. (1974). «Статья Жергонна 1815 года о планировании и анализе экспериментов по полиномиальной регрессии». Historia Mathematica . 1 (4): 431–9. doi : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .
Пирс, CS (1876). «Заметка о теории экономики исследований» (PDF) . Отчет о береговой съемке . Приложение № 14: 197–201.
и в Peirce, CS (июль–август 1967 г.). «Заметка о теории экономики исследований». Operations Research . 15 (4): 643–8. doi :10.1287/opre.15.4.643. JSTOR 168276.
Смит, Кирстин (1918). «О стандартных отклонениях скорректированных и интерполированных значений наблюдаемой полиномиальной функции и ее константах и о руководстве, которое они дают для правильного выбора распределения наблюдений». Biometrika . 12 (1/2): 1–85. doi :10.2307/2331929. JSTOR 2331929. {{cite journal}}: Внешняя ссылка в |author=( помощь )
