В математической области теории множеств модель Соловея — это модель, построенная Робертом М. Соловеем (1970), в которой выполняются все аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля (ZF), за исключением аксиомы выбора , но в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу . Конструкция основана на существовании недостижимого кардинала .
Таким образом, Соловей показал, что в доказательстве существования неизмеримого множества из ZFC (теория множеств Цермело–Френкеля плюс аксиома выбора) аксиома выбора является существенной, по крайней мере, при условии, что существование недостижимого кардинала согласуется с ZFC.
ZF обозначает теорию множеств Цермело–Френкеля, а DC — аксиому зависимого выбора .
Теорема Соловея заключается в следующем. Предполагая существование недостижимого кардинала, существует внутренняя модель ZF + DC подходящего принудительного расширения V [ G ] такая, что каждый набор действительных чисел измерим по Лебегу, имеет свойство совершенного множества и имеет свойство Бэра .
Соловей построил свою модель в два этапа, начав с модели M ZFC, содержащей недоступный кардинал κ.
Первый шаг — взять коллапс Леви M [ G ] множества M , добавив общее множество G для понятия принуждения, которое коллапсирует все кардиналы, меньшие κ, в ω. Тогда M [ G ] является моделью ZFC со свойством, что каждое множество вещественных чисел, которое определимо над счетной последовательностью ординалов, измеримо по Лебегу и обладает свойствами Бэра и совершенного множества. (Сюда входят все определимые и проективные множества вещественных чисел; однако по причинам, связанным с теоремой Тарского о неопределимости, понятие определимого множества вещественных чисел не может быть определено на языке теории множеств, в то время как понятие множества вещественных чисел, определимого над счетной последовательностью ординалов, может быть.)
Вторым шагом является построение модели Соловея N как класса всех множеств в M [ G ], которые наследственно определимы над счетной последовательностью ординалов. Модель N является внутренней моделью M [ G ], удовлетворяющей ZF + DC, такой что каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу, имеет свойство совершенного множества и имеет свойство Бэра. Доказательство этого использует тот факт, что каждое действительное число в M [ G ] определимо над счетной последовательностью ординалов, и, следовательно, N и M [ G ] имеют одни и те же действительные числа.
Вместо использования модели Соловея N можно также использовать меньшую внутреннюю модель L ( R ) M [ G ], состоящую из конструктивного замыкания действительных чисел, которая имеет схожие свойства.
Соловей предположил в своей статье, что использование недоступного кардинала может быть необязательным. Несколько авторов доказали более слабые версии результата Соловея, не предполагая существования недоступного кардинала. В частности, Кривин (1969) показал, что существует модель ZFC, в которой каждое определимое порядковым номером множество вещественных чисел измеримо, Соловей показал, что существует модель ZF + DC, в которой существует некоторое инвариантное относительно трансляции расширение меры Лебега на все подмножества вещественных чисел, а Шелах (1984) показал, что существует модель, в которой все множества вещественных чисел обладают свойством Бэра (так что недоступный кардинал действительно не нужен в этом случае).
Случай свойства совершенного множества был решен Шпеккером (1957), который показал (в ZF), что если каждое множество действительных чисел имеет свойство совершенного множества и первый несчетный кардинал ℵ 1 является регулярным, то ℵ 1 недостижимо в конструируемой вселенной . В сочетании с результатом Соловея это показывает, что утверждения «Существует недостижимый кардинал» и «Каждое множество действительных чисел имеет свойство совершенного множества» равносогласованы над ZF. [1] стр. 371
Наконец, Шелах (1984) показал, что согласованность недоступного кардинала также необходима для построения модели, в которой все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Точнее, он показал, что если каждый Σ1 3множество вещественных чисел измеримо, то первый несчетный кардинал ℵ 1 недостижим в конструируемой вселенной, так что условие о недостижимом кардинале не может быть исключено из теоремы Соловея. Шелах также показал, что Σ1
3условие близко к наилучшему возможному путем построения модели (без использования недоступного кардинала), в которой все Δ1
3Множества вещественных чисел измеримы. См. Raisonnier (1984) и Stern (1985) и Miller (1989) для изложения результата Шелаха.
Шелах и Вудин (1990) показали, что если существуют суперкомпактные кардиналы , то каждое множество действительных чисел в L ( R ), конструируемых множествах, порожденных действительными числами, измеримо по Лебегу и обладает свойством Бэра; это включает в себя каждое «разумно определимое» множество действительных чисел.