Форсинг (математика)

Метод, изобретенный Полом Коэном для доказательства последовательности и независимости результатов

В математической дисциплине теории множеств форсинг — это метод доказательства согласованности и независимости результатов. Интуитивно форсинг можно рассматривать как метод расширения теоретической вселенной множеств до большей вселенной путем введения нового «родового» объекта . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle G}$

Форсинг был впервые использован Полом Коэном в 1963 году для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума из теории множеств Цермело–Френкеля . В последующие годы он был значительно переработан и упрощен и с тех пор служит мощным методом как в теории множеств, так и в таких областях математической логики , как теория рекурсии . Описательная теория множеств использует понятия форсинга как из теории рекурсии, так и из теории множеств. Форсинг также использовался в теории моделей , но в теории моделей принято определять общность напрямую, без упоминания форсинга.

Интуиция

Форсинг обычно используется для построения расширенной вселенной, которая удовлетворяет некоторому желаемому свойству. Например, расширенная вселенная может содержать много новых действительных чисел (по крайней мере, из них), отождествляемых с подмножествами множества натуральных чисел, которых не было в старой вселенной, и тем самым нарушать гипотезу континуума . ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Чтобы интуитивно обосновать такое расширение, лучше всего думать о «старой вселенной» как о модели теории множеств, которая сама по себе является множеством в «реальной вселенной» . По теореме Лёвенгейма–Скулема , можно выбрать в качестве модели «голых костей», которая является внешне счетной , что гарантирует, что будет много подмножеств (в ) из , которые не находятся в . В частности, существует порядковое число , которое «играет роль кардинального числа » в , но на самом деле счетно в . Работая в , должно быть легко найти одно отличное подмножество из для каждого элемента из . (Для простоты это семейство подмножеств можно охарактеризовать одним подмножеством .) ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$ ${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$

Однако в некотором смысле может быть желательно «построить расширенную модель внутри ». Это помогло бы гарантировать, что «похоже» в определенных аспектах, например, быть таким же, как (в более общем смысле, что кардинальный коллапс не происходит), и позволило бы тонко контролировать свойства . Точнее, каждому члену должно быть дано (неуникальное) имя в . Имя можно рассматривать как выражение в терминах , точно так же, как в простом расширении поля каждый элемент может быть выражен в терминах . Основным компонентом принуждения является манипулирование этими именами внутри , поэтому иногда может быть полезно напрямую думать о как о «вселенной», зная, что теория принуждения гарантирует, что будет соответствовать реальной модели. ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M[X]}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}^{M}}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=K(\theta )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$

Тонкий момент принуждения заключается в том, что если берется как произвольное "отсутствующее подмножество" некоторого множества в , то построенное "внутри " может даже не быть моделью. Это происходит потому, что может кодировать "специальную" информацию о том, что невидимо внутри (например, счетность ) , и таким образом доказывать существование множеств, которые "слишком сложны для описания". ^{[1] [2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Принуждение позволяет избежать таких проблем, требуя, чтобы вновь введенный набор был общим набором относительно . ^[1] Некоторые утверждения «вынуждены» выполняться для любого общего : Например, общее «вынуждено» быть бесконечным. Более того, любое свойство (описываемое в ) общего набора «вынуждено» выполняться при некотором условии принуждения . Понятие «принуждения» может быть определено в , и оно дает достаточно рассуждений, чтобы доказать, что это действительно модель, которая удовлетворяет желаемым свойствам. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[X]}$

Оригинальная техника Коэна, теперь называемая разветвленным принуждением , немного отличается от неразветвленного принуждения, изложенного здесь. Принуждение также эквивалентно методу булевых моделей , который некоторые считают концептуально более естественным и интуитивным, но обычно гораздо более сложным в применении. ^[3]

Роль модели

Для того чтобы описанный выше подход работал гладко, фактически должна быть стандартная транзитивная модель в , так что членство и другие элементарные понятия можно было бы интуитивно обрабатывать как в , так и в . Стандартная транзитивная модель может быть получена из любой стандартной модели с помощью леммы о коллапсе Мостовского , но существование любой стандартной модели (или любого ее варианта) само по себе является более сильным предположением, чем непротиворечивость . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Чтобы обойти эту проблему, стандартный метод заключается в том, чтобы позволить быть стандартной транзитивной моделью произвольного конечного подмножества (любая аксиоматизация имеет по крайней мере одну схему аксиом и, таким образом, бесконечное число аксиом), существование которой гарантируется принципом отражения . Поскольку целью принуждающего аргумента является доказательство согласованности результатов, этого достаточно, поскольку любая несогласованность в теории должна проявляться с выводом конечной длины и, таким образом, включать только конечное число аксиом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Форсирование условий и форсирование частично упорядоченных множеств

Каждое условие принуждения можно рассматривать как конечную часть информации об объекте , присоединенном к модели. Существует много различных способов предоставления информации об объекте, которые приводят к различным понятиям принуждения . Общий подход к формализации понятий принуждения заключается в том, чтобы рассматривать условия принуждения как абстрактные объекты со структурой частично упорядоченного множества . ${\displaystyle X}$

Вынуждающий посет — это упорядоченная тройка, , где — предварительный порядок по , а — наибольший элемент. Члены — это условия вынуждающего порядка (или просто условия ). Отношение порядка означает « сильнее , чем ». (Интуитивно, «меньшее» условие предоставляет «больше» информации, так же как меньший интервал предоставляет больше информации о числе π, чем интервал .) Кроме того, предварительный порядок должен быть безатомным , что означает, что он должен удовлетворять условию расщепления : ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p\leq q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$ ${\displaystyle [3.1,3.2]}$ ${\displaystyle \leq }$

• Для каждого существуют такие, что , при этом нет таких, что . ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q,r\leq p}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle s\leq q,r}$

Другими словами, должно быть возможно усилить любое принудительное условие по крайней мере в двух несовместимых направлениях. Интуитивно это происходит потому, что это только конечная часть информации, тогда как для определения требуется бесконечная часть информации . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

Существуют различные соглашения. Некоторые авторы требуют также быть антисимметричными , так что отношение является частичным порядком . Некоторые используют термин частичный порядок в любом случае, что противоречит стандартной терминологии, в то время как некоторые используют термин предпорядок . Самый большой элемент может быть обойден. Обратный порядок также используется, в частности, Сахароном Шелахом и его соавторами. ${\displaystyle \leq }$

Примеры

Пусть будет любым бесконечным множеством (например, ), и пусть рассматриваемый общий объект будет новым подмножеством . В оригинальной формулировке принуждения Коэна каждое условие принуждения представляет собой конечное множество предложений либо вида , либо , которые являются самосогласованными (т.е. и для одного и того же значения не появляются в одном и том же условии). Это понятие принуждения обычно называется принуждением Коэна . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X\subseteq S}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$ ${\displaystyle a}$

Вынуждающий посет для вынуждающего действия Коэна можно формально записать как , конечные частичные функции от до при обратном включении. Вынуждающее действие Коэна удовлетворяет условию расщепления , поскольку при любом условии всегда можно найти элемент, не упомянутый в , и добавить либо предложение , либо к , чтобы получить два новых условия вынуждающего действия, несовместимых друг с другом. ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,0)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\in X}$ ${\displaystyle a\notin X}$ ${\displaystyle p}$

Другим поучительным примером принудительного частично упорядоченного множества является , где и — набор борелевских подмножеств с ненулевой мерой Лебега . Общим объектом, связанным с этим принудительно упорядоченным множеством, является случайное действительное число . Можно показать, что попадает в каждое борелевское подмножество с мерой 1, при условии, что борелевское подмножество «описано» в исходной нерасширенной вселенной (это можно формализовать с помощью концепции борелевских кодов ). Каждое условие принудительного множества можно рассматривать как случайное событие с вероятностью, равной его мере. Благодаря интуитивной простоте, которую может предоставить этот пример, вероятностный язык иногда используется с другими расходящимися принудительно упорядоченными множествами. ${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r\in [0,1]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Общие фильтры

Несмотря на то, что каждое отдельное условие принуждения не может полностью определить общий объект , набор всех истинных условий принуждения определяет . Фактически, без потери общности, обычно считается общим объектом, присоединенным к , поэтому расширенная модель называется . Обычно достаточно легко показать, что изначально желаемый объект действительно находится в модели . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M[G]}$

В рамках этой конвенции концепция "универсального объекта" может быть описана в общем виде. В частности, набор должен быть универсальным фильтром относительно . Условие " фильтр " означает, что имеет смысл, что это набор всех истинных условий принуждения: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• если , то ${\displaystyle p\geq q\in G}$ ${\displaystyle p\in G;}$
• если , то существует такое , что ${\displaystyle p,q\in G}$ ${\displaystyle r\in G}$ ${\displaystyle r\leq p,q.}$

Ибо быть «общим по отношению к » означает: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

• Если — «плотное» подмножество (то есть для каждого существует такое , что ), то . ${\displaystyle D\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle q\in D}$ ${\displaystyle q\leq p}$ ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

Учитывая, что является счетной моделью, существование универсального фильтра следует из леммы Расиовы–Сикорского . Фактически, верно немного больше: при условии , можно найти универсальный фильтр такой, что . Из-за условия расщепления на , если является фильтром, то является плотным. Если , то поскольку является моделью . По этой причине универсальный фильтр никогда не находится в . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$ ${\displaystyle G\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$

P-имена и интерпретации

С форсирующим посетом связан класс - имен . -Имя - это набор в форме ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

При наличии любого фильтра на , карта интерпретации или оценки из -names задается как ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

-Имена , по сути, являются расширением вселенной . Учитывая , что -имя определяется как ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle {\check {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Так как , то следует, что . В некотором смысле, является «именем для », которое не зависит от конкретного выбора . ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$ ${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$ ${\displaystyle {\check {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

Это также позволяет определить «имя для » без явного указания : ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

так что . ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

Строгие определения

Концепции -имен, интерпретаций и могут быть определены с помощью трансфинитной рекурсии . С пустым множеством, последующим ординалом к ​​ординалу , оператором мощности множества и предельным ординалом определяют следующую иерархию: ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\check {x}}}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \alpha +1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}}$

Тогда класс -имен определяется как ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.}$

Карту интерпретации и карту можно аналогичным образом определить с помощью иерархической конструкции. ${\displaystyle x\mapsto {\check {x}}}$

Принуждение

При наличии универсального фильтра , поступают следующим образом. Подкласс -имен в обозначается . Пусть ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Чтобы свести изучение теории множеств к изучению , нужно работать с «языком принуждения», который построен как обычная логика первого порядка , с членством в качестве бинарного отношения и всеми -именами в качестве констант. ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Определим (читается как « силы в модели с частично упорядоченным множеством »), где — условие, — формула на языке принуждения, а ' — это -имена, означающие, что если — универсальный фильтр, содержащий , то . Частный случай часто записывается как « » или просто « ». Такие утверждения верны в , независимо от того, что есть. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle G}$

Важно то, что это внешнее определение отношения принуждения эквивалентно внутреннему определению внутри , определенному трансфинитной индукцией (в частности -индукцией ) по -именам на экземплярах и , а затем обычной индукцией по сложности формул. Это приводит к тому, что все свойства на самом деле являются свойствами , и проверка в становится простой. Обычно это суммируется в виде следующих трех ключевых свойств: ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle u\in v}$ ${\displaystyle u=v}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M[G]}$

• Истина : если и только если это принудительно , то есть при некотором условии , мы имеем . ${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\in G}$ ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• Определимость : Выражение « » определимо в . ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$ ${\displaystyle M}$
• Согласованность : . ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

Внутреннее определение

Существует много различных, но эквивалентных способов определения отношения принуждения в . ^[4] Один из способов упростить определение — сначала определить модифицированное отношение принуждения, которое строго сильнее, чем . Модифицированное отношение по-прежнему удовлетворяет трем ключевым свойствам принуждения, но и не обязательно эквивалентны, даже если формулы первого порядка и эквивалентны. Немодифицированное отношение принуждения тогда можно определить как Фактически, исходная концепция принуждения Коэна по сути скорее , чем . ^[3] ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi }$ ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi '}$ $${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .}$$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

Модифицированное отношение принуждения можно определить рекурсивно следующим образом: ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v}$означает ${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v}$означает ${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in u)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin v).}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi }$означает ${\displaystyle \neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )}$означает ${\displaystyle (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)}$означает ${\displaystyle (\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).}$

Другие символы языка форсинга могут быть определены в терминах этих символов: например, означает , означает и т. д. Случаи 1 и 2 зависят друг от друга и от случая 3, но рекурсия всегда ссылается на -имена с меньшими рангами , поэтому трансфинитная индукция позволяет пройти определение. ${\displaystyle u=v}$ ${\displaystyle \neg (u\neq v)}$ ${\displaystyle \forall x\,\varphi (x)}$ ${\displaystyle \neg \exists x\,\neg \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

По построению (и, таким образом , ) автоматически удовлетворяет Определимости . Доказательство, которое также удовлетворяет Истине и Согласованности, заключается в индуктивной проверке каждого из пяти случаев выше. Случаи 4 и 5 тривиальны (благодаря выбору и в качестве элементарных символов ^[5] ), случаи 1 и 2 полагаются только на предположение, что является фильтром, и только случай 3 требует , чтобы был универсальным фильтром. ^[3] ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Формально, внутреннее определение отношения принуждения (такое, как представлено выше) на самом деле является преобразованием произвольной формулы в другую формулу , где и являются дополнительными переменными. Модель явно не появляется в преобразовании (обратите внимание, что внутри , просто означает " является -имя"), и действительно можно принять это преобразование как "синтаксическое" определение отношения принуждения во вселенной всех множеств независимо от любой счетной транзитивной модели. Однако, если кто-то хочет принудительно применить к некоторой счетной транзитивной модели , то последняя формула должна интерпретироваться как (т. е. со всеми квантификаторами, ранжирующимися только по ), в этом случае она эквивалентна внешнему "семантическому" определению , описанному в начале этого раздела: ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u\in M^{(\mathbb {P} )}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

Для любой формулы существует теорема теории (например, конъюнкция конечного числа аксиом) такая, что для любой счетной транзитивной модели такой, что и любого безатомного частичного порядка и любого -генерического фильтра над ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\models T}$ ${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).}$$

В этом смысле принуждающее отношение действительно «определимо ». ${\displaystyle M}$

Последовательность

Обсуждение выше можно суммировать с помощью фундаментального результата согласованности, что при наличии принудительного частично упорядоченного множества мы можем предположить существование универсального фильтра , не принадлежащего вселенной , такого, что это снова теоретико-множественная вселенная, которая моделирует . Более того, все истины в могут быть сведены к истинам в, включающим принудительное отношение. ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle V}$

Оба стиля, примыкающие либо к счетной транзитивной модели , либо ко всей вселенной , используются обычно. Менее распространен подход, использующий «внутреннее» определение форсинга, в котором не упоминаются модели множеств или классов. Это был оригинальный метод Коэна, и в одной из разработок он становится методом булевозначного анализа. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$

Коэн заставляет

Простейшим нетривиальным вынуждающим посетом является , конечные частичные функции из в при обратном включении. То есть условие по сути является двумя непересекающимися конечными подмножествами и из , которые следует рассматривать как части «да» и «нет» из , без предоставления информации о значениях вне области . « сильнее, чем » означает, что , другими словами, части «да» и «нет» из являются надмножествами частей «да» и «нет» из , и в этом смысле предоставляют больше информации. ${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$ ${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\supseteq p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

Пусть будет общим фильтром для этого частично упорядоченного множества. Если и оба находятся в , то является условием, поскольку является фильтром. Это означает, что является хорошо определенной частичной функцией от до , поскольку любые два условия в согласуются в их общей области определения. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p\cup q}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g=\bigcup G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle G}$

Фактически, является полной функцией. При условии , пусть . Тогда является плотной. (При условии любого , если не входит в область определения , присоединяем значение для — результат находится в .) Условие имеет в своей области определения, и поскольку , мы находим, что определено. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n\in \omega }$ ${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p\subseteq g}$ ${\displaystyle g(n)}$

Пусть , множество всех "да" членов общих условий. Можно дать имя для напрямую. Пусть ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

Тогда Теперь предположим, что в . Мы утверждаем, что . Пусть ${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$ ${\displaystyle A\subseteq \omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

Тогда является плотным. (Для любого , найдите , что не находится в его области, и присоедините значение для противоположного статусу " ".) Тогда любые свидетели . Подводя итог, является "новым" подмножеством , обязательно бесконечным. ${\displaystyle D_{A}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in A}$ ${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$ ${\displaystyle X\neq A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega }$

Заменив на , то есть, вместо этого рассмотрим конечные частичные функции, входы которых имеют вид , с и , а выходы которых являются или , получим новые подмножества . Все они различны по аргументу плотности: Учитывая , пусть ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$ ${\displaystyle (n,\alpha )}$ ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

тогда каждый из них плотен, и общее условие в нем доказывает, что α-й новый набор где-то не согласуется с y-м новым набором. ${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$

Это еще не фальсификация гипотезы континуума. Нужно доказать, что не было введено никаких новых отображений, которые отображаются на или на . Например, если вместо этого рассмотреть , конечные частичные функции от до , первый несчетный ординал , то получим в биекции от до . Другими словами, схлопнулся , и в вынужденном расширении является счетным ординалом. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

Последний шаг в демонстрации независимости гипотезы континуума, таким образом, заключается в том, чтобы показать, что форсинг Коэна не разрушает кардиналы. Для этого достаточным комбинаторным свойством является то, что все антицепи форсингового частично упорядоченного множества являются счетными.

Условие счетной цепи

(Сильная) антицепь — это подмножество, такое что если и , то и несовместимы (записывается ) , то есть нет в такого, что и . В примере с борелевскими множествами несовместимость означает, что имеет нулевую меру. В примере с конечными частичными функциями несовместимость означает, что не является функцией, другими словами, и присваивает различные значения некоторому доменному входу. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle p,q\in A}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\perp q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle r\leq p}$ ${\displaystyle r\leq q}$ ${\displaystyle p\cap q}$ ${\displaystyle p\cup q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$удовлетворяет условию счетной цепи (ccc) тогда и только тогда, когда каждая антицепь в является счетной. (Название, которое, очевидно, неуместно, является пережитком старой терминологии. Некоторые математики пишут «cac» для «условия счетной антицепи».) ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Легко видеть, что удовлетворяет ccc, поскольку меры в сумме дают не более . Также удовлетворяет ccc, но доказательство сложнее. ${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

Дано несчетное подсемейство , сократите до несчетного подсемейства множеств размера , для некоторых . Если для несчетного множества , сократите его до несчетного подсемейства и повторите, получив конечное множество и несчетное семейство несовместимых условий размера, таких, что каждое находится в для не более счетного множества . Теперь выберите произвольное , и выберите из любого , который не является одним из счетного множества членов, имеющих общего члена домена с . Тогда и совместимы, поэтому не является антицепью. Другими словами, -антицепи счетны. ^[6] ${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n<\omega }$ ${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$ ${\displaystyle p\in W_{0}}$ ${\displaystyle W_{1}}$ ${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$ ${\displaystyle p\in W_{k}}$ ${\displaystyle p\in W_{k}}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ ${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

Важность антицепей в форсинге заключается в том, что для большинства целей плотные множества и максимальные антицепи эквивалентны. Максимальная антицепь — это та, которая не может быть расширена до большей антицепи. Это означает, что каждый элемент совместим с некоторым членом . Существование максимальной антицепи следует из леммы Цорна . Для заданной максимальной антицепи пусть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

Тогда является плотным, и тогда и только тогда, когда . Обратно, если задано плотное множество , лемма Цорна показывает, что существует максимальная антицепь , и тогда тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A\subseteq D}$ ${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$ ${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

Предположим, что удовлетворяет ccc Учитывая , с функцией в , можно аппроксимировать внутри следующим образом. Пусть будет именем для (по определению ) и пусть будет условием, которое заставляет быть функцией от до . Определим функцию , как ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

По определимости принуждения это определение имеет смысл в пределах . По согласованности принуждения, иное происходит из несовместимого . По ccc, является счетным. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(a)}$

Вкратце, неизвестно в, поскольку зависит от , но не является дико неизвестным для ccc-форсинга. Можно определить счетный набор догадок относительно того, какое значение имеет при любом входе, независимо от . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$

Это имеет следующее очень важное следствие. Если в , есть сюръекция из одного бесконечного ординала на другой, то существует сюръекция в , и, следовательно, сюръекция в . В частности, кардиналы не могут схлопнуться. Вывод состоит в том, что в . ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$ ${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$ ${\displaystyle V[G]}$

Истон форсинг

Точное значение континуума в приведенной выше модели Коэна и ее вариантах для кардиналов в целом было разработано Робертом М. Соловеем , который также разработал способ нарушения ( обобщенной гипотезы континуума ) только для регулярных кардиналов конечное число раз. Например, в приведенной выше модели Коэна, если выполняется в , то выполняется в . ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$ ${\displaystyle V[G]}$

Уильям Б. Истон разработал надлежащую версию класса нарушения для регулярных кардиналов, по сути показывая, что известные ограничения (монотонность, теорема Кантора и теорема Кёнига ) были единственными доказуемыми ограничениями (см. теорему Истона ). ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Работа Истона была примечательна тем, что включала принуждение с надлежащим классом условий. В общем случае метод принуждения с надлежащим классом условий не может дать модель . Например, принуждение с , где — надлежащий класс всех ординалов, делает континуум надлежащим классом. С другой стороны, принуждение с вводит счетное перечисление ординалов. В обоих случаях результат явно не является моделью . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {On} }$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

В свое время считалось, что более сложное принуждение также допускает произвольные вариации в степенях сингулярных кардиналов . Однако это оказалось сложной, тонкой и даже удивительной проблемой, с несколькими дополнительными ограничениями, доказуемыми в и с моделями принуждения в зависимости от согласованности различных свойств больших кардиналов . Остается много открытых проблем. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Случайные числа

Случайное принуждение можно определить как принуждение к множеству всех компактных подмножеств положительной меры, упорядоченных по отношению (меньший набор в контексте включения является меньшим набором в упорядочении и представляет собой условие с большей информацией). Существует два типа важных плотных множеств: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \subseteq }$

1. Для любого положительного целого числа множество является плотным, где — диаметр множества . ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$ ${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$ ${\displaystyle p}$
2. Для любого борелевского подмножества меры 1 множество является плотным. ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ $${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

Для любого фильтра и для любого конечного числа элементов существует такое, что выполняется . В случае такого упорядочения это означает, что любой фильтр является множеством компактных множеств со свойством конечного пересечения. По этой причине пересечение всех элементов любого фильтра непусто. Если — фильтр, пересекающий плотное множество для любого положительного целого числа , то фильтр содержит условия сколь угодно малого положительного диаметра. Следовательно, пересечение всех условий из имеет диаметр 0. Но единственные непустые множества диаметра 0 являются синглтонами. Поэтому существует ровно одно действительное число такое, что . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$ ${\displaystyle q\in G}$ ${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

Пусть — любое борелевское множество меры 1. Если пересекает , то . ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D_{B}}$ ${\displaystyle r_{G}\in B}$

Однако универсальный фильтр над счетной транзитивной моделью не входит в . Действительное число , определенное с помощью , доказуемо не является элементом . Проблема в том, что если , то « компактно», но с точки зрения некоторой большей вселенной , может быть некомпактным и пересечение всех условий из универсального фильтра фактически пусто. По этой причине мы рассматриваем множество топологических замыканий условий из G (т. е. ). Из-за и свойства конечного пересечения множества , множество также обладает свойством конечного пересечения. Элементы множества являются ограниченными замкнутыми множествами как замыкания ограниченных множеств. ^{[ необходимо разъяснение ]} Следовательно, является множеством компактных множеств ^{[ необходимо разъяснение ]} со свойством конечного пересечения и, таким образом, имеет непустое пересечение. Поскольку и основная модель наследует метрику от вселенной , множество имеет элементы произвольно малого диаметра. Наконец, существует ровно одно действительное число, которое принадлежит всем членам множества . Универсальный фильтр можно восстановить из как . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle V\models }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U\supset V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=p\cup \{\inf(p)\}\cup \{\sup(p)\}}$ ${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

Если это имя , ^{[ необходимо разъяснение ]} и для выполняется " является борелевским множеством меры 1", то выполняется ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{G}}$ ${\displaystyle B\in V}$ ${\displaystyle V\models }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

для некоторых . Есть имя такое, что для любого универсального фильтра выполняется ${\displaystyle p\in G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

Затем

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

справедливо для любого состояния . ${\displaystyle p}$

Каждое борелевское множество может быть построено неоднозначно, начиная с интервалов с рациональными конечными точками и применяя операции дополнения и счетных объединений счетное число раз. Запись такой конструкции называется кодом Бореля . Если задано борелевское множество в , восстанавливается код Бореля, а затем применяется та же последовательность конструкций в , получая борелевское множество . Можно доказать, что получается то же множество независимо от конструкции , и что основные свойства сохраняются. Например, если , то . Если имеет меру ноль, то имеет меру ноль. Это отображение инъективно. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\subseteq C}$ ${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$

Для любого множества такого, что и « является борелевским множеством меры 1» выполняется . ${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$ ${\displaystyle B\in V}$ ${\displaystyle V\models }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle r\in B^{*}}$

Это означает, что с точки зрения , это «бесконечная случайная последовательность нулей и единиц» , что означает, что она удовлетворяет всем статистическим тестам из основной модели . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Итак, учитывая случайное действительное число, можно показать, что ${\displaystyle r}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}.}$

Из-за взаимной взаимоопределяемости между и , обычно пишут для . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V[r]}$ ${\displaystyle V[G]}$

Другая интерпретация вещественных чисел в была предоставлена ​​Даной Скотт . Рациональные числа в имеют имена, которые соответствуют счетному числу различных рациональных значений, назначенных максимальной антицепи борелевских множеств – другими словами, определенной рациональнозначной функции на . Вещественные числа в тогда соответствуют сечениям Дедекинда таких функций, то есть измеримым функциям . ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle V[G]}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle V[G]}$

Булевы модели

Возможно, более понятно, метод можно объяснить в терминах булевых моделей. В них любому утверждению присваивается значение истинности из некоторой полной безатомной булевой алгебры , а не просто значение истинно/ложно. Затем в этой булевой алгебре выбирается ультрафильтр , который присваивает значения истинно/ложно утверждениям нашей теории. Дело в том, что полученная теория имеет модель, содержащую этот ультрафильтр, который можно понимать как новую модель, полученную путем расширения старой с помощью этого ультрафильтра. Выбрав булеву модель соответствующим образом, мы можем получить модель, обладающую желаемым свойством. В ней только утверждения, которые должны быть истинными (которые «заставляют» быть истинными), будут истинными, в некотором смысле (поскольку они обладают этим свойством расширения/минимальности).

Мета-математическое объяснение

Принуждая, мы обычно стремимся показать, что некоторое предложение согласуется с (или, опционально, с некоторым расширением ). Один из способов интерпретации аргумента — предположить, что согласуется , а затем доказать, что в сочетании с новым предложением оно также согласуется. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Каждое «условие» — это конечная часть информации — идея в том, что только конечные части имеют значение для согласованности, поскольку, по теореме о компактности , теория выполнима тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество ее аксиом выполнимо. Тогда мы можем выбрать бесконечное множество согласованных условий для расширения нашей модели. Поэтому, предполагая согласованность , мы доказываем согласованность , расширенную этим бесконечным множеством. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Логическое объяснение

Согласно второй теореме Гёделя о неполноте , нельзя доказать непротиворечивость любой достаточно сильной формальной теории, например , используя только аксиомы самой теории, если только теория не является противоречивой. Следовательно, математики не пытаются доказать непротиворечивость , используя только аксиомы , или доказать, что является непротиворечивым для любой гипотезы, используя только . По этой причине целью доказательства непротиворечивости является доказательство непротиворечивости относительно непротиворечивости . Такие проблемы известны как проблемы относительной непротиворечивости , одна из которых доказывает ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Общая схема доказательств относительной согласованности выглядит следующим образом. Поскольку любое доказательство конечно, оно использует только конечное число аксиом:

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).}$

Для любого данного доказательства можно проверить действительность этого доказательства. Это доказывается индукцией по длине доказательства. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Тогда разрешите

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Доказав следующее

можно сделать вывод, что

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H))),}$

что эквивалентно

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}),}$

что дает (*). Ядром доказательства относительной согласованности является доказательство (**). Доказательство может быть построено для любого заданного конечного подмножества аксиом ( конечно, с помощью инструментов). (Универсального доказательства, конечно, нет.) ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

В доказуемо, что для любого условия множество формул (оцениваемых по именам), принудительно вызываемых , дедуктивно замкнуто. Более того, для любой аксиомы доказывает, что эта аксиома принудительно вызывается . Тогда достаточно доказать, что существует хотя бы одно условие, принудительно вызывающее . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle H}$

В случае булевозначного принуждения процедура аналогична: доказательство того, что булево значение не равно . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Другой подход использует теорему отражения. Для любого заданного конечного набора аксиом существует доказательство того, что этот набор аксиом имеет счетную транзитивную модель. Для любого заданного конечного набора аксиом существует конечный набор аксиом , такой что доказывает, что если счетная транзитивная модель удовлетворяет , то удовлетворяет . Доказывая, что существует конечный набор аксиом , такой что если счетная транзитивная модель удовлетворяет , то удовлетворяет гипотезе . Затем, для любого заданного конечного набора аксиом , доказывает . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T''}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T''}$ ${\displaystyle M[G]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$

Иногда в (**) для доказательства используется более сильная теория, чем . Тогда мы имеем доказательство непротиворечивости относительно непротиворечивости . Заметим, что , где есть (аксиома конструктивности). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (T+H)}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFL}})}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFL}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+V=L}$

Смотрите также

• Список принудительных понятий
• Хорошее имя.

Примечания

1. Cohen 2008, стр. 111.
2. В качестве конкретного примера отметим, что , тип порядка всех ординалов в , является счетным ординалом (в ), который не находится в . Если берется как вполне упорядоченное множество ( как отношение над , т.е. подмножество ), то любая вселенная, содержащая , должна также содержать (благодаря аксиоме замены ). ^[1] (Такая вселенная также не будет походить в том смысле, что она схлопнет все бесконечные кардиналы .) ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$
3. Шенфилд 1971.
4. Кунен 1980.
5. Примечательно, что если определять напрямую вместо , то нужно будет заменить на в случае 4 и на в случае 5 (в дополнение к усложнению случаев 1 и 2), чтобы это внутреннее определение согласовывалось с внешним определением. Однако затем при попытке доказать Истину индуктивно случай 4 потребует того факта, что , как фильтр , направлен вниз , и случай 5 сразу же развалится. ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$ ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle G}$
6. Коэн 2008, Раздел IV.8, Лемма 2.

Ссылки

• Белл, Джон Лейн (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств . Оксфорд: Oxford University Press . ISBN 9780198532415.
• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 151. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Гришин, В.Н. (2001) [1994], «Метод принуждения», Энциклопедия математики , EMS Press
• Джех, Томас Дж. (2013) [1978]. Теория множеств: издание третьего тысячелетия . Спрингер Верлаг . ISBN 9783642078996.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: Введение в доказательства независимости . North-Holland Publishing Company . ISBN 978-0-444-85401-8.
• Шенфилд, Дж. Р. (1971). «Неразветвленное принуждение». Аксиоматическая теория множеств . Труды симпозиума. Чистая математика. Т. XIII, часть I. Провиденс, Род-Айленд: Amer. Math. Soc. стр. 357–381. MR  0280359.

Библиография

• Chow, Timothy (2008). "A Beginner's Guide to Forcing". arXiv : 0712.1320v2 . Хорошее введение в концепции форсинга, избегающее множества технических подробностей. Включает раздел о булевых моделях.
• Коэн, Пол Джозеф (декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 50 (6): 1143–1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . PMC  221287 . PMID  16578557.
• Коэн, Пол Джозеф (январь 1964). «Независимость гипотезы континуума, II». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 51 (1): 105–110. Bibcode :1964PNAS...51..105C. doi : 10.1073/pnas.51.1.105 . PMC  300611 . PMID  16591132.
• Коэн, Пол Джозеф (2002). «Открытие принуждения». Rocky Mountain J. Math . 32 (4): 1071–1100. doi : 10.1216/rmjm/1181070010 . Историческая лекция о том, как он разработал свое доказательство независимости.
• Easwaran, Kenny (2007). "Веселое введение в форсинг и континуум-гипотезу". arXiv : 0712.2279 [math.LO]. Статья также рассчитана на новичков, но содержит больше технических подробностей, чем Chow (2008)
• Гюнтер, Эммануэль; Пагано, Мигель; Санчес Терраф, Педро; Стейнберг, Матиас (май 2020 г.). «Формализация принуждения в Изабель/ZF». Архив формальных доказательств . arXiv : 2001.09715 . Проверено 20 августа 2023 г.
• Канамори, Акихиро (2007). «Теория множеств от Кантора до Коэна» (PDF) .
• Уивер, Ник (2014). Форсинг для математиков. World Scientific Publishing Co. стр. 153. doi :10.1142/8962. ISBN 978-9814566001. Написано для математиков, которые хотят изучить базовую технику принуждения. Никакой подготовки в логике не предполагается, за исключением легкости формального синтаксиса, которая должна быть второй натурой для любого хорошо подготовленного математика.
• Вайсштейн, Эрик В. "Принуждение". MathWorld .