Твердотельное моделирование (или твердотельное моделирование ) представляет собой последовательный набор принципов для математического и компьютерного моделирования трехмерных форм (тел) . Твердотельное моделирование отличается от более широких смежных областей геометрического моделирования и компьютерной графики , таких как 3D-моделирование , акцентом на физической точности. [1] Вместе принципы геометрического и твердотельного моделирования образуют основу 3D -компьютерного проектирования и в целом поддерживают создание, обмен, визуализацию, анимацию, опрос и аннотацию цифровых моделей физических объектов.
Использование методов твердотельного моделирования позволяет автоматизировать процесс нескольких сложных инженерных расчетов, которые выполняются как часть процесса проектирования. Моделирование, планирование и проверка таких процессов, как обработка и сборка, были одними из основных катализаторов развития твердотельного моделирования. В последнее время спектр поддерживаемых производственных приложений значительно расширился и теперь включает производство листового металла , литье под давлением , сварку , прокладку труб и т. д. Помимо традиционного производства, методы твердотельного моделирования служат основой для быстрого прототипирования , архивирования цифровых данных и обратного проектирования путем реконструкции твердых тел из выборочных точек на физических объектах, механического анализа с использованием конечных элементов , планирования движения и проверки траектории ЧПУ, кинематического и динамического анализа механизмов и т. д. Центральной проблемой во всех этих приложениях является способность эффективно представлять и манипулировать трехмерной геометрией таким образом, чтобы это соответствовало физическому поведению реальных артефактов. Исследования и разработки в области твердотельного моделирования эффективно решили многие из этих проблем и продолжают оставаться центральным направлением компьютерного проектирования .
Понятие твердотельного моделирования, практикуемое сегодня, опирается на особую потребность в информационной полноте в системах механического геометрического моделирования, в том смысле, что любая компьютерная модель должна поддерживать все геометрические запросы, которые могут быть заданы ее соответствующему физическому объекту. Требование неявно признает возможность нескольких компьютерных представлений одного и того же физического объекта, пока любые два таких представления являются согласованными. Невозможно вычислительно проверить информационную полноту представления, если понятие физического объекта не определено в терминах вычислимых математических свойств и независимо от какого-либо конкретного представления. Такие рассуждения привели к разработке парадигмы моделирования, которая сформировала область твердотельного моделирования, какой мы ее знаем сегодня. [2]
Все изготовленные компоненты имеют конечный размер и хорошо ведущие себя границы , поэтому изначально основное внимание уделялось математическому моделированию жестких деталей, изготовленных из однородного изотропного материала, которые можно было бы добавлять или удалять. Эти постулируемые свойства можно перевести в свойства областей , подмножеств трехмерного евклидова пространства . Два распространенных подхода к определению «твердости» опираются на топологию точечных множеств и алгебраическую топологию соответственно. Обе модели определяют, как твердые тела могут быть построены из простых частей или ячеек.
Согласно континуальной модели точечно-множественной плотности, все точки любого X ⊂ ℝ 3 могут быть классифицированы в соответствии с их окрестностями относительно X как внутренние , внешние или граничные точки. Предполагая, что ℝ 3 наделено типичной евклидовой метрикой , окрестность точки p ∈ X принимает форму открытого шара . Для того чтобы X считалось твердым, каждая окрестность любого p ∈ X должна быть последовательно трехмерной; точки с окрестностями меньшей размерности указывают на отсутствие твердости. Размерная однородность окрестностей гарантируется для класса замкнутых регулярных множеств , определяемых как множества, равные замыканию своей внутренней части. Любое X ⊂ ℝ 3 может быть превращено в замкнутое регулярное множество или «регуляризовано» путем замыкания его внутренней части, и, таким образом, пространство моделирования твердых тел математически определяется как пространство замкнутых регулярных подмножеств ℝ 3 (по теореме Гейне-Бореля подразумевается, что все твердые тела являются компактными множествами). Кроме того, твердые тела должны быть замкнуты относительно булевых операций объединения, пересечения и разности множеств (чтобы гарантировать сплошность после добавления и удаления материала). Применение стандартных булевых операций к замкнутым регулярным множествам может не привести к замкнутому регулярному множеству, но эту проблему можно решить путем регуляризации результата применения стандартных булевых операций. [3] Регуляризованные операции над множествами обозначаются ∪ ∗ , ∩ ∗ и − ∗ .
Комбинаторная характеристика множества X ⊂ ℝ 3 как твердого тела включает представление X как ориентируемого комплекса ячеек , так что ячейки предоставляют конечные пространственные адреса для точек в ином бесчисленном континууме. [1] Класс полуаналитических ограниченных подмножеств евклидова пространства замкнут относительно булевых операций (стандартных и регуляризованных) и демонстрирует дополнительное свойство, заключающееся в том, что каждое полуаналитическое множество может быть стратифицировано в набор непересекающихся ячеек размерностей 0, 1, 2, 3. Триангуляция полуаналитического множества в набор точек, отрезков прямых , треугольных граней и тетраэдральных элементов является примером стратификации, которая обычно используется. Затем комбинаторная модель твердости резюмируется, говоря, что в дополнение к тому, что они являются полуаналитическими ограниченными подмножествами, твердые тела являются трехмерными топологическими многогранниками , в частности трехмерными ориентируемыми многообразиями с границей. [4] В частности, это означает, что эйлерова характеристика комбинаторной границы [5] многогранника равна 2. Модель комбинаторного многообразия твердого тела также гарантирует, что граница твердого тела разделяет пространство ровно на две компоненты, как следствие теоремы Жордана-Брауэра , тем самым устраняя множества с немногообразными окрестностями, которые считаются невозможными для изготовления.
Точечно-множественные и комбинаторные модели твердых тел полностью согласуются друг с другом, могут использоваться взаимозаменяемо, опираясь на континуальные или комбинаторные свойства по мере необходимости, и могут быть расширены до n измерений. Ключевым свойством, которое способствует этой согласованности, является то, что класс замкнутых регулярных подмножеств ℝ n точно совпадает с однородно n -мерными топологическими многогранниками. Следовательно, каждое n -мерное тело может быть однозначно представлено своей границей, и граница имеет комбинаторную структуру n−1 -мерного многогранника, имеющего однородно n−1 -мерные окрестности.
На основе предполагаемых математических свойств любая схема представления твердых тел является методом сбора информации о классе полуаналитических подмножеств евклидова пространства. Это означает, что все представления являются различными способами организации одних и тех же геометрических и топологических данных в форме структуры данных . Все схемы представления организованы в терминах конечного числа операций над набором примитивов. Следовательно, пространство моделирования любого конкретного представления конечно, и любая отдельная схема представления может быть не полностью достаточна для представления всех типов твердых тел. Например, твердые тела, определенные с помощью комбинаций регуляризованных булевых операций, не обязательно могут быть представлены как развертка примитива, движущегося по пространственной траектории, за исключением очень простых случаев. Это заставляет современные системы геометрического моделирования поддерживать несколько схем представления твердых тел, а также облегчает эффективное преобразование между схемами представления.
Ниже приведен список методов, используемых для создания или представления моделей твердых тел. [4] Современное программное обеспечение для моделирования может использовать комбинацию этих схем для представления твердых тел.
Эта схема основана на понятии семейств объектов, каждый член семейства отличается от другого несколькими параметрами. Каждое семейство объектов называется общим примитивом , а отдельные объекты внутри семейства называются примитивными экземплярами . Например, семейство болтов является общим примитивом, а один болт, заданный определенным набором параметров, является примитивным экземпляром. Отличительной чертой чисто параметризованных схем инстанцирования является отсутствие средств для объединения экземпляров для создания новых структур, которые представляют новые и более сложные объекты. Другим основным недостатком этой схемы является сложность написания алгоритмов для вычисления свойств представленных твердых тел. Значительный объем информации, специфичной для семейства, должен быть встроен в алгоритмы, и поэтому каждый общий примитив должен рассматриваться как особый случай, не допускающий единообразной общей обработки.
Эта схема по сути является списком пространственных ячеек, занятых твердым телом. Ячейки, также называемые вокселями, представляют собой кубы фиксированного размера и расположены в фиксированной пространственной сетке (возможны и другие многогранные расположения, но кубы являются простейшими). Каждая ячейка может быть представлена координатами одной точки, например, центроида ячейки. Обычно налагается определенный порядок сканирования, и соответствующий упорядоченный набор координат называется пространственным массивом . Пространственные массивы являются однозначными и уникальными представлениями твердых тел, но слишком многословны для использования в качестве «главных» или определяющих представлений. Однако они могут представлять грубые приближения частей и могут использоваться для повышения производительности геометрических алгоритмов, особенно при использовании в сочетании с другими представлениями, такими как конструктивная геометрия твердых тел .
Эта схема следует из комбинаторных (алгебраических топологических) описаний твердых тел, подробно описанных выше. Твердое тело может быть представлено путем его разложения на несколько ячеек. Схемы перечисления пространственной занятости являются частным случаем разложений ячеек, где все ячейки являются кубическими и лежат в регулярной сетке. Разложения ячеек предоставляют удобные способы вычисления определенных топологических свойств твердых тел, таких как его связность (количество частей) и род (количество отверстий). Разложения ячеек в виде триангуляции являются представлениями, используемыми в трехмерных конечных элементах для численного решения уравнений с частными производными. Другие разложения ячеек, такие как регулярное стратифицирование Уитни или разложения Морзе, могут использоваться для приложений в планировании движения робота. [6]
Подобно представлению границы, представлена поверхность объекта. Однако вместо сложных структур данных и NURBS используется простая поверхностная сетка вершин и ребер. Поверхностные сетки могут быть структурированными (как треугольные сетки в файлах STL или четырехугольные сетки с горизонтальными и вертикальными кольцами четырехугольников) или неструктурированными сетками со случайно сгруппированными треугольниками и многоугольниками более высокого уровня.
Конструктивная геометрия тел (CSG) — это семейство схем для представления жестких твердых тел в виде булевых конструкций или комбинаций примитивов с помощью регуляризованных операций над множествами, обсуждавшихся выше. Представления CSG и граничные представления в настоящее время являются наиболее важными схемами представления для твердых тел. Представления CSG принимают форму упорядоченных бинарных деревьев , где нетерминальные узлы представляют либо жесткие преобразования ( изометрии, сохраняющие ориентацию ), либо регуляризованные операции над множествами. Конечные узлы являются примитивными листьями, которые представляют замкнутые регулярные множества. Семантика представлений CSG ясна. Каждое поддерево представляет собой множество, полученное в результате применения указанных преобразований/регуляризованных операций над множествами к множеству, представленному примитивными листьями поддерева. Представления CSG особенно полезны для фиксации замысла проекта в форме функций, соответствующих добавлению или удалению материала (выступы, отверстия, карманы и т. д.). Привлекательные свойства CSG включают краткость, гарантированную валидность твердых тел, вычислительно удобные булевы алгебраические свойства и естественный контроль формы твердого тела с точки зрения высокоуровневых параметров, определяющих примитивы твердого тела и их положения и ориентации. Относительно простая структура данных и элегантные рекурсивные алгоритмы [7] еще больше способствовали популярности CSG.
Основное понятие, воплощенное в схемах выметания, простое. Набор, движущийся в пространстве, может отслеживать или выметать объем (твердое тело), который может быть представлен движущимся набором и его траекторией. Такое представление важно в контексте таких приложений, как обнаружение материала, удаляемого из резака, когда он движется по заданной траектории, вычисление динамической интерференции двух твердых тел, подвергающихся относительному движению, планирование движения и даже в приложениях компьютерной графики, таких как отслеживание движений кисти, перемещаемой по холсту. Большинство коммерческих систем САПР предоставляют (ограниченную) функциональность для построения выметаемых твердых тел, в основном в форме двумерного поперечного сечения, движущегося по пространственной траектории, трансверсальной сечению. Однако текущие исследования показали несколько приближений трехмерных форм, движущихся по одному параметру, и даже многопараметрических движений.
Очень общий метод определения множества точек X заключается в указании предиката , который может быть оценен в любой точке пространства. Другими словами, X определяется неявно как состоящий из всех точек, которые удовлетворяют условию, указанному предикатом. Простейшая форма предиката — это условие на знак действительной функции, приводящее к знакомому представлению множеств равенствами и неравенствами. Например, если условия , и представляют, соответственно, плоскость и два открытых линейных полупространства . Более сложные функциональные примитивы могут быть определены булевыми комбинациями более простых предикатов. Кроме того, теория R-функций допускает преобразования таких представлений в одно функциональное неравенство для любого замкнутого полуаналитического множества. Такое представление может быть преобразовано в граничное представление с помощью алгоритмов полигонизации, например, алгоритма марширующих кубов .
Элементы определяются как параметрические формы, связанные с такими атрибутами , как внутренние геометрические параметры (длина, ширина, глубина и т. д.), положение и ориентация, геометрические допуски , свойства материалов и ссылки на другие элементы. [8] Элементы также обеспечивают доступ к связанным производственным процессам и моделям ресурсов. Таким образом, элементы имеют семантически более высокий уровень, чем примитивные замкнутые регулярные наборы. Обычно ожидается, что элементы составят основу для связи САПР с последующими производственными приложениями, а также для организации баз данных для повторного использования проектных данных. Параметрическое моделирование на основе элементов часто сочетается с конструктивной бинарной твердотельной геометрией (CSG) для полного описания систем сложных объектов в машиностроении.
Историческое развитие твердотельных моделеров следует рассматривать в контексте всей истории САПР , ключевыми вехами которой стали разработка исследовательской системы BUILD, за которой последовал ее коммерческий ответвитель Romulus , который в дальнейшем оказал влияние на разработку Parasolid , ACIS и Solid Modeling Solutions . Один из первых разработчиков САПР в Содружестве Независимых Государств (СНГ), АСКОН начал внутреннюю разработку собственного твердотельного моделера в 1990-х годах. [9] В ноябре 2012 года математическое подразделение АСКОН стало отдельной компанией и было названо C3D Labs . Ему была поручена задача разработки ядра геометрического моделирования C3D как отдельного продукта — единственного коммерческого ядра 3D-моделирования из России. [10] Другие вклады были сделаны Мянтюля с его GWB и проектом GPM, который внес, среди прочего, гибридные методы моделирования в начале 1980-х годов. В это же время в Римском университете был создан язык программирования твердотельного моделирования PLaSM .
Моделирование твердых тел является лишь минимальным требованием к возможностям системы САПР . Твердотельные модели стали обычным явлением в инженерных отделах за последние десять лет [ когда? ] из-за более быстрых компьютеров и конкурентоспособных цен на программное обеспечение. Программное обеспечение для твердотельного моделирования создает виртуальное трехмерное представление компонентов для проектирования и анализа машин. [11] Типичный графический пользовательский интерфейс включает программируемые макросы, сочетания клавиш и динамическую манипуляцию моделью. Подчеркивается возможность динамической переориентации модели в затененном трехмерном пространстве в реальном времени, что помогает проектировщику поддерживать мысленный трехмерный образ.
Модель твердой детали обычно состоит из группы элементов, добавляемых по одному за раз, пока модель не будет завершена. Инженерные твердотельные модели строятся в основном с использованием элементов на основе эскизов; 2-мерные эскизы, которые перемещаются по траектории, чтобы стать 3-мерными. Это могут быть разрезы или выдавливания, например. Проектирование компонентов обычно выполняется в контексте всего продукта с использованием методов моделирования сборки . Модель сборки включает ссылки на отдельные модели деталей, которые составляют продукт. [12]
Другой тип техники моделирования — «поверхность» ( моделирование свободной поверхности ). Здесь поверхности определяются, обрезаются и объединяются, а затем заполняются для создания твердого тела. Поверхности обычно определяются с помощью базовых кривых в пространстве и множества сложных команд. Поверхность сложнее, но лучше применима к некоторым технологиям производства, таким как литье под давлением. Твердые модели для литьевых деталей обычно имеют как функции поверхности, так и функции эскизирования.
Инженерные чертежи могут создаваться полуавтоматически и ссылаться на твердотельные модели.
Параметрическое моделирование использует параметры для определения модели (например, размеры). Примерами параметров являются: размеры, используемые для создания элементов модели, плотность материала, формулы для описания развернутых элементов, импортированные данные (например, описывающие опорную поверхность). Параметр может быть изменен позже, и модель обновится, чтобы отразить изменение. Обычно существует связь между деталями, сборками и чертежами. Деталь состоит из нескольких элементов, а сборка состоит из нескольких деталей. Чертежи могут быть сделаны как из деталей, так и из сборок.
Пример: Вал создается путем выдавливания окружности 100 мм. Втулка собирается на конце вала. Позже, длина вала изменяется до 200 мм (кликните на вал, выберите размер длины, измените на 200). После обновления модели длина вала будет 200 мм, втулка переместится на конец вала, на котором она была собрана, а инженерные чертежи и массовые свойства будут автоматически отражать все изменения.
Связанные с параметрами, но немного отличающиеся, ограничения . Ограничения — это отношения между сущностями, которые составляют определенную форму. Для окна стороны могут быть определены как параллельные и одинаковой длины. Параметрическое моделирование очевидно и интуитивно понятно. Но в течение первых трех десятилетий САПР это было не так. Изменение означало перерисовку или добавление нового выреза или выступа поверх старых. Размеры на инженерных чертежах создавались , а не показывались . Параметрическое моделирование очень мощное, но требует большего мастерства в создании модели. Сложная модель для литьевой детали может иметь тысячу элементов, и изменение раннего элемента может привести к сбою последующих элементов. Искусно созданные параметрические модели легче поддерживать и изменять. Параметрическое моделирование также подходит для повторного использования данных. Например, целое семейство болтов может содержаться в одной модели.
Современные сканеры компьютерной аксиальной томографии и магнитно-резонансной томографии могут использоваться для создания твердых моделей внутренних особенностей тела, называемых воксельными моделями, с изображениями, полученными с помощью объемного рендеринга . Оптические 3D-сканеры могут использоваться для создания облаков точек или моделей полигональных сеток внешних особенностей тела.
Применение медицинского твердотельного моделирования;
Если использование выходит за рамки визуализации данных сканирования, для создания точного и реалистичного геометрического описания данных сканирования потребуются такие процессы, как сегментация изображений и построение сеток на основе изображений .
Поскольку программы САПР, работающие на компьютерах, «понимают» истинную геометрию, включающую сложные формы, многие атрибуты трехмерного тела, такие как центр тяжести, объем и масса, можно быстро рассчитать. Например, куб с закругленными краями, показанный в верхней части этой статьи, имеет размеры 8,4 мм от плоскости до плоскости. Несмотря на множество радиусов и неглубокую пирамиду на каждой из шести граней, его свойства легко рассчитываются для проектировщика, как показано на снимке экрана справа.
{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)