Модель Халла–Уайта

Модель будущих процентных ставок

В финансовой математике модель Халла–Уайта является моделью будущих процентных ставок . В своей наиболее общей формулировке она относится к классу моделей без арбитража, которые способны соответствовать сегодняшней временной структуре процентных ставок. Относительно просто перевести математическое описание эволюции будущих процентных ставок на дерево или решетку , и поэтому производные процентных ставок, такие как бермудские свопционы, могут быть оценены в модели.

Первая модель Халла–Уайта была описана Джоном К. Халлом и Аланом Уайтом в 1990 году. Модель по-прежнему популярна на рынке и сегодня.

Модель

Однофакторная модель

Модель является моделью краткосрочной ставки . В целом она имеет следующую динамику:

${\displaystyle dr(t)=\left[\theta (t)-\alpha (t)r(t)\right]\,dt+\sigma (t)\,dW(t).}$

Среди практиков существует некоторая двусмысленность относительно того, какие именно параметры в модели зависят от времени или какое имя следует применять к модели в каждом случае. Наиболее общепринятым соглашением об именовании является следующее:

• ${\displaystyle \theta }$имеет зависимость от t (времени) — модель Халла–Уайта .
• ${\displaystyle \theta }$и оба зависят от времени — расширенная модель Васичека . ${\displaystyle \alpha }$

Двухфакторная модель

Двухфакторная модель Халла–Уайта (Hull 2006:657–658) содержит дополнительный возмущенный член, среднее значение которого возвращается к нулю, и имеет вид:

${\displaystyle d\,f(r(t))=\left[\theta (t)+u-\alpha (t)\,f(r(t))\right]dt+\sigma _{1}(t)\,dW_{1}(t),}$

где — детерминированная функция, обычно это функция тождества (расширение однофакторной версии, аналитически разрешимое и с потенциально отрицательными ставками), натуральный логарифм (расширение Блэка–Каразинского, аналитически неразрешимое и с положительными процентными ставками) или их комбинации (пропорциональная натуральному логарифму при малых ставках и пропорциональная функции тождества при больших ставках); и имеет начальное значение 0 и следует процессу: ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle u}$

${\displaystyle du=-bu\,dt+\sigma _{2}\,dW_{2}(t)}$

Анализ однофакторной модели

В оставшейся части этой статьи мы предполагаем, что имеет только t -зависимость. Пренебрегая на мгновение стохастическим членом, обратите внимание, что для изменение r отрицательно, если r в настоящее время «большое» (больше и положительно, если текущее значение мало. То есть стохастический процесс является процессом Орнштейна–Уленбека с возвратом к среднему . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \theta (t)/\alpha )}$

θ рассчитывается на основе начальной кривой доходности, описывающей текущую временную структуру процентных ставок. Обычно α оставляют в качестве пользовательского ввода (например, его можно оценить на основе исторических данных). σ определяется посредством калибровки по набору каплетов и свопционов, которые легко торгуются на рынке.

Когда , и постоянны, лемму Ито можно использовать для доказательства того, что ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right)+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

который имеет распространение

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+{\frac {\theta }{\alpha }}\left(1-e^{-\alpha t}\right),{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right),}$

где — нормальное распределение со средним значением и дисперсией . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Когда зависит от времени, ${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha u}\,dW(u),}$

который имеет распространение

${\displaystyle r(t)\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-\alpha t}r(0)+\int _{0}^{t}e^{\alpha (s-t)}\theta (s)ds,{\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha t}\right)\right).}$

Ценообразование облигаций с использованием модели Халла–Уайта

Оказывается, что временная стоимость S дисконтной облигации со сроком погашения T имеет распределение (обратите внимание на аффинную временную структуру!)

${\displaystyle P(S,T)=A(S,T)\exp(-B(S,T)r(S)),}$

где

${\displaystyle B(S,T)={\frac {1-\exp(-\alpha (T-S))}{\alpha }},}$

${\displaystyle A(S,T)={\frac {P(0,T)}{P(0,S)}}\exp \left(\,-B(S,T){\frac {\partial \log(P(0,S))}{\partial S}}-{\frac {\sigma ^{2}(\exp(-\alpha T)-\exp(-\alpha S))^{2}(\exp(2\alpha S)-1)}{4\alpha ^{3}}}\right).}$

Обратите внимание, что их конечное распределение распределено логарифмически нормально . ${\displaystyle P(S,T)}$

Производное ценообразование

Выбрав в качестве числителя облигацию с временным интервалом S (что соответствует переходу на форвардную меру S ), мы получаем из фундаментальной теоремы о безарбитражном ценообразовании значение в момент времени t производного инструмента, который имеет выплату в момент времени S.

${\displaystyle V(t)=P(t,S)\mathbb {E} _{S}[V(S)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Здесь, — это ожидание, принятое в отношении форвардной меры . Более того, стандартные арбитражные аргументы показывают, что форвардная цена времени T для выплаты в момент времени T, заданная V(T), должна удовлетворять , таким образом ${\displaystyle \mathbb {E} _{S}}$ ${\displaystyle F_{V}(t,T)}$ ${\displaystyle F_{V}(t,T)=V(t)/P(t,T)}$

${\displaystyle F_{V}(t,T)=\mathbb {E} _{T}[V(T)\mid {\mathcal {F}}(t)].}$

Таким образом, при работе в модели Халла–Уайта можно аналитически оценить множество производных V, зависящих исключительно от одной облигации . Например, в случае облигации put ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle V(S)=(K-P(S,T))^{+}.}$

Поскольку распределено логнормально, общий расчет, используемый для модели Блэка-Шоулза, показывает, что ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {E}_{S}[(K-P(S,T))^{+}]=KN(-d_{2})-F(t,S,T)N(-d_{1}),}$

где

${\displaystyle d_{1}={\frac {\log(F/K)+\sigma _{P}^{2}S/2}{\sigma _{P}{\sqrt {S}}}}}$

и

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma _{P}{\sqrt {S}}.}$

Таким образом, сегодняшнее значение (с умножением P (0, S ) и установкой t на 0) равно:

${\displaystyle P(0,S)KN(-d_{2})-P(0,T)N(-d_{1}).}$

Вот стандартное отклонение (относительная волатильность) логнормального распределения для . Довольно значительное количество алгебры показывает, что оно связано с исходными параметрами через ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle P(S,T)}$

${\displaystyle {\sqrt {S}}\sigma _{P}={\frac {\sigma }{\alpha }}(1-\exp(-\alpha (T-S))){\sqrt {\frac {1-\exp(-2\alpha S)}{2\alpha }}}.}$

Обратите внимание, что это ожидание было сделано в мере S -облигации, тогда как для исходного процесса Халла–Уайта мы вообще не указали меру. Это не имеет значения — важна только волатильность, которая не зависит от меры.

Поскольку предельные/полные ставки по процентным ставкам эквивалентны путам и коллам по облигациям соответственно, приведенный выше анализ показывает, что предельные и полные ставки могут быть оценены аналитически в модели Халла–Уайта. Трюк Джамшидиана применим к модели Халла–Уайта (поскольку сегодняшняя стоимость свопциона в модели Халла–Уайта является монотонной функцией сегодняшней краткосрочной ставки). Таким образом, знание того, как оценивать предельные ставки, также достаточно для ценообразования свопционов. В том случае, если базовым является сложная ретроспективная ставка, а не (перспективная) срочная ставка LIBOR, Турфус (2020) показывает, как эту формулу можно напрямую модифицировать, чтобы учесть дополнительную выпуклость .

Свопционы также могут быть оценены напрямую, как описано в Henrard (2003). Прямые реализации обычно более эффективны.

Моделирование Монте-Карло, деревья и решетки

Однако оценка ванильных инструментов, таких как кэпы ​​и свопционы, полезна в первую очередь для калибровки. Реальное использование модели заключается в оценке несколько более экзотических производных, таких как бермудские свопционы на решетке , или других производных в мультивалютном контексте, таких как свопы Quanto Constant Maturity Swaps, как объяснено, например, в Brigo и Mercurio (2001). Эффективное и точное моделирование Монте-Карло модели Халла–Уайта с зависящими от времени параметрами может быть легко выполнено, см. Ostrovski (2013) и (2016). Реализацию точного моделирования Монте-Карло с открытым исходным кодом по методу Fries (2016) ^[1] можно найти в finmath lib. ^[2]

Прогнозирование

Несмотря на то, что однофакторные модели, такие как Vasicek, CIR и модель Халла–Уайта, были разработаны для ценообразования, недавние исследования показали их потенциал в отношении прогнозирования. В Orlando et al. (2018, ^[3] 2019, ^{[4] [5]} ) была представлена ​​новая методология прогнозирования будущих процентных ставок под названием CIR#. Идеи, помимо превращения модели краткосрочной ставки, используемой для ценообразования, в инструмент прогнозирования, заключаются в соответствующем разбиении набора данных на подгруппы в соответствии с заданным распределением ^[6] ). Там было показано, как указанное разбиение позволяет фиксировать статистически значимые временные изменения волатильности процентных ставок. Следуя указанному подходу, Orlando et al. (2021) ^[7] ) сравнивает модель Халла–Уайта с моделью CIR с точки зрения прогнозирования и предсказания направленности процентной ставки.

Смотрите также

• модель Васичека
• Модель Кокса–Ингерсолла–Росса
• Модель Блэка–Карасинского

Ссылки

1. Фрайс, Кристиан (2016). «Краткая заметка о точной стохастической схеме моделирования модели Халла-Уайта и ее реализации». SSRN . doi :10.2139/ssrn.2737091 . Получено 15 октября 2023 г. .
2. "HullWhiteModel.java". finmath lib . finmath.net . Получено 15 октября 2023 г. .
3. Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (2018). «Новый подход к моделированию краткосрочных ставок CIR». Новые методы моделирования фиксированного дохода . Вклад в науку управления. Springer International Publishing: 35–43. doi :10.1007/978-3-319-95285-7_2. ISBN 978-3-319-95284-0.
4. Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (1 января 2019 г.). «Новый подход к прогнозированию рыночных процентных ставок с помощью модели CIR». Исследования по экономике и финансам . 37 (2): 267–292. doi :10.1108/SEF-03-2019-0116. ISSN  1086-7376. S2CID  204424299.
5. Орландо, Джузеппе; Мининни, Роза Мария; Буфало, Микеле (19 августа 2019 г.). «Калибровка процентных ставок с помощью модели CIR». Журнал Risk Finance . 20 (4): 370–387. doi :10.1108/JRF-05-2019-0080. ISSN  1526-5943. S2CID  204435499.
6. Орландо, Джузеппе; Минини, Роза Мария; Буфало, Микеле (июль 2020 г.). «Прогнозирование процентных ставок с использованием моделей Васичека и CIR: подход к разделению». Journal of Forecasting . 39 (4): 569–579. arXiv : 1901.02246 . doi :10.1002/for.2642. ISSN  0277-6693. S2CID  126507446.
7. Орландо, Джузеппе; Буфало, Микеле (26.05.2021). «Прогнозирование процентных ставок: между Халлом и Уайтом и CIR# — как заставить работать однофакторную модель». Журнал прогнозирования . 40 (8): 1566–1580. doi : 10.1002/for.2783 . ISSN  0277-6693.

Первичные ссылки

• Джон Халл и Алан Уайт, «Использование деревьев процентных ставок Халла–Уайта», Журнал Derivatives , т. 3, № 3 (весна 1996 г.), стр. 26–36
• Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры для реализации моделей временной структуры I», Журнал производных , осень 1994 г., стр. 7–16.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Численные процедуры для реализации моделей временной структуры II», Журнал производных инструментов , зима 1994 г., стр. 37–48.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Ценообразование опционов на верхние и нижние пределы процентных ставок с использованием модели Халла–Уайта» в книге «Расширенные стратегии в управлении финансовыми рисками » , глава 4, стр. 59–67.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Однофакторные модели процентных ставок и оценка процентных производных ценных бумаг», Журнал финансового и количественного анализа , том 28, № 2 (июнь 1993 г.), стр. 235–254.
• Джон Халл и Алан Уайт, «Ценообразование процентных производных ценных бумаг», The Review of Financial Studies , том 3, № 4 (1990) стр. 573–592.

Другие ссылки

• Халл, Джон К. (2006). «Процентные деривативы: модели краткосрочной ставки». Опционы, фьючерсы и другие деривативы (6-е изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall . стр. 657–658. ISBN 0-13-149908-4. LCCN  2005047692. OCLC  60321487.
• Дамиано Бриго , Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок — теория и практика с улыбкой, инфляцией и кредитом (2-е изд. 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Хенрард, Марк (2003). «Явный опцион на облигации и формула свопциона в однофакторной модели Хита–Джарроу–Мортона», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 6(1), 57–72. Препринт SSRN.
• Хенрард, Марк (2009). Эффективная цена свопционов в однофакторной модели Халла–Уайта, arXiv, 0901.1776v1. Препринт arXiv.
• Островский, Владимир (2013). Эффективное и точное моделирование модели Халла–Уайта, Препринт SSRN.
• Островский, Владимир (2016). Эффективное и точное моделирование гауссовых аффинных моделей процентных ставок., Международный журнал финансовой инженерии, т. 3, № 02. , Препринт SSRN.
• Пушкарски, Ойген. Реализация модели структуры сроков без арбитража Халла-Уайта, дипломная работа, Центр центральноевропейских финансовых рынков
• Турфус, Колин (2020). Ценообразование по каплетам с ретроспективными ставками., Препринт SSRN.
• Летиан Ванг, модель Халла–Уайта, Fixed Income Quant Group, DTCC (подробный числовой пример и вывод)