Гибридная система — это динамическая система , которая демонстрирует как непрерывное, так и дискретное динамическое поведение — система, которая может как течь (описываемая дифференциальным уравнением ), так и прыгать (описываемая конечным автоматом или автоматом ). [1] Часто термин «гибридная динамическая система» используется для различия гибридных систем, таких как те, которые сочетают в себе нейронные сети и нечеткую логику или электрические и механические приводные линии. Преимущество гибридной системы заключается в том, что она охватывает более широкий класс систем в своей структуре, что обеспечивает большую гибкость при моделировании динамических явлений.
В общем случае состояние гибридной системы определяется значениями непрерывных переменных и дискретного режима . Состояние изменяется либо непрерывно, в зависимости от состояния потока , либо дискретно, в соответствии с графом управления . Непрерывный поток разрешен до тех пор, пока соблюдаются так называемые инварианты , тогда как дискретные переходы могут происходить, как только выполняются заданные условия скачка . Дискретные переходы могут быть связаны с событиями .
Гибридные системы использовались для моделирования нескольких киберфизических систем, в том числе физических систем с воздействием , логико-динамических контроллеров и даже перегрузок Интернета .
Каноническим примером гибридной системы является прыгающий мяч , физическая система с ударом. Здесь мяч (представленный как точечная масса) падает с начальной высоты и отскакивает от земли, рассеивая свою энергию при каждом отскоке. Мяч демонстрирует непрерывную динамику между каждым отскоком; однако, когда мяч ударяется о землю, его скорость претерпевает дискретное изменение, смоделированное после неупругого столкновения . Далее следует математическое описание прыгающего мяча. Пусть – высота мяча, а – скорость мяча. Гибридная система, описывающая мяч, выглядит следующим образом:
При , поток определяется формулой , где – ускорение свободного падения. Эти уравнения утверждают, что когда мяч находится над землей, он притягивается к земле под действием силы тяжести.
При , скачки определяются , где – коэффициент рассеяния. Это значит, что когда высота мяча равна нулю (он ударился о землю), его скорость меняется на противоположную и уменьшается в 0 раз . Фактически это описывает природу неупругого столкновения.
Прыгающий мяч — особенно интересная гибридная система, поскольку он демонстрирует поведение Зенона . Поведение Зенона имеет строгое математическое определение, но неформально его можно описать как систему, совершающую бесконечное количество прыжков за конечное время. В этом примере каждый раз, когда мяч отскакивает, он теряет энергию, делая последующие прыжки (удары о землю) все ближе и ближе друг к другу во времени.
Примечательно, что динамическая модель является полной тогда и только тогда, когда добавляется сила контакта между землей и мячом. Действительно, без сил невозможно правильно определить прыгающий мяч, и модель с механической точки зрения бессмысленна. Простейшая модель контакта, которая представляет взаимодействие между мячом и землей, — это соотношение дополнительности между силой и расстоянием (зазором) между мячом и землей. Это написано так: Такая модель контакта не учитывает ни магнитных сил, ни эффектов склеивания. При наличии отношений дополнительности можно продолжать интегрировать систему после того, как воздействия накопились и исчезли: равновесие системы четко определяется как статическое равновесие шара на земле под действием силы тяжести, компенсируемой силой тяжести. контактная сила . Из базового выпуклого анализа также можно заметить, что отношение дополнительности можно эквивалентно переписать как включение в нормальный конус, так что динамика прыгающего мяча представляет собой дифференциальное включение в нормальный конус в выпуклое множество. См. главы 1, 2 и 3 в книге Акари-Брольято, цитируемой ниже (Springer LNACM 35, 2008). См. также другие ссылки по негладкой механике.
Существуют подходы к автоматическому подтверждению свойств гибридных систем (например, некоторые из инструментов, упомянутых ниже). Распространенными методами доказательства безопасности гибридных систем являются вычисление множеств достижимости, уточнение абстракции и барьерные сертификаты .
Большинство задач верификации неразрешимы, [2] что делает невозможными общие алгоритмы верификации . Вместо этого инструменты анализируются на предмет их возможностей при решении эталонных задач. Возможная теоретическая характеристика этого - алгоритмы, которые успешно проверяют гибридные системы во всех устойчивых случаях [3] , подразумевая, что многие проблемы для гибридных систем, хотя и неразрешимы, но, по крайней мере, квазиразрешимы. [4]
Можно разделить два основных подхода к моделированию гибридных систем: неявный и явный. Явный подход часто представлен гибридным автоматом , гибридной программой или гибридной сетью Петри . Неявный подход часто представлен защищенными уравнениями, что приводит к системам дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), в которых активные уравнения могут изменяться, например, с помощью графа гибридных связей .
В качестве единого подхода к моделированию для анализа гибридных систем существует метод, основанный на формализме DEVS , в котором интеграторы дифференциальных уравнений квантуются в атомарные модели DEVS . Эти методы генерируют следы поведения системы в виде системы дискретных событий, которые отличаются от систем с дискретным временем. Подробное описание этого подхода можно найти в ссылках [Kofman2004] [CF2006] [Nutaro2010] и программном инструменте PowerDEVS .
