Модель Поттса

Модель в статистической механике, обобщающая модель Изинга

В статистической механике модель Поттса , обобщение модели Изинга , представляет собой модель взаимодействующих спинов на кристаллической решетке . ^[1] Изучая модель Поттса, можно получить представление о поведении ферромагнетиков и некоторых других явлениях физики твердого тела . Сила модели Поттса заключается не столько в том, что она хорошо моделирует эти физические системы; скорее, в том, что одномерный случай точно решаем и что он имеет богатую математическую формулировку, которая была тщательно изучена.

Модель названа в честь Ренфри Поттса , который описал модель ближе к концу своей докторской диссертации 1951 года. ^[2] Модель была связана с «планарной моделью Поттса» или « моделью часов », которую ему предложил его научный руководитель Сирил Домб . Четырехпозиционная модель Поттса иногда известна как модель Эшкина–Теллера , ^[3] в честь Джулиуса Эшкина и Эдварда Теллера , которые рассматривали эквивалентную модель в 1943 году.

Модель Поттса связана с несколькими другими моделями и обобщается ими, включая модель XY , модель Гейзенберга и модель N-вектора . Модель Поттса с бесконечным диапазоном известна как модель Каца. Когда спины взаимодействуют неабелевым образом , модель связана с моделью трубки потока , которая используется для обсуждения ограничения в квантовой хромодинамике . Обобщения модели Поттса также использовались для моделирования роста зерен в металлах, огрубления в пенах и статистических свойств белков . ^[4] Дальнейшее обобщение этих методов Джеймсом Глейзером и Франсуа Гранером, известное как ячеистая модель Поттса , ^[5] использовалось для моделирования статических и кинетических явлений в пене и биологическом морфогенезе .

Определение

Векторная модель Поттса

Модель Поттса состоит из спинов , размещенных на решетке ; решетка обычно принимается как двумерная прямоугольная евклидова решетка, но часто обобщается на другие измерения и решетчатые структуры.

Первоначально Домб предположил, что спин принимает одно из возможных значений ^{[ необходима ссылка ]} , равномерно распределенных по окружности под углами ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \theta _{s}={\frac {2\pi s}{q}},}$

где и что гамильтониан взаимодействия определяется выражением ${\displaystyle s=0,1,...,q-1}$

${\displaystyle H_{c}=J_{c}\sum _{\langle i,j\rangle }\cos \left(\theta _{s_{i}}-\theta _{s_{j}}\right)}$

с суммой, пробегающей ближайшие пары соседей по всем узлам решетки, и является константой связи, определяющей силу взаимодействия. Эта модель теперь известна как векторная модель Поттса или модель часов . Поттс предоставил местоположение в двух измерениях фазового перехода для . В пределе это становится моделью XY . ${\displaystyle \langle i,j\rangle }$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle q=3,4}$ ${\displaystyle q\to \infty }$

Стандартная модель Поттса

То, что сейчас известно как стандартная модель Поттса, было предложено Поттсом в ходе его исследования вышеприведенной модели и определяется более простым гамильтонианом:

${\displaystyle H_{p}=-J_{p}\sum _{(i,j)}\delta (s_{i},s_{j})\,}$

где — дельта Кронекера , которая равна единице всякий раз и нулю в противном случае. ${\displaystyle \delta (s_{i},s_{j})}$ ${\displaystyle s_{i}=s_{j}}$

Стандартная модель Поттса эквивалентна модели Изинга и двухпозиционной векторной модели Поттса, при этом . Стандартная модель Поттса эквивалентна трехпозиционной векторной модели Поттса, при этом . ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle J_{p}=-2J_{c}}$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle J_{p}=-{\frac {3}{2}}J_{c}}$

Обобщенная модель Поттса

Обобщение модели Поттса часто используется в статистическом выводе и биофизике, в частности, для моделирования белков посредством прямого анализа связи . ^{[4] [6]} Эта обобщенная модель Поттса состоит из «спинов», каждый из которых может принимать состояния: (без определенного порядка). Гамильтониан равен: ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{1,\dots ,q\}}$

${\displaystyle H=\sum _{i<j}J_{ij}(s_{i},s_{j})+\sum _{i}h_{i}(s_{i}),}$

где — энергетическая стоимость нахождения спина в состоянии , пока спин находится в состоянии , а — энергетическая стоимость нахождения спина в состоянии . Примечание: . Эта модель напоминает модель Шеррингтона-Киркпатрика в том, что связи могут быть неоднородными и нелокальными. В этой модели нет явной решетчатой ​​структуры. ${\displaystyle J_{ij}(k,k')}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle h_{i}(k)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J_{ij}(k,k')=J_{ji}(k',k)}$

Физические свойства

Фазовые переходы

Несмотря на свою простоту как модели физической системы, модель Поттса полезна как модельная система для изучения фазовых переходов . Например, для стандартной ферромагнитной модели Поттса в фазовый переход существует для всех действительных значений , ^[7] с критической точкой при . Фазовый переход является непрерывным (второго рода) для ^[8] и прерывистым (первого рода) для . ^[9] ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \beta J=\log(1+{\sqrt {q}})}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq 4}$ ${\displaystyle q>4}$

Для часовой модели есть доказательства того, что соответствующие фазовые переходы являются переходами БКТ бесконечного порядка , ^[10] и непрерывный фазовый переход наблюдается при . ^[10] Дальнейшее использование модели найдено через связь с проблемами перколяции и полиномами Тутта и хроматическими полиномами, найденными в комбинаторике. Для целых значений модель демонстрирует явление «интерфейсной адсорбции» ^[11] с интригующими критическими свойствами смачивания при фиксации противоположных границ в двух различных состояниях ^{[ необходимо разъяснение ]} . ${\displaystyle q\leq 4}$ ${\displaystyle q\geq 3}$

Связь с моделью случайного кластера

Модель Поттса тесно связана с моделью случайного кластера Фортуина- Кастелейна , другой моделью в статистической механике . Понимание этой связи помогло разработать эффективные методы Монте-Карло с цепями Маркова для численного исследования модели при малых и привело к строгому доказательству критической температуры модели. ^[7] ${\displaystyle q}$

На уровне функции распределения отношение сводится к преобразованию суммы по спиновым конфигурациям в сумму по краевым конфигурациям , т.е. наборам пар ближайших соседей одного цвета. Преобразование выполняется с использованием тождества ^[12] ${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\{s_{i}\}}e^{-H_{p}}}$ ${\displaystyle \{s_{i}\}}$ ${\displaystyle \omega ={\Big \{}(i,j){\Big |}s_{i}=s_{j}{\Big \}}}$

${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=1+v\delta (s_{i},s_{j})\qquad {\text{ with }}\qquad v=e^{J_{p}}-1\ .}$

Это приводит к переписыванию функции распределения в виде

${\displaystyle Z_{p}=\sum _{\omega }v^{\#{\text{edges}}(\omega )}q^{\#{\text{clusters}}(\omega )}}$

где кластеры FK являются связанными компонентами объединения замкнутых сегментов . Это пропорционально функции распределения случайной кластерной модели с вероятностью открытого края . Преимущество формулировки случайного кластера заключается в том, что может быть произвольным комплексным числом, а не натуральным целым числом. ${\displaystyle \cup _{(i,j)\in \omega }[i,j]}$ ${\displaystyle p={\frac {v}{1+v}}=1-e^{-J_{p}}}$ ${\displaystyle q}$

В качестве альтернативы, вместо кластеров FK, модель может быть сформулирована в терминах спиновых кластеров , используя тождество

${\displaystyle e^{J_{p}\delta (s_{i},s_{j})}=(1-\delta (s_{i},s_{j}))+e^{J_{p}}\delta (s_{i},s_{j})\ .}$

Спиновый кластер представляет собой объединение соседних FK-кластеров одинакового цвета: два соседних спиновых кластера имеют разные цвета, в то время как два соседних FK-кластера окрашены независимо.

Описание теории меры

Одномерная модель Поттса может быть выражена в терминах подсдвига конечного типа и, таким образом, получает доступ ко всем математическим методам, связанным с этим формализмом. В частности, ее можно решить точно, используя методы операторов переноса . (Однако Эрнст Изинг использовал комбинаторные методы для решения модели Изинга , которая является «предком» модели Поттса, в своей докторской диссертации 1924 года). В этом разделе разрабатывается математический формализм, основанный на теории меры , стоящий за этим решением.

Хотя пример ниже разработан для одномерного случая, многие аргументы и почти все обозначения легко обобщаются на любое количество измерений. Часть формализма также достаточно широка для обработки связанных моделей, таких как модель XY , модель Гейзенберга и модель N-вектора .

Топология пространства состояний

Пусть Q = {1, ..., q } — конечный набор символов, и пусть

${\displaystyle Q^{\mathbf {Z} }=\{s=(\ldots ,s_{-1},s_{0},s_{1},\ldots ):s_{k}\in Q\;\forall k\in \mathbf {Z} \}}$

быть множеством всех двусторонних бесконечных строк значений из множества Q . Это множество называется полным сдвигом . Для определения модели Поттса может использоваться либо все это пространство, либо его определенное подмножество, подсдвиг конечного типа . Сдвиги получили это название, потому что в этом пространстве существует естественный оператор, оператор сдвига τ : Q ^Z → Q ^Z , действующий как

${\displaystyle \tau (s)_{k}=s_{k+1}}$

Этот набор имеет топологию натурального произведения ; основой этой топологии являются цилиндрические наборы.

${\displaystyle C_{m}[\xi _{0},\ldots ,\xi _{k}]=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:s_{m}=\xi _{0},\ldots ,s_{m+k}=\xi _{k}\}}$

то есть набор всех возможных строк, где k +1 спинов точно соответствуют заданному, определенному набору значений ξ ₀ , ..., ξ _k . Явные представления для наборов цилиндров можно получить, заметив, что строка значений соответствует q -адическому числу , однако естественная топология q -адических чисел тоньше, чем приведенная выше топология произведения.

Энергия взаимодействия

Взаимодействие между спинами тогда задается непрерывной функцией V  : Q ^Z → R на этой топологии. Подойдет любая непрерывная функция; например

${\displaystyle V(s)=-J\delta (s_{0},s_{1})}$

будет рассматриваться для описания взаимодействия между ближайшими соседями. Конечно, разные функции дают разные взаимодействия; поэтому функция от s ₀ , s ₁ и s ₂ будет описывать взаимодействие следующего ближайшего соседа. Функция V дает энергию взаимодействия между набором спинов; это не гамильтониан, но он используется для его построения. Аргументом функции V является элемент s ∈ Q ^Z , то есть бесконечная строка спинов. В приведенном выше примере функция V просто выбрала два спина из бесконечной строки: значения s ₀ и s ₁ . В общем случае функция V может зависеть от некоторых или всех спинов; в настоящее время точно решаемы только те, которые зависят от конечного числа.

Определим функцию H _n  : Q ^Z → R как

${\displaystyle H_{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}V(\tau ^{k}s)}$

Можно видеть, что эта функция состоит из двух частей: собственной энергии конфигурации [ s ₀ , s ₁ , ..., s _n ] спинов, плюс энергия взаимодействия этого набора и всех других спинов в решетке. Предел n → ∞ этой функции является гамильтонианом системы; для конечных n их иногда называют гамильтонианами конечного состояния .

Разделительная функция и мера

Соответствующая функция распределения конечных состояний определяется выражением

${\displaystyle Z_{n}(V)=\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}\exp(-\beta H_{n}(C_{0}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

где C ₀ — это цилиндрические множества, определенные выше. Здесь β = 1/ kT , где k — постоянная Больцмана , а T — температура . Очень часто в математических обработках устанавливают β = 1, так как его легко восстановить, изменив масштаб энергии взаимодействия. Эта статистическая сумма записана как функция взаимодействия V , чтобы подчеркнуть, что это только функция взаимодействия, а не какой-либо конкретной конфигурации спинов. Статистическая сумма вместе с гамильтонианом используются для определения меры на борелевской σ-алгебре следующим образом: Мера цилиндрического множества, т. е. элемента базы, задается как

${\displaystyle \mu (C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}])={\frac {1}{Z_{n}(V)}}\exp(-\beta H_{n}(C_{k}[s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}]))}$

Затем можно расширить счетной аддитивностью до полной σ-алгебры. Эта мера является вероятностной мерой ; она дает вероятность того, что заданная конфигурация появится в конфигурационном пространстве Q ^Z . Наделяя конфигурационное пространство вероятностной мерой, построенной из гамильтониана таким образом, конфигурационное пространство превращается в канонический ансамбль .

Большинство термодинамических свойств можно выразить непосредственно через функцию распределения. Так, например, свободная энергия Гельмгольца определяется как

${\displaystyle A_{n}(V)=-kT\log Z_{n}(V)}$

Другой важной связанной величиной является топологическое давление, определяемое как

${\displaystyle P(V)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log Z_{n}(V)}$

который будет отображаться как логарифм ведущего собственного значения оператора переноса решения.

Решение в свободном поле

Простейшей моделью является модель, в которой вообще нет взаимодействия, и поэтому V = c и H _n = c (при c постоянном и независимом от какой-либо конфигурации спина). Функция распределения становится

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }\sum _{s_{0},\ldots ,s_{n}\in Q}1}$

Если все состояния разрешены, то есть базовый набор состояний задан полным сдвигом , то сумму можно тривиально оценить как

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }q^{n+1}}$

Если соседние спины разрешены только в определенных конкретных конфигурациях, то пространство состояний задается подсдвигом конечного типа . Тогда функция распределения может быть записана как

${\displaystyle Z_{n}(c)=e^{-c\beta }|{\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}|=e^{-c\beta }{\mbox{Tr}}A^{n}}$

где card — это мощность или количество элементов множества, а Fix — это множество неподвижных точек итерированной функции сдвига:

${\displaystyle {\mbox{Fix}}\,\tau ^{n}=\{s\in Q^{\mathbf {Z} }:\tau ^{n}s=s\}}$

Матрица A размером q × q — это матрица смежности, определяющая, какие соседние значения спина разрешены.

Взаимодействующая модель

Простейшим случаем взаимодействующей модели является модель Изинга , где спин может принимать только одно из двух значений, s _n ∈ {−1, 1} и взаимодействуют только ближайшие соседние спины. Потенциал взаимодействия определяется как

${\displaystyle V(\sigma )=-J_{p}s_{0}s_{1}\,}$

Этот потенциал можно зафиксировать в матрице 2 × 2 с матричными элементами

${\displaystyle M_{\sigma \sigma '}=\exp \left(\beta J_{p}\sigma \sigma '\right)}$

с индексом σ, σ′ ∈ {−1, 1}. Тогда функция распределения задается как

${\displaystyle Z_{n}(V)={\mbox{Tr}}\,M^{n}}$

Общее решение для произвольного числа спинов и произвольного конечного взаимодействия дается той же общей формой. В этом случае точное выражение для матрицы M немного сложнее.

Целью решения такой модели, как модель Поттса, является получение точного замкнутого выражения для статистической суммы и выражения для состояний Гиббса или состояний равновесия в пределе n → ∞, термодинамическом пределе .

Приложения

Обработка сигналов и изображений

Модель Поттса имеет приложения в реконструкции сигнала. Предположим, что нам дано шумное наблюдение кусочно-постоянного сигнала g в R ⁿ . Чтобы восстановить g из шумного вектора наблюдения f в R ⁿ , ищут минимизатор соответствующей обратной задачи, функционал L ^p -Поттса P _γ ( u ), который определяется как

${\displaystyle P_{\gamma }(u)=\gamma \|\nabla u\|_{0}+\|u-f\|_{p}^{p}=\gamma \#\{i:u_{i}\neq u_{i+1}\}+\sum _{i=1}^{n}|u_{i}-f_{i}|^{p}}$

Штраф за скачок заставляет кусочно-постоянные решения, а термин данных связывает минимизирующий кандидат u с данными f . Параметр γ > 0 контролирует компромисс между регулярностью и точностью данных . Существуют быстрые алгоритмы для точной минимизации функционалов L ¹ и L ² -Potts. ^[13] ${\displaystyle \|\nabla u\|_{0}}$ ${\displaystyle \|u-f\|_{p}^{p}}$

В обработке изображений функционал Поттса связан с проблемой сегментации. ^[14] Однако в двух измерениях эта задача является NP-трудной. ^[15]

Смотрите также

• Модель случайного кластера
• Критическая трехуровневая модель Поттса
• Хиральная модель Поттса
• Модель Изинга с квадратной решеткой
• Минимальные модели
• модель ЗН
• Сотовая модель Поттса

Ссылки

1. Wu, FY (1982-01-01). "Модель Поттса". Reviews of Modern Physics . 54 (1): 235–268. Bibcode : 1982RvMP...54..235W. doi : 10.1103/RevModPhys.54.235.
2. Поттс, РБ (январь 1952). «Некоторые обобщенные преобразования порядок-беспорядок». Математические труды Кембриджского философского общества . 48 (1): 106–109. Bibcode :1952PCPS...48..106P. doi :10.1017/S0305004100027419. ISSN  1469-8064. S2CID  122689941.
3. Эшкин, Дж.; Теллер, Э. (1943-09-01). "Статистика двумерных решеток с четырьмя компонентами". Physical Review . 64 (5–6): 178–184. Bibcode : 1943PhRv...64..178A. doi : 10.1103/PhysRev.64.178.
4. Шимагаки, Кай; Вайгт, Мартин (2019-09-19). "Выбор мотивов последовательностей и генеративных моделей Хопфилда-Поттса для семейств белков". Physical Review E. 100 ( 3): 032128. arXiv : 1905.11848 . Bibcode : 2019PhRvE.100c2128S. doi : 10.1103/PhysRevE.100.032128. PMID  31639992. S2CID  167217593.
5. Гранер, Франсуа; Глейзер, Джеймс А. (1992-09-28). «Моделирование биологической сортировки клеток с использованием двумерной расширенной модели Поттса». Physical Review Letters . 69 (13): 2013–2016. Bibcode : 1992PhRvL..69.2013G. doi : 10.1103/PhysRevLett.69.2013. PMID  10046374.
6. Мехта, Панкадж; Буков, Марин; Ван, Чинг-Хао; Дэй, Александр ГР; Ричардсон, Клинт; Фишер, Чарльз К.; Шваб, Дэвид Дж. (30.05.2019). «Введение в машинное обучение для физиков с высокой степенью смещения и низкой дисперсией». Physics Reports . 810 : 1–124. arXiv : 1803.08823 . Bibcode :2019PhR...810....1M. doi :10.1016/j.physrep.2019.03.001. ISSN  0370-1573. PMC 6688775 . PMID  31404441. 
7. Beffara, Vincent; Duminil-Copin, Hugo (2012-08-01). "Самодвойственная точка двумерной модели случайного кластера имеет решающее значение для q ≥ 1". Probability Theory and Related Fields . 153 (3): 511–542. doi : 10.1007/s00440-011-0353-8 . ISSN  1432-2064. S2CID  55391558.
8. Duminil-Copin, Hugo; Sidoravicius, Vladas; Tassion, Vincent (2017-01-01). "Непрерывность фазового перехода для плоских случайных кластерных и моделей Поттса с $${1 \le q \le 4}$$". Communications in Mathematical Physics . 349 (1): 47–107. arXiv : 1505.04159 . doi :10.1007/s00220-016-2759-8. ISSN  1432-0916. S2CID  119153736.
9. Думинил-Копен, Хьюго; Ганебин, Максим; Харель, Матан; Манолеску, Иоан; Тассион, Винсент (2017-09-05). "Разрыв фазового перехода для планарных случайных кластеров и моделей Поттса с $q>4$". arXiv : 1611.09877 [math.PR].
10. Li, Zi-Qian; Yang, Li-Ping; Xie, ZY; Tu, Hong-Hao; Liao, Hai-Jun; Xiang, T. (2020). "Критические свойства двумерной модели часов $q$-state". Physical Review E . 101 (6): 060105. arXiv : 1912.11416v3 . Bibcode :2020PhRvE.101f0105L. doi :10.1103/PhysRevE.101.060105. PMID  32688489. S2CID  209460838.
11. Сельке, Уолтер; Хьюз, Дэвид А. (1 июня 1983 г.). «Межфазная адсорбция в моделях плоских горшков». Zeitschrift für Physik B: Конденсированное вещество . 50 (2): 113–116. Бибкод : 1983ZPhyB..50..113S. дои : 10.1007/BF01304093. ISSN  1431-584X. S2CID  121502987.
12. Сокал, Алан Д. (2005). «Многомерный полином Тутта (он же модель Поттса) для графов и матроидов». Surveys in Combinatorics 2005. стр. 173–226. arXiv : math/0503607 . doi :10.1017/CBO9780511734885.009. ISBN 9780521615235. S2CID  17904893.
13. Фридрих, Ф.; Кемпе, А.; Либшер, В.; Винклер, Г. (2008). «Оценка M со штрафом за сложность: быстрые вычисления». Журнал вычислительной и графической статистики . 17 (1): 201–224. doi :10.1198/106186008X285591. ISSN  1061-8600. JSTOR  27594299. S2CID  117951377.
14. Кренбюль, Филипп; Колтун, Владлен (2011). «Эффективный вывод в полностью связанных CRF с гауссовыми краевыми потенциалами». Достижения в области нейронных систем обработки информации . 24. Curran Associates, Inc. arXiv : 1210.5644 .
15. Бойков, Ю.; Векслер, О.; Забих, Р. (ноябрь 2001 г.). «Быстрая приближенная минимизация энергии с помощью разрезов графа». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 23 (11): 1222–1239. doi :10.1109/34.969114. ISSN  1939-3539.

Внешние ссылки

• Хаггард, Гэри; Пирс, Дэвид Дж.; Ройл, Гордон. «Код для эффективного вычисления полиномов Тутте, хроматических и потоковых полиномов».