Параметры пропускания

Параметры проводимости или Y-параметры (элементы матрицы проводимости или Y-матрицы ) являются свойствами, используемыми во многих областях электротехники , таких как энергетика , электроника и телекоммуникации . Эти параметры используются для описания электрического поведения линейных электрических сетей . Они также используются для описания слабосигнального ( линеаризованного ) отклика нелинейных сетей. Параметры Y также известны как параметры короткозамкнутой проводимости. Они являются членами семейства подобных параметров, используемых в электронной технике, другими примерами являются: S-параметры , ^[1] Z-параметры , ^[2] H-параметры , T-параметры или ABCD-параметры . ^[3]^[4]

Матрица Y-параметров

Матрица Y-параметров описывает поведение любой линейной электрической сети, которую можно рассматривать как черный ящик с несколькими портами . Порт в этом контексте представляет собой пару электрических клемм, передающих равные и противоположные токи в сеть и из нее и имеющих определенное напряжение между ними. Матрица Y не дает никакой информации о поведении сети, когда токи в любом порту не сбалансированы таким образом (если это возможно), и не дает никакой информации о напряжении между клеммами, не принадлежащими одному и тому же порту. Обычно предполагается, что каждое внешнее соединение с сетью находится между клеммами только одного порта, так что эти ограничения уместны.

Для определения универсальной многопортовой сети предполагается, что каждому порту выделено целое число $n$ в диапазоне от 1 до $N$ , где $N$ — общее количество портов. Для порта $n$ соответствующее определение Y-параметра осуществляется в терминах напряжения порта и тока порта, $V n$ и $I n$ соответственно.

Для всех портов токи могут быть определены через матрицу Y-параметров, а напряжения — с помощью следующего матричного уравнения:

I=YV\,

где Y — матрица $N \times N$ , элементы которой можно индексировать с помощью обычной матричной записи. В общем случае элементы матрицы параметров Y являются комплексными числами и функциями частоты. Для однополюсной сети матрица Y сводится к одному элементу, представляющему собой обычную проводимость, измеренную между двумя терминалами.

Двухпортовые сети

Матрица параметров Y для двухпортовой сети, вероятно, является наиболее распространенной. В этом случае соотношение между напряжениями портов, токами портов и матрицей параметров Y определяется следующим образом:

{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}

где

{\begin{align}Y_{11}&={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{align}}

Для общего случая $n$ -портовой сети,

Y_{nm}={I_{n} \over V_{m}}{\bigg |}_{V_{k}=0{\text{ for }}k\neq m}

Отношения допуска

Входная проводимость двухполюсника определяется по формуле:

Y_{in}=Y_{11}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{22}+Y_{L}}}

где $Y L$ — проводимость нагрузки, подключенной к порту два.

Аналогично, выходная проводимость определяется по формуле:

Y_{out}=Y_{22}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{11}+Y_{S}}}

где $Y S$ — проводимость источника, подключенного к порту один.

Связь с S-параметрами

Y-параметры сети связаны с ее S-параметрами следующим образом ^[5]

{\begin{align}Y&={\sqrt {y}}(I_{N}-S)(I_{N}+S)^{-1}{\sqrt {y}}\\&={\sqrt {y}}(I_{N}+S)^{-1}(I_{N}-S){\sqrt {y}}\\\end{align}}

и ^[5]

{\begin{aligned}S&=(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}\\&=(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})\\\end{aligned}}

где $I N$ — единичная матрица , — диагональная матрица, имеющая квадратный корень из характеристической проводимости (обратной величине характеристического импеданса ) на каждом порту в качестве своих ненулевых элементов, ${\sqrt {y}}$

${\sqrt {y}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y_{01}}}&\\&{\sqrt {y_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{\sqrt {y_{0N}}}\end{pmatrix}}$

и — соответствующая диагональная матрица квадратных корней характеристических сопротивлений . В этих выражениях матрицы, представленные заключенными в скобки множителями, коммутируют и, как показано выше, могут быть записаны в любом порядке. ^[5]^{[примечание 1]} ${\sqrt {z}}=({\sqrt {y}})^{-1}$

Два порта

В частном случае двухполюсной сети с одинаковой и действительной характеристической проводимостью на каждом порту приведенные выше выражения сводятся к ^[6] $y_{01}=y_{02}=Y_{0}$

{\begin{aligned}Y_{11}&={(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\Y_{12}&={-2S_{12} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{21}&={-2S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{22}&={(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21} \over \Delta _{S}}Y_{0}\end{aligned}}

где

\Дельта _{S}=(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}.

Выражения выше обычно используют комплексные числа для и . Обратите внимание, что значение может стать 0 для определенных значений , поэтому деление на в вычислениях может привести к делению на 0. $S_{ij}$ $Y_{ij}$ $\Дельта$ $S_{ij}$ $\Дельта$ $Y_{ij}$

Двухпортовые S-параметры также могут быть получены из эквивалентных двухпортовых Y-параметров с помощью следующих выражений. ^[7]

{\begin{aligned}S_{11}&={(1-Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\\S_{12}&={-2Z_{0}Y_{12} \over \Delta }\\[4pt]S_{21}&={-2Z_{0}Y_{21} \over \Delta }\\[4pt]S_{22}&={(1+Z_{0}Y_{11})(1-Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\end{aligned}}

где

\Delta =(1+Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})-Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21}\,

и — характеристическое сопротивление на каждом порту (предполагается, что оно одинаково для двух портов). $Z_{0}$

Отношение к Z-параметрам

Преобразование из Z-параметров в Y-параметры намного проще, поскольку матрица Y-параметров является просто обратной матрицей Z-параметров. Следующие выражения показывают применимые соотношения:

{\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{aligned}}

где

|Z|=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\,

В данном случае — определитель матрицы Z-параметров. $|Z|$

И наоборот, параметры Y можно использовать для определения параметров Z, по сути, используя те же выражения, поскольку

Y=Z^{-1}\,

Z=Y^{-1}.

Смотрите также

Примечания

^ Любая квадратная матрица коммутирует сама с собой и с единичной матрицей, и если две матрицы A и B коммутируют, то также коммутируют A и B⁻¹ (так как AB⁻¹ = B⁻¹BAB⁻¹ = B⁻¹ABB⁻¹ = B⁻¹A )

Ссылки

^ Позар, Дэвид М. (2005); Микроволновая техника, третье издание (международное издание); John Wiley & Sons; стр. 170-174. ISBN 0-471-44878-8 .
^ Позар, Дэвид М. (2005) (соч. цит.); стр. 170-174.
^ Позар, Дэвид М. (2005) (соч. цит.); стр. 183-186.
^ Мортон, AH (1985); Advanced Electrical Engineering ; Pitman Publishing Ltd.; стр. 33-72. ISBN 0-273-40172-6
^ abc Russer, Peter (2003). Электромагнетизм, микроволновые цепи и антенны для проектирования средств связи . Artech House. ISBN 978-1-58053-532-8.
^ Frickey, DA (февраль 1994). «Преобразования между параметрами S, Z, Y, H, ABCD и T, которые действительны для комплексных сопротивлений источника и нагрузки». IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 42 (2): 205–211. Bibcode : 1994ITMTT..42..205F. doi : 10.1109/22.275248. ISSN 0018-9480.
^ Саймон Рамо, Джон Р. Уиннери, Теодор Ван Дузер, «Поля и волны в коммуникационной электронике», третье издание, John Wiley & Sons Inc.; 1993, стр. 537-541, ISBN 0-471-58551-3 .