Объемный модуль

Сопротивление материала равномерному давлению

Иллюстрация равномерного сжатия

Модуль объемного сжатия ( или или ) вещества является мерой сопротивления вещества объемному сжатию . Оно определяется как отношение бесконечно малого увеличения давления к результирующему относительному уменьшению объема . ^[1] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$

Другие модули описывают реакцию материала ( деформацию ) на другие виды напряжения : модуль сдвига описывает реакцию на напряжение сдвига , а модуль Юнга описывает реакцию на нормальное напряжение (продольное растяжение). Для жидкости имеет значение только модуль объемного сжатия. Для сложного анизотропного твердого тела, такого как дерево или бумага , эти три модуля не содержат достаточно информации для описания его поведения, и необходимо использовать полный обобщенный закон Гука . Обратная величина модуля объемного сжатия при фиксированной температуре называется изотермической сжимаемостью .

Определение

Модуль объемного сжатия (который обычно положителен) может быть формально определен уравнением ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}$

где – давление, – начальный объем вещества, обозначает производную давления по объему. Поскольку объем обратно пропорционален плотности, отсюда следует, что ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle dP/dV}$

${\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}$

где – начальная плотность и обозначает производную давления по плотности. Обратная величина модуля объемного сжатия дает сжимаемость вещества . Обычно модуль объемного сжатия определяется при постоянной температуре как изотермический модуль объемного сжатия, но также может быть определен при постоянной энтропии как адиабатический модуль объемного сжатия. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle dP/d\rho }$

Термодинамическое соотношение

Строго говоря, модуль объемного сжатия — это термодинамическая величина, и для задания модуля объемного сжатия необходимо указать, как изменяется давление при сжатии: возможны постоянные температуры (изотермические ), постоянные энтропии ( изоэнтропические ) и другие вариации. . Такие различия особенно актуальны для газов . ${\displaystyle K_{T}}$ ${\displaystyle K_{S}}$

Для идеального газа изоэнтропический процесс имеет:

${\displaystyle PV^{\gamma }={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },}$

где коэффициент теплоемкости . Следовательно, изэнтропический модуль объемного сжатия определяется выражением ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{S}}$

${\displaystyle K_{S}=\gamma P.}$

Аналогично изотермический процесс идеального газа имеет:

${\displaystyle PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

Следовательно, изотермический модуль объемного сжатия определяется выражением ${\displaystyle K_{T}}$

${\displaystyle K_{T}=P}$.

Когда газ неидеален, эти уравнения дают лишь приближенное значение модуля объемного сжатия. В жидкости модуль объемного сжатия и плотность определяют скорость звука ( волн давления ) по формуле Ньютона-Лапласа ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

В твердых телах и имеют очень схожие значения. Твердые тела также могут выдерживать поперечные волны : для этих материалов для определения скорости волн необходим еще один дополнительный модуль упругости , например модуль сдвига. ${\displaystyle K_{S}}$ ${\displaystyle K_{T}}$

Измерение

Модуль объемного сжатия можно измерить с помощью порошковой дифракции под приложенным давлением. Это свойство жидкости, которое показывает ее способность изменять свой объем под давлением.

Выбранные значения

Влияние добавок отдельных компонентов стекла на модуль объемного сжатия конкретного базового стекла. ^[6]

Материал с модулем объемного сжатия 35 ГПа теряет один процент своего объема под действием внешнего давления 0,35 ГПа (~3500 бар ) (предполагается постоянный или слабо зависящий от давления модуль объемного сжатия).

Микроскопическое происхождение

Межатомный потенциал и линейная упругость

Межатомный потенциал и сила

Поскольку линейная упругость является прямым результатом межатомного взаимодействия, она связана с растяжением/сжатием связей. Затем его можно вывести из межатомного потенциала кристаллических материалов. ^[9] Во-первых, давайте рассмотрим потенциальную энергию двух взаимодействующих атомов. Начиная с очень дальних точек, они почувствуют влечение друг к другу. По мере их сближения их потенциальная энергия будет уменьшаться. С другой стороны, когда два атома находятся очень близко друг к другу, их общая энергия будет очень высокой из-за отталкивающего взаимодействия. Вместе эти потенциалы гарантируют межатомное расстояние, обеспечивающее минимальное энергетическое состояние. Это происходит на некотором расстоянии a ₀ , где полная сила равна нулю:

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

Где U — межатомный потенциал, а r — межатомное расстояние. Это означает, что атомы находятся в равновесии.

Чтобы расширить подход двух атомов на твердое тело, рассмотрим простую модель, скажем, одномерный массив из одного элемента с межатомным расстоянием a и равновесным расстоянием a ₀ . Его соотношение потенциальной энергии и межатомного расстояния имеет форму, аналогичную случаю двух атомов, которая достигает минимума при 0 _. Разложение Тейлора для этого имеет вид:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}+O\left((a-a_{0})^{3}\right)}$

В состоянии равновесия первая производная равна 0, поэтому доминирующим членом является квадратичный. Если смещение мало, члены более высокого порядка следует опустить. Выражение становится:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})}$

Это явно линейная эластичность.

Обратите внимание, что вывод выполняется с учетом двух соседних атомов, поэтому коэффициент Хука равен:

${\displaystyle K=a_{0}{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}}$

Эту форму можно легко расширить до трехмерного случая, где вместо межатомного расстояния используется объем на атом (Ом).

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Связь с атомным радиусом

Как было установлено выше, модуль объемного сжатия напрямую связан с межатомным потенциалом и объемом, приходящимся на атом. Мы можем дополнительно оценить межатомный потенциал, чтобы связать K с другими свойствами. Обычно межатомный парный потенциал можно выразить как функцию расстояния, имеющую два члена: один для притяжения, а другой для отталкивания. Например,

${\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}$

где термин, включающий A, представляет собой термин притяжения, а термин B представляет собой отталкивание. Оба A и B выбраны положительными, а n и m обычно являются целыми числами, причем m обычно больше n из-за короткодействующего характера отталкивания. В положении равновесия u находится на минимуме, поэтому первая производная равна 0. Мы имеем

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{m-n}}$

${\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{n-m}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m}r_{0}^{m-n}r^{n-m}\right)}$

когда r близко к, вспомните, что n (обычно от 1 до 6) меньше, чем m (обычно от 9 до 12), игнорируйте второй член, вычислите вторую производную

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{-n-2}}$

Напомним связь между r и Ω

${\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}}$

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\Omega ^{-{\frac {4}{3}}}}$

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_{0}^{-n-3}}$

Во многих случаях, например, в металле или ионном материале, сила притяжения является электростатической, поэтому n = 1, мы имеем

${\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}$

Это относится к атомам со схожей природой связи. Эта связь подтверждается на примере щелочных металлов и многих ионных соединений. ^[10]

Смотрите также

• Тензор упругости
• Объемная деформация

Рекомендации

1. «Объемные упругие свойства». гиперфизика . Государственный университет Джорджии.
2. Страница 52 книги Чарльза Киттеля « Введение в физику твердого тела , 8-е издание», 2005 г., ISBN 0-471-41526-X 
3. Галлас, Марсия Р.; Пьермарини, Гаспер Дж. (1994). «Модуль объемной деформации и модуль Юнга нанокристаллического γ-оксида алюминия». Журнал Американского керамического общества . 77 (11): 2917–2920. doi :10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x. ISSN  1551-2916.
4. "Страница свойств графита Джона А. Ящака" . Pages.mtu.edu . Проверено 16 июля 2021 г.
5. «Силиконовая резина». Материалы АЗО .
6. Флюгель, Александр. «Расчет объемного модуля стекол». glassproperties.com .
7. Лю, AY; Коэн, ML (1989). «Прогнозирование новых твердых тел с низкой сжимаемостью». Наука. 245 (4920): 841–842.
8. Бо, MR (2018). «О природе пространства-времени, космологической инфляции и расширении Вселенной». Препринт. DOI:10.13140/RG.2.2.16796.95364
9. Х., Кортни, Томас (2013). Механическое поведение материалов (2-е изд. Ред. Реймпа). Нью-Дели: McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1259027512. ОКЛК  929663641.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
10. Гилман, Джей-Джей (1969). Микромеханика течения твердых тел . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 29.

дальнейшее чтение

• Де Йонг, Мартен; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений». Научные данные . 2 : 150009. Бибкод : 2013NatSD...2E0009D. дои : 10.1038/sdata.2015.9. ПМЦ  4432655 . ПМИД  25984348.