Стабильная категория модулей

В теории представлений категория стабильного модуля — это категория , в которой проективные объекты «вынесены за скобки».

Определение

Пусть R — кольцо . Для двух модулей M и N над R определим как множество R -линейных отображений из M в N по модулю отношения, что f  ~  g , если f  −  g пропускается через проективный модуль . Стабильная категория модулей определяется путем установки объектов как R -модулей, а морфизмов — как классов эквивалентности . ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)}$

Дан модуль M , пусть P будет проективным модулем с сюръекцией . Затем установим его в качестве ядра p . Предположим, что нам дан морфизм и сюръекция , где Q проективен. Тогда можно поднять f до отображения , которое отображается в . Это дает хорошо определенный функтор из категории стабильных модулей в себя. ${\displaystyle p\colon P\to M}$ ${\displaystyle \Omega (M)}$ ${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle q\colon Q\to N}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Omega (M)}$ ${\displaystyle \Omega (N)}$ ${\displaystyle \Omega }$

Для некоторых колец, таких как алгебры Фробениуса , является эквивалентностью категорий . В этом случае обратное можно определить следующим образом. Для данного M найдите инъективный модуль I с включением . Тогда определяется как коядро i . Особый интерес представляет случай, когда кольцо R является групповой алгеброй . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$ ${\displaystyle i\colon M\to I}$ ${\displaystyle \Omega ^{-1}(M)}$

Функтор Ω ⁻¹ может быть определен даже на категории модулей общего кольца (без выделения проективных множителей) как коядро инъективной оболочки . В этом случае не обязательно, что функтор Ω ⁻¹ на самом деле является обратным к Ω. Одним из важных свойств категории стабильных модулей является то, что он позволяет определить функтор Ω для общих колец. Когда R является совершенным (или M конечно порождено , а R является полусовершенным ), то Ω( M ) может быть определен как ядро ​​проективного покрытия , задавая функтор на категории модулей. Однако в общем случае проективные покрытия не обязаны существовать, и поэтому необходим переход к категории стабильных модулей.

Связи с когомологиями

Теперь предположим, что R = kG — групповая алгебра для некоторого поля k и некоторой группы G. Можно показать, что существуют изоморфизмы

${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(\Omega ^{n}(M),N)\cong \mathrm {Ext} _{kG}^{n}(M,N)\cong {\underline {\mathrm {Hom} }}(M,\Omega ^{-n}(N))}$

для каждого положительного целого числа n . Групповые когомологии представления M задаются формулой , где k имеет тривиальное G -действие, так что таким образом категория стабильных модулей дает естественную обстановку, в которой живут групповые когомологии. ${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(G;M)=\mathrm {Ext} _{kG}^{n}(k,M)}$

Более того, указанный выше изоморфизм предполагает определение групп когомологий для отрицательных значений n , и таким образом можно восстановить когомологии Тейта .

Треугольная структура

Точная последовательность

${\displaystyle 0\to X\to E\to Y\to 0}$

в обычной категории модуля определяется элемент , и, следовательно, элемент , так что мы получаем последовательность ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{kG}^{1}(Y,X)}$ ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(Y,\Omega ^{-1}(X))}$

${\displaystyle X\to E\to Y\to \Omega ^{-1}(X).}$

Если взять в качестве функтора трансляции, а такие последовательности, как выше, в качестве точных треугольников, то стабильная модульная категория становится триангулированной категорией . ${\displaystyle \Omega ^{-1}}$

Смотрите также

• Стабильная гомотопическая теория

Ссылки

• Дж. Ф. Карлсон, Лиза Таунсли, Луис Валеро-Элизондо, Мученг Чжан, Кольца когомологий конечных групп , Springer-Verlag, 2003.