Теорема модульности

Связывает рациональные эллиптические кривые с модульными формами.

Теорема о модулярности (ранее называемая гипотезой Таниямы-Шимуры , гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля или гипотезой модулярности для эллиптических кривых ) утверждает, что эллиптические кривые над полем рациональных чисел связаны с модулярными формами . Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор доказали теорему модульности для полустабильных эллиптических кривых , чего было достаточно, чтобы вывести Великую теорему Ферма . Позже серия статей бывших учеников Уайлса Брайана Конрада , Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора , кульминацией которых стала совместная статья с Кристофом Брейлем , расширила методы Уайлса для доказательства полной теоремы модульности в 2001 году.

Заявление

Теорема утверждает, что любая эллиптическая кривая может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами из классической модулярной кривой для некоторого целого числа ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модульной параметризацией уровня . Если - наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которое, согласно самой теореме модулярности, теперь известно как число, называемое проводником ) , то параметризация может быть определена в терминах отображения, порожденного определенным видом модулярных чисел. форма веса два и level , нормализованная новая форма с целочисленным расширением, за которой, если необходимо, следует изогения . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X_{0}(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$

Связанные заявления

Теорема о модулярности подразумевает тесно связанное аналитическое утверждение:

Каждой эллиптической кривой E над которой можно присоединить соответствующий L-ряд . Серия - это серия Дирихле , обычно записываемая ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L(E,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

Тогда производящая функция коэффициентов равна ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle f(E,q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Если мы сделаем замену

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

мы видим, что мы написали разложение Фурье функции комплексной переменной , поэтому коэффициенты -ряда также считаются коэффициентами Фурье . Полученная таким образом функция, что примечательно, является формой возврата веса два и уровня , а также является собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе–Вейля , вытекающая из теоремы модулярности. ${\displaystyle f(E,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой можно (с точностью до изогении) записать как произведение неприводимых абелевых многообразий , что соответствует собственным формам Гекке веса 2. Одномерные факторы представляют собой эллиптические кривые (могут также существовать факторы более высокой размерности, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения по ней кривой, изогенна исходной кривой (но, вообще говоря, не изоморфна ей).

История

Ютака Танияма ^[1] высказал предварительную (немного неверную) версию гипотезы на международном симпозиуме 1955 года по алгебраической теории чисел в Токио и Никко . Горо Шимура и Танияма работали над улучшением ее строгости до 1957 года. Андре Вейль ^[2] заново открыл гипотезу и показал в 1967 году, что она следует из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторых скрученных -рядов эллиптической кривой; это было первое серьезное свидетельство того, что эта гипотеза может быть верной. Вейль также показал, что проводником эллиптической кривой должен быть уровень соответствующей модульной формы. Гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля стала частью программы Ленглендса . ^{[3] [4]} ${\displaystyle L}$

Гипотеза вызвала значительный интерес, когда в 1986 году Герхард Фрей ^[5] предположил, что из нее следует Великая теорема Ферма . Он сделал это, пытаясь показать, что любой контрпример к Великой теореме Ферма будет подразумевать существование хотя бы одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершен в 1987 году, когда Жан-Пьер Серр ^[6] обнаружил недостающее звено (теперь известное как гипотеза об эпсилоне или теорема Рибе) в оригинальной работе Фрея, а два года спустя Кен Рибет ^[7] завершил доказательство. гипотезы эпсилона.

Даже после того, как гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля привлекла серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно трудной для доказательства или, возможно, даже недоступной для доказательства. ^[8] Например, доктор философии Уайлса. Руководитель Джон Коутс заявляет, что это казалось «фактически невозможно доказать», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали, что [это] совершенно недоступно».

В 1995 году Эндрю Уайлс с некоторой помощью Ричарда Тейлора доказал гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля для всех полустабильных эллиптических кривых , которую он использовал для доказательства Великой теоремы Ферма ^[9] , и была наконец доказана полная гипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля. автор: Даймонд, ^[10] Конрад, Даймонд и Тейлор; и Брей, Конрад, Даймонд и Тейлор; Основываясь на работе Уайлса, они постепенно сокращали оставшиеся случаи, пока полный результат не был доказан в 1999 году. ^{[11] [12]}

После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема модульности.

Несколько теорем теории чисел, подобных Великой теореме Ферма, следуют из теоремы о модулярности. Например: ни один куб не может быть записан как сумма двух взаимно простых -ых степеней . (Этот случай был уже известен Эйлеру .) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=3}$

Обобщения

Теорема о модулярности является частным случаем более общих гипотез Роберта Ленглендса . Программа Ленглендса стремится присоединить автоморфную форму или автоморфное представление (подходящее обобщение модульной формы) к более общим объектам арифметической алгебраической геометрии, например, к каждой эллиптической кривой над числовым полем . Большинство случаев этих расширенных гипотез еще не доказаны. Однако Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек ^[13] доказали, что эллиптические кривые, определенные над вещественными квадратичными полями, являются модулярными.

Пример

Например, ^{[14] [15] [16]} эллиптическая кривая , с дискриминантом (и проводником) 37, связана с формой ${\displaystyle y^{2}-y=x^{3}-x}$

${\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=e^{2\pi iz}}$

Для простых чисел ℓ, не равных 37, можно проверить свойство коэффициентов. Таким образом, при ℓ  = 3 существует 6 решений уравнения по модулю 3: (0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) ; таким образом а (3) = 3 - 6 = -3 .

Гипотеза, возникшая еще в 1950-х годах, была полностью доказана к 1999 году с использованием идей Эндрю Уайлса , который доказал ее в 1994 году для большого семейства эллиптических кривых. ^[17]

Существует несколько формулировок гипотезы. Доказательство их эквивалентности было главной задачей теории чисел во второй половине 20 века. Модульность эллиптической кривой E проводника N можно также выразить , сказав _, что существует непостоянное рациональное отображение , определенное над Q , от модулярной кривой X0 ( N ) до E. В частности, точки E можно параметризовать модулярными функциями .

Например, модульная параметризация кривой имеет вид ^[18] ${\displaystyle y^{2}-y=x^{3}-x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\cdots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

где, как и выше, q = exp(2π iz ). Функции x ( z ) и y ( z ) являются модулярными с весом 0 и уровнем 37; другими словами, они мероморфны , определены в верхней полуплоскости Im( z ) > 0 и удовлетворяют

${\displaystyle x\!\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}$

и то же самое для y ( z ), для всех целых чисел a, b, c, d с ad − bc = 1 и 37| в .

Другая формулировка зависит от сравнения представлений Галуа, связанных, с одной стороны, с эллиптическими кривыми, а с другой стороны, с модулярными формами. Последняя формулировка была использована при доказательстве гипотезы. Работа с уровнем форм (и соединением с проводником кривой) особенно деликатна.

Наиболее эффектным применением этой гипотезы является доказательство Великой теоремы Ферма (FLT). Предположим, что для простого числа p ≥ 5 уравнение Ферма

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}$

имеет решение с ненулевыми целыми числами, следовательно, это контрпример к FLT. Затем, как первым заметил Ив Хеллегуар  [фр] , ^[19] эллиптическая кривая

${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}$

дискриминанта

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}$

не может быть модульным. ^[7] Таким образом, доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля для этого семейства эллиптических кривых (называемых кривыми Хеллегуара–Фрея) влечет за собой FLT. Доказательство связи между этими двумя утверждениями, основанное на идее Герхарда Фрея (1985), сложно и технически сложно. Он был основан Кеннетом Рибетом в 1987 году. ^[20]

Смотрите также

• Гипотеза модульности Серра

Примечания

1. Танияма 1956.
2. Вейль 1967.
3. Харрис, Майкл (2020). «Достоинства приоритета». arXiv : 2003.08242 [math.HO].
4. Ланг, Серж (ноябрь 1995 г.). «Немного истории гипотезы Шимуры-Таниямы» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 42 (11): 1301–1307 . Проверено 8 ноября 2022 г.
5. Фрей 1986.
6. Серр 1987.
7. Рибет 1990.
8. Сингх 1997, стр. 203–205, 223, 226.
9. Уайлс 1995a; Уайлс 1995б.
10. Даймонд 1996.
11. Конрад, Даймонд и Тейлор 1999.
12. Брей и др. 2001.
13. Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек 2015.
14. Расчеты см., например, Zagier 1985, стр. 225–248.
15. LMFDB: http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/37/a/1
16. OEIS: https://oeis.org/A007653
17. Синтетическое изложение (на французском языке) основных идей можно найти в статье Жан-Пьера Серра о Бурбаки . Более подробную информацию см. в Hellegouarch 2001.
18. Загер, Д. (1985). «Модульные точки, модульные кривые, модульные поверхности и модульные формы». Арбайтстагунг Бонн, 1984 год . Конспект лекций по математике. Том. 1111. Спрингер. стр. 225–248. дои : 10.1007/BFb0084592. ISBN 978-3-540-39298-9.
19. Хеллегуарх, Ив (1974). «Points d'Ordre 2ph sur les Courbes elliptiques» (PDF) . Акта Арифметика . 26 (3): 253–263. дои : 10.4064/aa-26-3-253-263 . ISSN  0065-1036. МР  0379507.
20. См. обзор Рибета К. (1990b). «От гипотезы Таниямы – Шимуры к Великой теореме Ферма». Анналы факультета наук Тулузы . 11 : 116–139. дои : 10.5802/afst.698 .

Рекомендации

• Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001), «О модулярности эллиптических кривых над Q : дикие 3-адические упражнения», Журнал Американского математического общества , 14 (4): 843–939, doi : 10.1090/S0894-0347-01- 00370-8 , ISSN  0894-0347, МР  1839918
• Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999), «Модульность некоторых потенциально представлений Барсотти – Тейта Галуа», Журнал Американского математического общества , 12 (2): 521–567, doi : 10.1090/S0894-0347-99-00287-8 , ISSN  0894-0347, МР  1639612
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х .; Стивенс, Гленн, ред. (1997), Модульные формы и последняя теорема Ферма, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94609-2, МР  1638473
• Дармон, Анри (1999), «Объявлено полное доказательство гипотезы Шимуры-Таниямы-Вейля» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 46 (11): 1397–1401, ISSN  0002-9920, MR  1723249Содержит краткое введение в теорему и схему доказательства.
• Даймонд, Фред (1996), «О кольцах деформации и кольцах Гекке», Annals of Mathematics , Second Series, 144 (1): 137–166, doi : 10.2307/2118586, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118586, MR  1405946
• Фрейтас, Нуно; Ле Хунг, Бао В.; Сиксек, Самир (2015), «Эллиптические кривые над действительными квадратичными полями являются модулярными», Inventiones Mathematicae , 201 (1): 159–206, arXiv : 1310.7088 , Bibcode : 2015InMat.201..159F, doi : 10.1007/s00222-014 -0550-z, ISSN  0020-9910, MR  3359051, S2CID  119132800
• Фрей, Герхард (1986), «Связь между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями», Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN  0933-8268, MR  0853387
• Мазур, Барри (1991), «Теория чисел как овод», The American Mathematical Monthly , 98 (7): 593–610, doi : 10.2307/2324924, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324924, MR  1121312Обсуждает гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля за 3 года до того, как она была доказана для бесконечного числа случаев.
• Рибет, Кеннет А. (1990), «О модулярных представлениях Gal( Q /Q), возникающих из модульных форм», Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476, Бибкод : 1990InMat.100..431R, doi : 10.1007 /BF01231195, hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN  0020-9910, MR  1047143, S2CID  120614740
• Серр, Жан-Пьер (1987), «Sur les representation modulaires de degree 2 de Gal ( Q /Q)», Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413 -5, ISSN  0012-7094, МР  0885783
• Шимура, Горо (1989), «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания», Бюллетень Лондонского математического общества , 21 (2): 186–196, doi : 10.1112/blms/21.2.186 , ISSN  0024-6093 , МР  0976064
• Сингх, Саймон (1997), Великая теорема Ферма , Четвертая власть, ISBN 978-1-85702-521-7
• Танияма, Ютака (1956), «Задача 12», Сугаку (на японском языке), 7 : 269Английский перевод (Шимура, 1989, стр. 194).
• Тейлор, Ричард; Уайлс, Эндрю (1995), «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке», Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 553–572, CiteSeerX  10.1.1.128.531 , doi : 10.2307/2118560, ISSN  0003- 486X, JSTOR  2118560, MR  1333036
• Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen , 168 : 149–156, doi :10.1007/BF01361551, ISSN  0025-5831, MR  0207658, S2CID  120553723
• Уайлс, Эндрю (1995a), «Модулярные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307/2118559, ISSN  0003-486X , АВТОР  2118559, МР  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995b), «Модульные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма», Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR  1403925.

Внешние ссылки

• Дармон, Х. (2001) [1994], «Гипотеза Шимуры-Таниямы», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Таниямы – Шимуры». Математический мир .