Модуль Верма

Объекты в теории представления

Модули Верма , названные в честь Дайя-Нанда Верма , являются объектами в теории представлений алгебр Ли , разделе математики .

Модули Верма могут быть использованы в классификации неприводимых представлений комплексной полупростой алгебры Ли. В частности, хотя сами модули Верма являются бесконечномерными, их факторы могут быть использованы для построения конечномерных представлений с наивысшим весом , где является доминирующим и целым. ^[1] Их гомоморфизмы соответствуют инвариантным дифференциальным операторам над флаговыми многообразиями . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Неформальное строительство

Вес модуля Verma для самого большого веса ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Мы можем объяснить идею модуля Верма следующим образом. ^[2] Пусть будет полупростой алгеброй Ли (над , для простоты). Пусть будет фиксированной подалгеброй Картана , а пусть будет ассоциированной корневой системой. Пусть будет фиксированным множеством положительных корней. Для каждого выберите ненулевой элемент для соответствующего корневого пространства и ненулевой элемент в корневом пространстве . Мы думаем о ' как о "повышающих операторах", а о ' как о "понижающих операторах". ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Теперь пусть будет произвольным линейным функционалом, не обязательно доминирующим или целым. Наша цель — построить представление с наибольшим весом , которое генерируется одним ненулевым вектором с весом . Модуль Верма — один из таких модулей с наибольшим весом, максимальный в том смысле, что любой другой модуль с наибольшим весом и наибольшим весом является фактором модуля Верма. Окажется, что модули Верма всегда бесконечномерны; если же — доминирующий целочисленный, то можно построить конечномерный фактор-модуль модуля Верма. Таким образом, модули Верма играют важную роль в классификации конечномерных представлений . В частности, они являются важным инструментом в сложной части теоремы о наибольшем весе , а именно, показывая, что каждый доминирующий целочисленный элемент на самом деле возникает как наибольший вес конечномерного неприводимого представления . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теперь мы попытаемся интуитивно понять, как должен выглядеть модуль Вермы с наибольшим весом. Поскольку is должен быть вектором с наибольшим весом с весом , мы, конечно, хотим ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$

и

${\displaystyle X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Тогда следует охватывать элементы, полученные путем понижения под действием 's: ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}\cdot v}$.

Теперь мы накладываем только те соотношения между векторами вышеуказанной формы, которые требуются коммутационными соотношениями между '. В частности, модуль Верма всегда бесконечномерен. Веса модуля Верма с наибольшим весом будут состоять из всех элементов , которые могут быть получены из вычитанием целочисленных комбинаций положительных корней. На рисунке показаны веса модуля Верма для . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

Простой аргумент переупорядочения показывает, что существует только один возможный способ, которым полная алгебра Ли может действовать на этом пространстве. В частности, если является любым элементом из , то по легкой части теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта мы можем переписать ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle ZY_{\alpha _{i_{1}}}\cdots Y_{\alpha _{i_{M}}}}$

как линейная комбинация произведений элементов алгебры Ли с действующими сначала повышающими операторами, элементами подалгебры Картана и, наконец, понижающими операторами . Применяя эту сумму членов к , любой член с повышающим оператором равен нулю, любые множители в Картане действуют как скаляры, и, таким образом, мы получаем элемент исходной формы. ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$ ${\displaystyle v}$

Чтобы немного лучше понять структуру модуля Верма, мы можем выбрать порядок положительных корней как и обозначим соответствующие понижающие операторы как . Затем с помощью простого аргумента переупорядочивания каждый элемент приведенной выше формы может быть переписан как линейная комбинация элементов с ' в определенном порядке: ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots \alpha _{n}}$ ${\displaystyle Y_{1},\ldots Y_{n}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{1}^{k_{1}}\cdots Y_{n}^{k_{n}}v}$,

где 's — неотрицательные целые числа. На самом деле оказывается, что такие векторы образуют основу для модуля Верма. ${\displaystyle k_{j}}$

Хотя это описание модуля Верма дает интуитивное представление о том, как выглядит , все еще остается дать его строгую конструкцию. В любом случае, модуль Верма дает — для любого , не обязательно доминирующего или интегрального — представление с наибольшим весом . Цена, которую мы платим за эту относительно простую конструкцию, заключается в том, что всегда бесконечномерен. В случае, когда является доминирующим и интегральным, можно построить конечномерный неприводимый фактор модуля Верма. ^[3] ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Случай sl(2; C)

Пусть будет обычной основой для : ${\displaystyle {X,Y,H}}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$

с подалгеброй Картана, являющейся оболочкой . Пусть определяется как для произвольного комплексного числа . Тогда модуль Верма с наибольшим весом охватывается линейно независимыми векторами , а действие базисных элементов следующее: ^[4] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (H)=m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\dots }$

${\displaystyle Y\cdot v_{j}=v_{j+1};\quad X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1};\quad H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

(Это означает, в частности, что и что .) Эти формулы мотивированы тем, как базисные элементы действуют в конечномерных представлениях , за исключением того, что мы больше не требуем, чтобы «цепочка» собственных векторов для должна была заканчиваться. ${\displaystyle H\cdot v_{0}=mv_{0}}$ ${\displaystyle X\cdot v_{0}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle H}$

В этой конструкции — произвольное комплексное число, не обязательно действительное, положительное или целое число. Тем не менее, случай, когда — неотрицательное целое число, является особым. В этом случае легко видеть, что диапазон векторов инвариантен, поскольку . Тогда частный модуль — это конечномерное неприводимое представление размерности ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$ ${\displaystyle \mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m+1.}$

Определение модулей Verma

Существуют две стандартные конструкции модуля Верма, обе из которых включают концепцию универсальной обертывающей алгебры . Мы продолжаем обозначения предыдущего раздела: — комплексная полупростая алгебра Ли, — фиксированная подалгебра Картана, — ассоциированная корневая система с фиксированным набором положительных корней. Для каждого мы выбираем ненулевые элементы и . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$

Как фактор обертывающей алгебры

Первая конструкция ^[5] модуля Верма является фактором универсальной обертывающей алгебры . Поскольку предполагается, что модуль Верма является -модулем , он также будет -модулем по универсальному свойству обертывающей алгебры. Таким образом, если у нас есть модуль Верма с наивысшим вектором веса , то будет линейное отображение из в , заданное формулой ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v,\quad x\in U({\mathfrak {g}})}$.

Так как предполагается, что генерируется , отображение должно быть сюръективным. Так как предполагается, что является вектором с наибольшим весом, ядро ​​должно включать все корневые векторы для в . Так как также предполагается, что является вектором веса с весом , ядро ​​должно включать все векторы вида ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle R^{+}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Наконец, ядро ​​должно быть левым идеалом в ; в конце концов, если то для всех . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\cdot v=0}$ ${\displaystyle (yx)\cdot v=y\cdot (x\cdot v)=0}$ ${\displaystyle y\in U({\mathfrak {g}})}$

Предыдущее обсуждение мотивирует следующую конструкцию модуля Верма. Мы определяем как фактор-векторное пространство ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$,

где левый идеал, порожденный всеми элементами вида ${\displaystyle I_{\lambda }}$

${\displaystyle X_{\alpha },\quad \alpha \in R^{+},}$

и

${\displaystyle H-\lambda (H)1,\quad H\in {\mathfrak {h}}}$.

Поскольку является левым идеалом, естественное левое действие на себя переносится на фактор. Таким образом, является -модулем и, следовательно, также -модулем. ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

По расширению скаляров

Процедура " расширения скаляров " - это метод изменения левого модуля над одной алгеброй (не обязательно коммутативной) в левый модуль над большей алгеброй , содержащей в качестве подалгебры. Мы можем рассматривать как правый -модуль, где действует на умножением справа. Поскольку является левым -модулем, а является правым -модулем, мы можем образовать тензорное произведение двух над алгеброй : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$.

Теперь, поскольку является левым -модулем над собой, указанное выше тензорное произведение несет структуру левого модуля над большей алгеброй , однозначно определяемую требованием, что ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle a_{1}\cdot (a_{2}\otimes v)=(a_{1}a_{2})\otimes v}$

для всех и в . Таким образом, исходя из левого -модуля , мы получили левый -модуль . ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}\otimes _{A_{1}}V}$

Теперь применим эту конструкцию в условиях полупростой алгебры Ли. Пусть будет подалгеброй , натянутой на , и корневыми векторами с . (Таким образом, является «борелевской подалгеброй» .) Мы можем образовать левый модуль над универсальной обертывающей алгеброй следующим образом: ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

• ${\displaystyle F_{\lambda }}$представляет собой одномерное векторное пространство, охватывающее один вектор вместе со структурой -модуля , которая действует как умножение на , а положительные корневые пространства действуют тривиально: ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \quad H\cdot v=\lambda (H)v,\quad H\in {\mathfrak {h}};\quad X_{\alpha }\cdot v=0,\quad \alpha \in R^{+}}$.

Мотивация этой формулы заключается в том, что она описывает, как следует воздействовать на вектор с наибольшим весом в модуле Верма. ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$

Теперь, из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта следует , что является подалгеброй . Таким образом, мы можем применить технику расширения скаляров для преобразования из левого -модуля в левый -модуль следующим образом: ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})\otimes _{U({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }}$.

Так как является левым -модулем, то он, в частности, является модулем (представлением) для . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Структура модуля Verma

Какая бы конструкция модуля Верма ни использовалась, нужно доказать, что она нетривиальна, т.е. не является нулевым модулем. На самом деле, можно использовать теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта, чтобы показать, что лежащее в основе векторное пространство изоморфно ${\displaystyle W_{\lambda }}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

где — подалгебра Ли, порожденная отрицательными корневыми пространствами (то есть 's). ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Основные свойства

Модули Верма, рассматриваемые как - модули , являются модулями с наибольшим весом , т.е. они генерируются вектором с наибольшим весом . Этот вектор с наибольшим весом есть (первый - это единица в , а второй - это единица в поле , рассматриваемом как - модуль ) и он имеет вес . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle 1\otimes 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle F_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Кратности

Модули Верма являются весовыми модулями , т.е. являются прямой суммой всех своих весовых пространств . Каждое весовое пространство в конечномерно, а размерность -весового пространства равна числу способов выражения в виде суммы положительных корней (это тесно связано с так называемой статистической суммой Костанта ). Это утверждение следует из более раннего утверждения о том, что модуль Верма изоморфен как векторное пространство , а также из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта для . ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda -\mu }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{-})}$

Универсальная собственность

Модули Верма обладают очень важным свойством: если любое представление порождёно вектором с наибольшим весом веса , то существует сюръективный - гомоморфизм То есть все представления с наибольшим весом , которые порождёны вектором с наибольшим весом (так называемые модули с наибольшим весом ) , являются частными ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }\to V.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }.}$

Неприводимый частный модуль

${\displaystyle W_{\lambda }}$содержит единственный максимальный подмодуль , а его фактор является единственным (с точностью до изоморфизма ) неприводимым представлением с наибольшим весом ^[7]. Если наибольший вес является доминирующим и целым, то доказывается, что этот неприводимый фактор на самом деле конечномерен. ^[8] ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda }$

В качестве примера рассмотрим случай, обсуждавшийся выше. Если наибольший вес — «доминантный интеграл» — что означает просто, что это неотрицательное целое число — то и диапазон элементов инвариантен. Тогда факторное представление неприводимо с размерностью . Факторное представление охватывается линейно независимыми векторами . Действие такое же, как в модуле Верма, за исключением того, что в факторном, по сравнению с модулем Верма. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Xv_{m+1}=0}$ ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Yv_{m}=0}$ ${\displaystyle Yv_{m}=v_{m+1}}$

Сам модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда является антидоминантным. ^[9] Следовательно, когда является целым, неприводим тогда и только тогда, когда ни одна из координат в базисе фундаментальных весов не принадлежит множеству , тогда как в общем случае это условие необходимо, но недостаточно для того, чтобы быть неприводимым. ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

Другие свойства

Модуль Верма называется регулярным , если его максимальный вес λ находится на аффинной орбите Вейля доминантного веса . Другими словами, существует элемент w группы Вейля W такой, что ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}}$

где — аффинное действие группы Вейля . ${\displaystyle \cdot }$

Модуль Верма называется сингулярным , если на аффинной орбите λ нет доминирующего веса. В этом случае существует вес такой, что находится на стенке фундаментальной камеры Вейля (δ — сумма всех фундаментальных весов ). ${\displaystyle W_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta }$

Гомоморфизмы модулей Верма

Для любых двух весов нетривиальный гомоморфизм ${\displaystyle \lambda ,\mu }$

${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

могут существовать только если и связаны с аффинным действием группы Вейля алгебры Ли . Это легко следует из теоремы Хариша-Чандры о бесконечно малых центральных характерах . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Каждый гомоморфизм модулей Верма инъективен и размерность

${\displaystyle \dim(\operatorname {Hom} (W_{\mu },W_{\lambda }))\leq 1}$

для любого . Таким образом, существует ненулевой тогда и только тогда, когда изоморфен ( единственному) подмодулю . ${\displaystyle \mu ,\lambda }$ ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$ ${\displaystyle W_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\lambda }}$

Полная классификация гомоморфизмов модулей Верма была проведена Бернштейном–Гельфандом–Гельфандом ^[10] и Верма ^[11] и может быть суммирована в следующем утверждении:

Существует ненулевой гомоморфизм тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle W_{\mu }\rightarrow W_{\lambda }}$

последовательность весов

${\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda }$

такой, что для некоторых положительных корней (и — соответствующее отражение корня , а — сумма всех фундаментальных весов ) и для каждого — натуральное число ( — сокорень , связанный с корнем ). ${\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle s_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k,(\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})}$ ${\displaystyle H_{\gamma _{i}}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}}$

Если модули Верма и регулярны, то существует единственный доминирующий вес и уникальные элементы w , w ′ группы Вейля W такие, что ${\displaystyle M_{\mu }}$ ${\displaystyle M_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}}$

${\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}}$

и

${\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},}$

где — аффинное действие группы Вейля. Если веса далее целые , то существует ненулевой гомоморфизм ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в упорядочении Брюа группы Вейля.

Ряд Жордана–Гёльдера

Позволять

${\displaystyle 0\subset A\subset B\subset W_{\lambda }}$

будет последовательностью -модулей, такой что фактор B/A неприводим с наибольшим весом μ. Тогда существует ненулевой гомоморфизм . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Простым следствием этого является то, что для любых модулей с наибольшим весом, таких, что ${\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }}$

существует ненулевой гомоморфизм . ${\displaystyle W_{\mu }\to W_{\lambda }}$

Разрешение Бернштейна–Гельфанда–Гельфанда

Пусть — конечномерное неприводимое представление алгебры Ли со старшим весом λ. Из раздела о гомоморфизмах модулей Верма мы знаем, что существует гомоморфизм ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle W_{w'\cdot \lambda }\to W_{w\cdot \lambda }}$

если и только если

${\displaystyle w\leq w'}$

в порядке Брюа группы Вейля . Следующая теорема описывает проективное разрешение в терминах модулей Верма (она была доказана Бернштейном – Гельфандом – Гельфандом в 1975 году ^[12] ): ${\displaystyle V_{\lambda }}$

Существует точная последовательность -гомоморфизмов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=n}W_{w\cdot \lambda }\to \cdots \to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=2}W_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,\ell (w)=1}W_{w\cdot \lambda }\to W_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0}$

где n — длина наибольшего элемента группы Вейля.

Аналогичное разрешение существует и для обобщенных модулей Верма . Оно обозначается кратко как разрешение BGG .

Смотрите также

• Классификация конечномерных представлений алгебр Ли
• Теорема о наибольшем весе
• Обобщенный модуль Верма
• модуль Вейля

Примечания

1. Например, Холл 2015 Глава 9
2. Холл 2015 Раздел 9.2
3. Зал 2015 Разделы 9.6 и 9.7
4. Зал 2015 Разделы 9.2
5. Холл 2015 Раздел 9.5
6. Холл 2015 Теорема 9.14
7. Холл 2015 Раздел 9.6
8. Холл 2015 Раздел 9.7
9. Хамфрис, Джеймс (2008-07-22). Представления полупростых алгебр Ли в категории BGG 𝒪. Аспирантура по математике. Том 94. Американское математическое общество. doi :10.1090/gsm/094. ISBN 978-0-8218-4678-0.
10. Бернштейн ИН, Гельфанд ИМ, Гельфанд СИ, Структура представлений, которые генерируются векторами старшего веса, Функциональный анализ. Приложение 5 (1971)
11. Верма Н., Структура некоторых индуцированных представлений комплексных полупростых алгебр Ли, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968)
12. Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И., Дифференциальные операторы на базовом аффинном пространстве и исследование g-модулей, групп Ли и их представлений , И.М. Гельфанд, ред., Адам Хильгер, Лондон, 1975.

Ссылки

• Bäuerle, GGA; de Kerf, EA; ten Kroode, APE (1997). A. van Groesen; EM de Jager (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том 7. Северная Голландия. Глава 20. ISBN 978-0-444-82836-1– через ScienceDirect .
• Картер, Р. (2005), Алгебры Ли конечного и аффинного типа , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-85138-1.
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-11077-0.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Дж. (1980), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
• Кнапп, AW (2002), Группы Ли. Вне введения (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 285, ISBN 978-0-8176-3926-6.
• Роча, Олвани (2001) [1994], "BGG Resolution", Энциклопедия математики , EMS Press
• Роггенкамп, К.; Стефанеску, М. (2002), Алгебра - Теория представлений , Springer, ISBN 978-0-7923-7114-4.

В данной статье использованы материалы из модуля Verma на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .