Модуляционная нестабильность

Явление, при котором отклонения от периодической формы сигнала усиливаются нелинейностью.

В области нелинейной оптики и гидродинамики модуляционная нестабильность или нестабильность боковой полосы — это явление , при котором отклонения от периодической формы сигнала усиливаются нелинейностью, что приводит к генерации боковых спектральных полос и возможному распаду формы сигнала на последовательность импульсов . ^{[1] [2] [3]}

Широко распространено мнение, что это явление было впервые обнаружено и смоделировано для периодических поверхностных гравитационных волн ( волн Стокса ) на глубокой воде Т. Бруком Бенджамином и Джимом Э. Фейром в 1967 году. ^[4] Поэтому оно также известно как неустойчивость Бенджамина -Фейра . Однако пространственная модуляционная неустойчивость мощных лазеров в органических растворителях наблюдалась российскими учёными Н. Ф. Пилиптецким и А. Р. Рустамовым в 1965 году ^[5], а математический вывод модуляционной неустойчивости был опубликован В. И. Беспаловым и В. И. Талановым в 1966 году ^[6]. Модуляционная нестабильность является возможным механизмом генерации волн-убийц . ^{[7] [8]}

Начальная нестабильность и выигрыш

Нестабильность модуляции возникает только при определенных обстоятельствах. Наиболее важным условием является аномальная дисперсия групповой скорости , при которой импульсы с более короткими длинами волн распространяются с более высокой групповой скоростью , чем импульсы с большей длиной волны. ^[3] (Это условие предполагает наличие фокусирующей керровской нелинейности , при которой показатель преломления увеличивается с увеличением оптической интенсивности.) ^[3]

Неустойчивость сильно зависит от частоты возмущения. На определенных частотах возмущение будет иметь незначительный эффект, тогда как на других частотах возмущение будет расти экспоненциально . Общий спектр усиления можно получить аналитически , как показано ниже. Случайные возмущения обычно содержат широкий диапазон частотных составляющих и поэтому вызывают появление боковых полос спектра, которые отражают основной спектр усиления.

Тенденция возмущающего сигнала к росту превращает нестабильность модуляции в форму усиления . Настраивая входной сигнал на пик спектра усиления, можно создать оптический усилитель .

Математический вывод спектра усиления

Спектр усиления можно получить ^[3], начав с модели нестабильности модуляции, основанной на нелинейном уравнении Шредингера ^{[ необходимы пояснения ]}

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=i\gamma |A|^{2}A,}$

которая описывает эволюцию комплекснозначной медленно меняющейся оболочки со временем и расстоянием распространения . Мнимая единица удовлетворяет. Модель включает дисперсию групповой скорости , описываемую параметром , и нелинейность Керра с величиной. Предполагается периодическая форма волны постоянной мощности . Это дает решение ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1.}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A={\sqrt {P}}e^{i\gamma Pz},}$

где фактор колебательной фазы учитывает разницу между линейным показателем преломления и модифицированным показателем преломления , возникающим в результате эффекта Керра. Начало неустойчивости можно исследовать, возмущая это решение как ${\displaystyle e^{i\gamma Pz}}$

${\displaystyle A=\left({\sqrt {P}}+\varepsilon (t,z)\right)e^{i\gamma Pz},}$

где – член возмущения (который для математического удобства умножен на тот же фазовый коэффициент, что и ). Подстановка этого обратного значения в нелинейное уравнение Шредингера дает уравнение возмущения вида ${\displaystyle \varepsilon (t,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial z}}+i\beta _{2}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon }{\partial t^{2}}}=i\gamma P\left(\varepsilon +\varepsilon ^{*}\right),}$

где возмущение предполагается малым, так что комплексное сопряжение обозначается как Нестабильность теперь может быть обнаружена путем поиска решений уравнения возмущения, которые растут экспоненциально. Это можно сделать с помощью пробной функции общего вида ${\displaystyle |\varepsilon |^{2}\ll P.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{*}.}$

${\displaystyle \varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-i\omega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+i\omega _{m}t},}$

где и – волновое число и (действительная) угловая частота возмущения, и – константы. Нелинейное уравнение Шредингера строится путем исключения несущей волны моделируемого света, поэтому частота возмущенного света формально равна нулю. Поэтому и представляют собой не абсолютные частоты и волновые числа, а разницу между ними и таковыми исходного луча света. Можно показать, что пробная функция действительна при условии и при выполнении условия ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle k_{m}}$ ${\displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$

${\displaystyle k_{m}=\pm {\sqrt {\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}+2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}}.}$

Это дисперсионное соотношение существенно зависит от знака члена в квадратном корне: если оно положительное, волновое число будет действительным , что соответствует простым колебаниям вокруг невозмущенного решения, а если оно отрицательное, волновое число станет мнимым , что соответствует экспоненциальному росту. и, следовательно, нестабильность. Следовательно, нестабильность будет иметь место, когда

${\displaystyle \beta _{2}^{2}\omega _{m}^{2}+2\gamma P\beta _{2}<0,}$  это для  ${\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}}.}$

Это условие описывает требование аномальной дисперсии (отрицательной ). Спектр усиления можно описать, определив параметр усиления так, чтобы мощность возмущающего сигнала росла с расстоянием как. Таким образом, усиление определяется выражением ${\displaystyle \gamma \beta _{2}}$ ${\displaystyle g\equiv 2|\Im \{k_{m}\}|,}$ ${\displaystyle P\,e^{gz}.}$

${\displaystyle g={\begin{cases}2{\sqrt {-\beta _{2}^{2}\omega _{m}^{4}-2\gamma P\beta _{2}\omega _{m}^{2}}},&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}<-2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\\[2ex]0,&{\text{for }}\displaystyle \omega _{m}^{2}\geq -2{\frac {\gamma P}{\beta _{2}}},\end{cases}}}$

где, как отмечалось выше, – разность между частотой возмущения и частотой исходного света. Скорость роста максимальна для ${\displaystyle \omega _{m}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=-\gamma P/\beta _{2}.}$

Нестабильность модуляции в мягких системах

Модуляционная нестабильность оптических полей наблюдалась в фотохимических системах, а именно в фотополимеризующихся средах. ^{[9] [10] [11] [12]} Нестабильность модуляции возникает из-за присущей системам оптической нелинейности из-за вызванных фотореакцией изменений показателя преломления. ^[13] Модуляционная нестабильность пространственно и временно некогерентного света возможна из-за немгновенного отклика фотореактивных систем, которые, следовательно, реагируют на среднюю по времени интенсивность света, при которой фемтосекундные флуктуации компенсируются. ^[14]

Рекомендации

1. Бенджамин, Т. Брук ; Фейр, Дж. Э. (1967). «Распад волновых шлейфов на глубокой воде. Часть 1. Теория». Журнал механики жидкости . 27 (3): 417–430. Бибкод : 1967JFM....27..417B. дои : 10.1017/S002211206700045X. S2CID  121996479.
2. Бенджамин, ТБ (1967). «Неустойчивость периодических волновых волн в нелинейных дисперсионных системах». Труды Лондонского королевского общества . А. Математические и физические науки. 299 (1456): 59–76. Бибкод : 1967RSPSA.299...59B. дои : 10.1098/rspa.1967.0123. S2CID  121661209.Завершилось обсуждением Клауса Хассельмана .
3. Агравал, Говинд П. (1995). Нелинейная волоконная оптика (2-е изд.). Сан-Диего (Калифорния): Academic Press. ISBN 978-0-12-045142-5.
4. Юэнь, ХК; Озеро, Б.М. (1980). «Неустойчивости волн на глубокой воде». Ежегодный обзор механики жидкости . 12 : 303–334. Бибкод : 1980AnRFM..12..303Y. doi : 10.1146/annurev.fl.12.010180.001511.
5. Пилиптецкий, Н. Ф.; Рустамов А.Р. (31 мая 1965 г.). «Наблюдение самофокусировки света в жидкостях». Письма ЖЭТФ . 2 (2): 55–56.
6. Беспалов, В.И.; Таланов, В.И. (15 июня 1966 г.). «Нитематозная структура световых лучей в нелинейных жидкостях». ЖЭТФ Письма Редакции . 3 (11): 471–476. Бибкод :1966ЖПмР...3..471Б. Архивировано из оригинала 31 июля 2020 года . Проверено 17 февраля 2021 г.
7. Янссен, Питер АЕМ (2003). «Нелинейные четырехволновые взаимодействия и волны-убийцы». Журнал физической океанографии . 33 (4): 863–884. Бибкод : 2003JPO....33..863J. doi : 10.1175/1520-0485(2003)33<863:NFIAFW>2.0.CO;2 .
8. Дист, Кристиан; Крогстад, Харальд Э.; Мюллер, Питер (2008). «Океанские волны-убийцы». Ежегодный обзор механики жидкости . 40 (1): 287–310. Бибкод : 2008AnRFM..40..287D. doi : 10.1146/annurev.fluid.40.111406.102203.
9. Берджесс, Ян Б.; Шиммелл, Уитни Э.; Сараванамутту, Калаичелви (1 апреля 2007 г.). «Спонтанное формирование узора из-за нестабильности модуляции некогерентного белого света в фотополимеризуемой среде». Журнал Американского химического общества . 129 (15): 4738–4746. дои : 10.1021/ja068967b. ISSN  0002-7863. ПМИД  17378567.
10. Баскер, Динеш К.; Брук, Майкл А.; Сараванамутту, Калаичелви (2015). «Спонтанное возникновение нелинейных световых волн и микроструктуры самозаписанного волновода при катионной полимеризации эпоксидов». Журнал физической химии C. 119 (35): 20606–20617. doi : 10.1021/acs.jpcc.5b07117.
11. Бирия, Саид; Мэлли, Филип Пенсильвания; Кахан, Тара Ф.; Хосейн, Ян Д. (3 марта 2016 г.). «Формирование настраиваемого нелинейного оптического рисунка и микроструктуры в сшитых акрилатных системах во время свободнорадикальной полимеризации». Журнал физической химии C. 120 (8): 4517–4528. doi : 10.1021/acs.jpcc.5b11377. ISSN  1932-7447.
12. Бирия, Саид; Мэлли, Филипп, Пенсильвания; Кахан, Тара Ф.; Хосейн, Ян Д. (15 ноября 2016 г.). «Оптический автокатализ устанавливает новую пространственную динамику фазового разделения полимерных смесей во время фотоотверждения». Макробуквы ACS . 5 (11): 1237–1241. doi : 10.1021/acsmacrolett.6b00659. ПМИД  35614732.
13. Кевич, Энтони С.; Ярив, Амнон (1 января 1996 г.). «Самофокусировка и самозахват оптических лучей при фотополимеризации» (PDF) . Оптические письма . 21 (1): 24–6. Бибкод : 1996OptL...21...24K. дои : 10.1364/ол.21.000024. ISSN  1539-4794. ПМИД  19865292.
14. Пространственные солитоны | Стефано Трилло | Спрингер.

дальнейшее чтение

• Захаров В.Е. ; Островский, Л.А. (2009). «Нестабильность модуляции: начало» (PDF) . Физика D: Нелинейные явления . 238 (5): 540–548. Бибкод : 2009PhyD..238..540Z. doi :10.1016/j.physd.2008.12.002.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}