Физическое свойство, измеряющее жесткость материала.
Модуль упругости (также известный как модуль упругости ) — это единица измерения сопротивления объекта или вещества упругой (т. е. непостоянной) деформации при приложении к нему напряжения .
Определение
Модуль упругости объекта определяется как наклон его кривой напряжение-деформация в области упругой деформации: [1] Более жесткий материал будет иметь более высокий модуль упругости. Модуль упругости имеет вид:
где напряжение — это сила, вызывающая деформацию, деленная на площадь, к которой приложена сила, а деформация — это отношение изменения некоторого параметра, вызванного деформацией, к исходному значению параметра.
Поскольку деформация является безразмерной величиной, единицы измерения будут такими же, как и единицы измерения напряжения. [2]
Упругие константы и модули
Упругие константы — это особые параметры, которые количественно определяют жесткость материала в ответ на приложенные напряжения и являются основополагающими для определения упругих свойств материалов. Эти константы образуют элементы матрицы жесткости в тензорной нотации, которая связывает напряжение с деформацией через линейные уравнения в анизотропных материалах. Обычно обозначаемые как C ijkl , где i , j , k и l — направления координат, эти константы необходимы для понимания того, как материалы деформируются под различными нагрузками. [3]
Типы модулей упругости
Указание того, как должны измеряться напряжение и деформация, включая направления, позволяет определить множество типов модулей упругости. Четыре основных из них:
- Модуль Юнга ( E ) описывает упругость при растяжении и сжатии или тенденцию объекта деформироваться вдоль оси, когда противодействующие силы прикладываются вдоль этой оси; он определяется как отношение растягивающего напряжения к деформации растяжения . Его часто называют просто модулем упругости .
- Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или второй параметр Ламе) описывает тенденцию объекта к сдвигу (деформация формы при постоянном объеме) под действием противодействующих сил; он определяется как касательное напряжение над сдвиговой деформацией . Модуль сдвига является частью вывода вязкости .
- Модуль объемной упругости ( K ) описывает объемную упругость или тенденцию объекта деформироваться во всех направлениях при равномерной нагрузке во всех направлениях; он определяется как объемное напряжение по отношению к объемной деформации и является обратной величиной сжимаемости . Модуль объемной упругости является расширением модуля Юнга на три измерения.
- Модуль изгиба ( E flex ) описывает тенденцию объекта изгибаться под действием момента .
Два других модуля упругости — это первый параметр Ламе , λ, и модуль продольной волны , M , которые используются в таблице сравнений модулей, приведенной ниже. Однородные и изотропные (подобные во всех направлениях) материалы (твердые тела) имеют свои (линейные) упругие свойства, полностью описанные двумя модулями упругости, и можно выбрать любую пару. Если задана пара модулей упругости, все остальные модули упругости можно рассчитать по формулам в таблице ниже в конце страницы.
Невязкие жидкости особенны тем, что они не могут выдерживать сдвиговое напряжение, а это означает, что модуль сдвига всегда равен нулю. Это также означает, что модуль Юнга для этой группы всегда равен нулю.
В некоторых текстах модуль упругости называют упругой константой , а обратную ему величину — модулем упругости .
Расчет теории функционала плотности
Теория функционала плотности (DFT) обеспечивает надежные методы определения нескольких форм упругих модулей, которые характеризуют различные особенности реакции материала на механические напряжения. Используйте программное обеспечение DFT, такое как VASP , Quantum ESPRESSO или ABINIT . В целом, проведите испытания, чтобы убедиться, что результаты не зависят от вычислительных параметров, таких как плотность сетки k-точек, энергия отсечки плоской волны и размер ячейки моделирования.
- Модуль Юнга ( E ) — применить небольшие, постепенные изменения параметра решетки вдоль определенной оси и вычислить соответствующую реакцию напряжения с помощью DFT. Затем модуль Юнга вычисляется как E = σ / ϵ , где σ — напряжение, а ϵ — деформация. [4]
- Начальная структура: Начните с расслабленной структуры материала. Все атомы должны находиться в состоянии минимальной энергии (т.е. в состоянии минимальной энергии с нулевыми силами на атомах) до того, как будут применены какие-либо деформации. [5]
- Инкрементальная одноосная деформация: Применить небольшие, инкрементальные деформации к кристаллической решетке вдоль определенной оси. Эта деформация обычно является одноосной , то есть она растягивает или сжимает решетку в одном направлении, сохраняя другие размеры постоянными или периодическими.
- Рассчитайте напряжения: для каждой напряженной конфигурации выполните расчет DFT, чтобы вычислить результирующий тензор напряжений [ необходимо устранение неоднозначности ] . Это включает решение уравнений Кона-Шэма для нахождения плотности и энергии электронов основного состояния в напряженных условиях.
- Кривая напряжение-деформация : Постройте график зависимости вычисленного напряжения от приложенной деформации, чтобы создать кривую напряжение-деформация. Наклон начальной линейной части этой кривой дает модуль Юнга. Математически модуль Юнга E рассчитывается по формуле E = σ / ϵ , где σ — напряжение, а ϵ — деформация.
- Модуль сдвига ( G )
- Начальная структура: Начните с расслабленной структуры материала. Все атомы должны находиться в состоянии минимальной энергии без остаточных сил (т.е. в состоянии минимальной энергии с нулевыми силами на атомах) до того, как будут применены какие-либо деформации.
- Применение сдвиговой деформации: Применить небольшие приращения сдвиговой деформации к материалу. Сдвиговые деформации обычно являются недиагональными компонентами в тензоре деформации, влияющими на форму, но не на объем кристаллической ячейки. [6]
- Расчет напряжений: для каждой конфигурации с приложенной деформацией сдвига выполните расчет DFT, чтобы определить результирующий тензор напряжений.
- Кривая зависимости напряжения сдвига от деформации сдвига : постройте график зависимости рассчитанного напряжения сдвига от приложенной деформации сдвига для каждого приращения. Наклон кривой напряжения-деформации в ее линейной области дает модуль сдвига, G = τ / γ , где τ — напряжение сдвига, а γ — приложенная деформация сдвига.
- Модуль упругости ( К )
- Начальная структура: Начните с расслабленной структуры материала. Крайне важно, чтобы материал был полностью оптимизирован, гарантируя, что любые изменения объема происходят исключительно из-за приложенного давления.
- Изменения объема: Постепенное изменение объема кристаллической ячейки , сжимая или расширяя ее. Обычно это делается путем равномерного масштабирования параметров решетки.
- Рассчитайте давление: для каждого измененного объема выполните расчет DFT, чтобы определить давление, необходимое для поддержания этого объема. DFT позволяет рассчитать тензоры напряжений, которые обеспечивают прямую меру внутреннего давления.
- Кривая давление-объем : Постройте график приложенного давления против результирующего изменения объема. Объемный модуль упругости можно рассчитать по наклону этой кривой в линейной упругой области. Объемный модуль упругости определяется как K =− VdV / dP , где V — исходный объем, dP — изменение давления, а dV — изменение объема. [7]
Смотрите также
Ссылки
- ^ Аскеланд, Дональд Р.; Фуле, Прадип П. (2006). Наука и инженерия материалов (5-е изд.). Cengage Learning. стр. 198. ISBN 978-0-534-55396-8.
- ^ Бир, Фердинанд П.; Джонстон, Э. Рассел; Дьюольф, Джон; Мазурек, Дэвид (2009). Механика материалов . McGraw Hill. стр. 56. ISBN 978-0-07-015389-9.
- ^ Шрайбер, Эдвард; Андерсон, О. Л.; Сога, Наохиро (1974). Упругие константы и их измерение . Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-055603-4.
- ^ Аласфар, Рима Х.; Ахзи, Саид; Барт, Николас; Кочкодан, Виктор; Храйшех, Марван; Коч, Муаммер (18.01.2022). «Обзор моделирования модуля упругости и предела текучести полимеров и полимерных нанокомпозитов: влияние температуры, скорости нагрузки и пористости». Полимеры . 14 (3): 360. doi : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360. PMC 8838186. PMID 35160350 .
- ^ Хади, МА; Христопулос, С.-РГ; Хронеос, А.; Накиб, Ш.; Ислам, АКМА (2022-08-18). "DFT-анализ электронной структуры, механического поведения, динамики решетки и дефектных процессов в первой макс-фазе на основе Sc2SnC". Scientific Reports . 12 (1): 14037. doi :10.1038/s41598-022-18336-z. ISSN 2045-2322. PMC 9388654 . PMID 35982080.
- ^ Ахмед, Разу; Махамуджаман, Мд; Афзал, Мд Асиф; Ислам, Мд Саджидул; Ислам, Р.С.; Накиб, Ш.Х. (май 2023 г.). «Сравнительный анализ физических свойств некоторых бинарных карбидов переходных металлов XC (X = Nb, Ta, Ti) на основе DFT». Журнал исследований и технологий материалов . 24 : 4808–4832. doi : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854.
- ^ Чоудхари, Камал; Чон, Говун; Рид, Эван; Тавацца, Франческа (2018-07-12). «Упругие свойства объемных и низкоразмерных материалов с использованием функционала плотности Ван-дер-Ваальса». Physical Review B. 98 ( 1): 014107. arXiv : 1804.01033 . Bibcode : 2018PhRvB..98a4107C. doi : 10.1103/PhysRevB.98.014107. ISSN 2469-9950. PMC 7067065. PMID 32166206 .
Дальнейшее чтение
- Харцуйкер, К.; Веллеман, JW (2001). Инженерная механика . Том 2. Спрингер. ISBN 978-1-4020-4123-5.
- Де Йонг, М.; Чен, Вэй (2015). «Диаграмма полных упругих свойств неорганических кристаллических соединений». Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD ...2E0009D. doi : 10.1038/sdata.2015.9. PMC 4432655. PMID 25984348.