Седенион

Гиперкомплексная система счисления

В абстрактной алгебре седенионы образуют 16- мерную некоммутативную и неассоциативную алгебру над действительными числами , обычно представленную заглавной буквой S, жирным шрифтом S или жирным шрифтом blackboard . Они получаются применением конструкции Кэли–Диксона к октонионам , и как таковые октонионы изоморфны подалгебре седенионов. В отличие от октонионов, седенионы не являются альтернативной алгеброй . Применение конструкции Кэли–Диксона к седенионам дает 32-мерную алгебру, иногда называемую 32-ионами или тригинтадуонионами . [ 1 ^] Можно продолжать применять конструкцию Кэли–Диксона произвольное количество раз. ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Термин седенион также используется для других 16-мерных алгебраических структур, таких как тензорное произведение двух копий бикватернионов или алгебра матриц 4 × 4 над действительными числами, или та, которая изучалась Смитом (1995).

Арифметика

Визуализация 4D-расширения кубического октониона ^[2] , показывающая 35 триад как гиперплоскости, проходящие через действительную вершину приведенного примера седениона. ${\displaystyle (e_{0})}$

Подобно октонионам , умножение седенионов не является ни коммутативным , ни ассоциативным . Но в отличие от октонионов, седенионы даже не обладают свойством быть альтернативными . Однако они обладают свойством ассоциативности мощности , которое можно сформулировать так, что для любого элемента x из мощность хорошо определена. Они также гибки . ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle x^{n}}$

Каждый седенион является линейной комбинацией единичных седенионов , , , , ..., , которые образуют базис векторного пространства седенионов. Каждый седенион может быть представлен в виде ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{15}}$

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}.}$

Сложение и вычитание определяются сложением и вычитанием соответствующих коэффициентов, а умножение является распределительным по отношению к сложению.

Как и другие алгебры, основанные на конструкции Кэли–Диксона , седенионы содержат алгебру, из которой они были построены. Таким образом, они содержат октонионы (сгенерированные с помощью в таблице ниже), а следовательно, также кватернионы (сгенерированные с помощью ) , комплексные числа (сгенерированные с помощью и ) и действительные числа (сгенерированные с помощью ). ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{3}}$ ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Седенионы имеют мультипликативный единичный элемент и мультипликативные обратные, но они не являются алгеброй деления, поскольку имеют делители нуля . Это означает, что два ненулевых седениона можно умножить, чтобы получить ноль: примером является . Все гиперкомплексные числовые системы после седенионов, основанные на конструкции Кэли–Диксона, также содержат делители нуля. ${\displaystyle e_{0}}$ ${\displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}$

Ниже представлена ​​таблица умножения седениона:

Свойства Sedenion

Из приведенной выше таблицы мы видим, что:

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,}$

${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}$и

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with}}\,\,i,j\neq 0.}$

Антиассоциативный

Седенионы не полностью антиассоциативны. Выберите любые четыре генератора, и . Следующий 5-цикл показывает, что эти пять отношений не могут быть все антиассоциативными. ${\displaystyle i,j,k}$ ${\displaystyle l}$

$${\displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl)=0}$$

В частности, в приведенной выше таблице используются и последнее выражение ассоциируется. ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$ ${\displaystyle e_{8}}$ ${\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}$

Кватернионные подалгебры

35 триад, которые составляют эту конкретную таблицу умножения седениона, с 7 триадами октонионов, использованными при создании седениона посредством конструкции Кэли–Диксона , выделены жирным шрифтом:

Двоичные представления индексов этих троек побитово исключают ИЛИ с 0.

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, { 1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11} , {7, 13, 10} }

Делители нуля

Список из 84 наборов делителей нуля , где : ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}$ ${\displaystyle (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}$

$${\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{Sedenion Zero Divisors}}\quad \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}\\{\text{where}}~(e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0\\{\begin{array}{ccc}1\leq a\leq 6,&c>a,&9\leq b\leq 15\\9\leq c\leq 15&&-9\geq d\geq -15\end{array}}\\\\{\begin{array}{llll}\{e_{1},e_{10},e_{5},e_{14}\}&\{e_{1},e_{10},e_{4},-e_{15}\}&\{e_{1},e_{10},e_{7},e_{12}\}&\{e_{1},e_{10},e_{6},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{11},e_{4},e_{14}\}&\{e_{1},e_{11},e_{6},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{11},e_{5},e_{15}\}&\{e_{1},e_{11},e_{7},-e_{13}\}\\\{e_{1},e_{12},e_{2},e_{15}\}&\{e_{1},e_{12},e_{3},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{12},e_{6},e_{11}\}&\{e_{1},e_{12},e_{7},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{13},e_{6},e_{10}\}&\{e_{1},e_{13},e_{2},-e_{14}\}&\{e_{1},e_{13},e_{7},e_{11}\}&\{e_{1},e_{13},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{1},e_{14},e_{2},e_{13}\}&\{e_{1},e_{14},e_{4},-e_{11}\}&\{e_{1},e_{14},e_{3},e_{12}\}&\{e_{1},e_{14},e_{5},-e_{10}\}\\\{e_{1},e_{15},e_{3},e_{13}\}&\{e_{1},e_{15},e_{2},-e_{12}\}&\{e_{1},e_{15},e_{4},e_{10}\}&\{e_{1},e_{15},e_{5},-e_{11}\}\\\\\{e_{2},e_{9},e_{4},e_{15}\}&\{e_{2},e_{9},e_{5},-e_{14}\}&\{e_{2},e_{9},e_{6},e_{13}\}&\{e_{2},e_{9},e_{7},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{11},e_{5},e_{12}\}&\{e_{2},e_{11},e_{4},-e_{13}\}&\{e_{2},e_{11},e_{6},e_{15}\}&\{e_{2},e_{11},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{2},e_{12},e_{3},e_{13}\}&\{e_{2},e_{12},e_{5},-e_{11}\}&\{e_{2},e_{12},e_{7},e_{9}\}&\{e_{2},e_{13},e_{3},-e_{12}\}\\\{e_{2},e_{13},e_{4},e_{11}\}&\{e_{2},e_{13},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{5},e_{9}\}&\{e_{2},e_{14},e_{3},-e_{15}\}\\\{e_{2},e_{14},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{4},-e_{9}\}&\{e_{2},e_{15},e_{3},e_{14}\}&\{e_{2},e_{15},e_{6},-e_{11}\}\\\\\{e_{3},e_{9},e_{6},e_{12}\}&\{e_{3},e_{9},e_{4},-e_{14}\}&\{e_{3},e_{9},e_{7},e_{13}\}&\{e_{3},e_{9},e_{5},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{10},e_{4},e_{13}\}&\{e_{3},e_{10},e_{5},-e_{12}\}&\{e_{3},e_{10},e_{7},e_{14}\}&\{e_{3},e_{10},e_{6},-e_{15}\}\\\{e_{3},e_{12},e_{5},e_{10}\}&\{e_{3},e_{12},e_{6},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{14},e_{4},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{4},-e_{10}\}\\\{e_{3},e_{15},e_{5},e_{9}\}&\{e_{3},e_{13},e_{7},-e_{9}\}&\{e_{3},e_{15},e_{6},e_{10}\}&\{e_{3},e_{14},e_{7},-e_{10}\}\\\\\{e_{4},e_{9},e_{7},e_{10}\}&\{e_{4},e_{9},e_{6},-e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{5},e_{11}\}&\{e_{4},e_{10},e_{7},-e_{9}\}\\\{e_{4},e_{11},e_{6},e_{9}\}&\{e_{4},e_{11},e_{5},-e_{10}\}&\{e_{4},e_{13},e_{6},e_{15}\}&\{e_{4},e_{13},e_{7},-e_{14}\}\\\{e_{4},e_{14},e_{7},e_{13}\}&\{e_{4},e_{14},e_{5},-e_{15}\}&\{e_{4},e_{15},e_{5},e_{14}\}&\{e_{4},e_{15},e_{6},-e_{13}\}\\\\\{e_{5},e_{10},e_{6},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{6},-e_{10}\}&\{e_{5},e_{11},e_{7},e_{9}\}&\{e_{5},e_{9},e_{7},-e_{11}\}\\\{e_{5},e_{12},e_{7},e_{14}\}&\{e_{5},e_{12},e_{6},-e_{15}\}&\{e_{5},e_{15},e_{6},e_{12}\}&\{e_{5},e_{14},e_{7},-e_{12}\}\\\\\{e_{6},e_{11},e_{7},e_{10}\}&\{e_{6},e_{10},e_{7},-e_{11}\}&\{e_{6},e_{13},e_{7},e_{12}\}&\{e_{6},e_{12},e_{7},-e_{13}\}\end{array}}\end{array}}}$$

Приложения

Морено (1998) показал, что пространство пар единичных седенионов, которые умножаются на ноль, гомеоморфно компактной форме исключительной группы Ли G 2 . (Обратите внимание, что в его статье «делитель нуля» означает пару элементов , которые умножаются на ноль.)

Гиллард и Греснигт (2019) продемонстрировали, что три поколения лептонов и кварков , которые связаны с ненарушенной калибровочной симметрией, могут быть представлены с помощью алгебры комплексифицированных седенионов . Их рассуждения следуют из того, что примитивный идемпотентный проектор — где выбран в качестве мнимой единицы, подобной для в плоскости Фано — который действует на стандартный базис седенионов, однозначно делит алгебру на три набора разделенных базисных элементов для , чьи сопряженные левые действия на самих себе порождают три копии алгебры Клиффорда , которые, в свою очередь, содержат минимальные левые идеалы , описывающие одно поколение фермионов с ненарушенной калибровочной симметрией. В частности, они отмечают, что тензорные произведения между нормированными алгебрами деления порождают делители нуля, родственные тем, что находятся внутри , где отсутствие альтернативности и ассоциативности не влияет на построение минимальных левых идеалов, поскольку их базовый расщепленный базис требует только двух базисных элементов, которые должны быть умножены вместе, в чем ассоциативность или альтернативность не участвуют. Тем не менее, эти идеалы, построенные из присоединенной алгебры левых действий алгебры на себя, остаются ассоциативными, альтернативными и изоморфными алгебре Клиффорда. В целом это позволяет трем копиям существовать внутри . Более того, эти три комплексифицированные подалгебры октонионов не являются независимыми; они разделяют общую подалгебру, которая, как отмечают авторы, может сформировать теоретическую основу для матриц CKM и PMNS , которые, соответственно, описывают смешивание кварков и осцилляции нейтрино . ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes S} }$ ${\displaystyle \rho _{+}=1/2(1+ie_{15})}$ ${\displaystyle e_{15}}$ ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(6)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU(3)_{c}\times U(1)_{em}} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {C\otimes O} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C\otimes O} )_{L}\cong \mathrm {Cl(6)} }$ ${\displaystyle \mathbb {(C\otimes S)} _{L}}$ ${\displaystyle \mathrm {C} l(2)}$

Нейронные сети Sedenion предоставляют ^{[ необходимо дополнительное объяснение ]} средство эффективного и компактного выражения в приложениях машинного обучения и используются для решения множества задач временных рядов и прогнозирования трафика. ^{[3] [4]}

Смотрите также

• Шестнадцатиквадратная идентичность Пфистера
• Раздельно-комплексное число

Примечания

1. Рауль Э. Кавагас и др. (2009). «БАЗОВАЯ СТРУКТУРА ПОДАЛГЕБРЫ АЛГЕБРЫ КЭЛИ-ДИКСОНА РАЗМЕРНОСТИ 32 (ТРИГИНТАДУОНИОНЫ)».
2. (Баез 2002, стр. 6)
3. Сауд, Лайес Саад; Аль-Марзуки, Хасан (2020). «Метакогнитная нейронная сеть с седениозначными значениями и ее алгоритм обучения». IEEE Access . 8 : 144823–144838. doi : 10.1109/ACCESS.2020.3014690 . ISSN  2169-3536.
4. Копп, Майкл; Крейл, Дэвид; Нойн, Мориц; Джонитц, Дэвид; Мартин, Генри; Эррузо, Педро; Грука, Александра; Солеймани, Али; У, Фанью; Лю, Ян; Сюй, Цзинвэй (07.08.2021). «Traffic4cast на NeurIPS 2020 — еще больше о необоснованной эффективности геопространственных процессов с сеткой». Конкурс и демонстрационный трек NeurIPS 2020. PMLR: 325–343.

Ссылки

• Имаэда, К.; Имаэда, М. (2000), «Седенионы: алгебра и анализ», Прикладная математика и вычисления , 115 (2): 77–88, doi :10.1016/S0096-3003(99)00140-X, MR  1786945
• Баез, Джон К. (2002). «Октонионы». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 39 (2): 145–205. arXiv : math/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. MR  1886087. S2CID  586512.
• Бисс, Дэниел К.; Кристенсен, Дж. Дэниел; Даггер, Дэниел; Исаксен, Дэниел К. (2007). «Большие аннуляторы в алгебрах Кэли-Диксона II». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : math/0702075 . Bibcode :2007math......2075B.
• Guillard, Adam B.; Gresnigt, Niels G. (2019). «Три поколения фермионов с двумя ненарушенными калибровочными симметриями из комплексных седенионов». The European Physical Journal C. 79 ( 5). Springer : 1–11 (446). arXiv : 1904.03186 . Bibcode : 2019EPJC...79..446G. doi : 10.1140/epjc/s10052-019-6967-1. S2CID  102351250.
• Киньон, МК; Филлипс, ДЖ; Войтеховски, П. (2007). «C-циклы: расширения и конструкции». Журнал алгебры и ее применения . 6 (1): 1–20. arXiv : math/0412390 . CiteSeerX  10.1.1.240.6208 . doi :10.1142/S0219498807001990. S2CID  48162304.
• Кивунге, Бенард М.; Смит, Джонатан Д. Х. (2004). «Подциклы седенионов» (PDF) . Комментарий. Math. Univ. Carolinae . 45 (2): 295–302.
• Moreno, Guillermo (1998), "Делители нуля алгебр Кэли–Диксона над действительными числами", Bol. Soc. Mat. Mexicana , Series 3, 4 (1): 13–28, arXiv : q-alg/9710013 , Bibcode : 1997q.alg....10013G, MR  1625585
• Смит, Джонатан Д. Х. (1995), «Левая петля на 15-сфере», Журнал алгебры , 176 (1): 128–138, doi : 10.1006/jabr.1995.1237 , MR  1345298
• Л. С. Сауд и Х. Аль-Марзуки, «Метакогнитная седенионно-значная нейронная сеть и ее алгоритм обучения», в IEEE Access, т. 8, стр. 144823-144838, 2020, doi:10.1109/ACCESS.2020.3014690.