Момент (математика)

В математике — количественная мера формы множества точек.

В математике моменты функции — это определенные количественные меры, связанные с формой графика функции . Если функция представляет плотность массы, то нулевой момент — это полная масса, первый момент (нормализованный по полной массе) — это центр масс , а второй момент — это момент инерции . Если функция — это распределение вероятностей , то первый момент — это ожидаемое значение , второй центральный момент — это дисперсия , третий стандартизированный момент — это асимметрия , а четвертый стандартизированный момент — это эксцесс .

Для распределения массы или вероятности на ограниченном интервале совокупность всех моментов (всех порядков от 0 до ∞ ) однозначно определяет распределение ( проблема моментов Хаусдорфа ). То же самое не верно для неограниченных интервалов ( проблема моментов Гамбургера ).

В середине девятнадцатого века Пафнутий Чебышев стал первым человеком, который мыслил систематически в терминах моментов случайных величин . ^[1]

Значимость моментов

n - й сырой момент (т.е. момент относительно нуля) случайной величины с функцией плотности определяется как ^[2] n - й момент действительной непрерывной случайной величины с функцией плотности относительно значения есть интеграл ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{discrete distribution}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{continuous distribution}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Можно определить моменты для случайных величин более общим образом, чем моменты для вещественных функций — см. моменты в метрических пространствах. Момент функции, без дополнительных пояснений, обычно относится к приведенному выше выражению с . Для вторых и более высоких моментов обычно используется центральный момент (моменты относительно среднего, где c — среднее), а не моменты относительно нуля, поскольку они дают более ясную информацию о форме распределения. ${\displaystyle c=0}$

Другие моменты также могут быть определены. Например, n- й обратный момент относительно нуля равен , а n -й логарифмический момент относительно нуля равен ${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}$

N - й момент относительно нуля функции плотности вероятности является ожидаемым значением и называется грубым моментом или грубым моментом . ^[3] Моменты относительно ее среднего значения называются центральными моментами ; они описывают форму функции независимо от трансляции . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

Если — функция плотности вероятности , то значение интеграла выше называется n -м моментом распределения вероятности . В более общем смысле, если F — кумулятивная функция распределения вероятности любого распределения вероятности, которое может не иметь функции плотности, то n -й момент распределения вероятности задается интегралом Римана–Стилтьеса , где X — случайная величина , которая имеет это кумулятивное распределение F , а E — оператор ожидания или среднее значение. Когда говорят, что момент не существует. Если n -й момент относительно какой-либо точки существует, то также существует ( n − 1) -й момент (и, таким образом, все моменты низшего порядка) относительно каждой точки. Нулевой момент любой функции плотности вероятности равен 1, поскольку площадь под любой функцией плотности вероятности должна быть равна единице. ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }$$

Стандартизированные моменты

Нормализованный n -й центральный момент или стандартизированный момент равен n -му центральному моменту , делённому на σ ⁿ ; нормализованный n -й центральный момент случайной величины X равен $${\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.}$$

Эти нормализованные центральные моменты являются безразмерными величинами , которые представляют распределение независимо от любого линейного изменения масштаба.

Знаменательные моменты

Иметь в виду

Первый необработанный момент — это среднее значение , обычно обозначаемое ${\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X].}$

Дисперсия

Вторым центральным моментом является дисперсия . Положительный квадратный корень дисперсии — это стандартное отклонение. ${\displaystyle \sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.}$

Асимметрия

Третий центральный момент является мерой однобокости распределения; любое симметричное распределение будет иметь третий центральный момент, если он определен, равный нулю. Нормализованный третий центральный момент называется асимметрией , часто γ . Распределение, которое асимметрично влево (хвост распределения длиннее слева), будет иметь отрицательную асимметрию. Распределение, которое асимметрично вправо (хвост распределения длиннее справа), будет иметь положительную асимметрию.

Для распределений, которые не слишком отличаются от нормального , медиана будет где-то около μ − γσ /6 ; мода около μ − γσ /2 .

Эксцесс

Четвертый центральный момент является мерой тяжести хвоста распределения. Поскольку это ожидание четвертой степени, четвертый центральный момент, где он определен, всегда неотрицателен; и за исключением точечного распределения , он всегда строго положителен. Четвертый центральный момент нормального распределения равен 3 σ ⁴ .

Эксцесс κ определяется как стандартизированный четвертый центральный момент. (Эквивалентно, как и в следующем разделе, избыточный эксцесс — это четвертый кумулянт, деленный на квадрат второго кумулянта .) ^{[4] [5] Если распределение имеет тяжелые хвосты, эксцесс будет высоким (иногда} называемым лептокуртиковым); наоборот, распределения с легкими хвостами (например, ограниченные распределения, такие как равномерное) имеют низкий эксцесс (иногда называемый платикуртиковым).

Эксцесс может быть положительным без ограничений, но κ должно быть больше или равно γ ² + 1 ; равенство справедливо только для бинарных распределений . Для неограниченных асимметричных распределений, не слишком далеких от нормального, κ имеет тенденцию находиться где-то в области γ ² и 2 γ ² .

Неравенство можно доказать, рассмотрев, где T = ( X − μ )/ σ . Это ожидание квадрата, поэтому оно неотрицательно для всех a ; однако это также квадратичный многочлен относительно a . Его дискриминант должен быть неположителен, что дает требуемое соотношение. $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]}$$

Высшие моменты

Моменты высшего порядка — это моменты, превосходящие моменты четвертого порядка.

Как и в случае с дисперсией, асимметрией и эксцессом, это статистики более высокого порядка , включающие нелинейные комбинации данных, и могут использоваться для описания или оценки дополнительных параметров формы . Чем выше момент, тем сложнее его оценить, в том смысле, что для получения оценок аналогичного качества требуются более крупные выборки. Это связано с избыточными степенями свободы, потребляемыми более высокими порядками. Кроме того, их можно тонко интерпретировать, часто их легче всего понять в терминах моментов более низкого порядка — сравните производные более высокого порядка от рывка и толчка в физике . Например, так же, как момент 4-го порядка (эксцесс) можно интерпретировать как «относительную важность хвостов по сравнению с плечами во вкладе в дисперсию» (для заданной величины дисперсии более высокий эксцесс соответствует более толстым хвостам, тогда как более низкий эксцесс соответствует более широким плечам), момент 5-го порядка можно интерпретировать как измерение «относительной важности хвостов по сравнению с центром ( моды и плечами) во вкладе в асимметрию» (для заданной величины асимметрии более высокий 5-й момент соответствует более высокой асимметрии в хвостовых частях и небольшой асимметрии моды, тогда как более низкий 5-й момент соответствует большей асимметрии в плечах).

Смешанные моменты

Смешанные моменты — это моменты, включающие несколько переменных.

Значение называется моментом порядка (моменты определяются также для нецелых ). Аналогично определяются моменты совместного распределения случайных величин . Для любых целых чисел математическое ожидание называется смешанным моментом порядка (где ), а называется центральным смешанным моментом порядка . Смешанный момент называется ковариацией и является одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами. ${\displaystyle E[X^{k}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1}...X_{n}}$ ${\displaystyle k_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=k_{1}+...+k_{n}}$ ${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]}$

Некоторые примеры — ковариация , кососимметрия и коэксцесс . Хотя существует уникальная ковариация, существуют множественные кососимметрии и коэксцессы.

Свойства моментов

Трансформация центра

Поскольку где — биномиальный коэффициент , то моменты относительно b можно вычислить из моментов относительно a по формуле: $${\displaystyle (x-b)^{n}=(x-a+a-b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(x-a)^{i}(a-b)^{n-i}}$$ ${\textstyle {\binom {n}{i}}}$ $${\displaystyle E\left[(x-b)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(x-a)^{i}\right](a-b)^{n-i}.}$$

Момент свертки функции

Сырой момент свертки читается как где обозначает -й момент функции, указанной в скобках. Это тождество следует из теоремы о свертке для функции, производящей момент, и применения цепного правила для дифференцирования произведения. ${\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$ $${\displaystyle \mu _{n}[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{n-i}[g]}$$ ${\displaystyle \mu _{n}[\,\cdot \,]}$ ${\displaystyle n}$

Кумулянты

Первый необработанный момент, а также второй и третий ненормализованные центральные моменты являются аддитивными в том смысле, что если X и Y — независимые случайные величины, то $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}$$

(Это также может иметь место для переменных, которые удовлетворяют более слабым условиям, чем независимость. Первое всегда выполняется; если выполняется второе, переменные называются некоррелированными ).

Фактически, это первые три кумулянта, и все кумулянты обладают этим свойством аддитивности.

Примеры моментов

Для всех k k -й необработанный момент популяции можно оценить, используя k -й необработанный момент выборки, примененный к выборке X ₁ , ..., X _{n ,} взятой из популяции. $${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}}$$

Можно показать, что ожидаемое значение сырого момента выборки равно k -му сырому моменту совокупности, если такой момент существует, для любого размера выборки n . Таким образом, это несмещенная оценка. Это контрастирует с ситуацией для центральных моментов, вычисление которых использует степень свободы, используя выборочное среднее. Так, например, несмещенная оценка дисперсии совокупности (второй центральный момент) дается выражением , в котором предыдущий знаменатель n был заменен степенями свободы n − 1 , и в котором относится к выборочному среднему. Эта оценка момента совокупности больше, чем нескорректированный наблюдаемый момент выборки в раз, и ее называют «скорректированной выборочной дисперсией» или иногда просто «выборочной дисперсией». $${\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}$

Проблема моментов

Задачи определения распределения вероятностей по последовательности его моментов называются задачей моментов . Такие задачи впервые были рассмотрены П. Л. Чебышевым (1874) ^[6] в связи с исследованиями предельных теорем. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины однозначно определялось ее моментами, достаточно, например, чтобы выполнялось условие Карлемана: Подобный результат справедлив даже для моментов случайных векторов. Задача моментов ищет характеристики последовательностей , являющихся последовательностями моментов некоторой функции f, все моменты которой конечны, и для каждого целого числа пусть , где конечно. Тогда существует последовательность , которая слабо сходится к функции распределения, имеющей своими моментами. Если моменты определяются однозначно, то последовательность слабо сходится к . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]}$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty }$$ ${\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}$ ${\displaystyle \alpha _{k}(n)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ $${\displaystyle \alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,}$$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle {\mu _{n}}'}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{k}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mu _{n}}'}$ ${\displaystyle \mu }$

Частичные моменты

Частичные моменты иногда называют «односторонними моментами». Нижние и верхние частные моменты n -го порядка относительно опорной точки r могут быть выражены как

$${\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(r-x)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}$$ $${\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Если интегральная функция не сходится, то частичный момент не существует.

Парциальные моменты нормализуются путем возведения в степень 1/ n . Коэффициент потенциала вверх может быть выражен как отношение верхнего парциального момента первого порядка к нормализованному нижнему парциальному моменту второго порядка.

Центральные моменты в метрических пространствах

Пусть ( M , d ) — метрическое пространство , а B( M ) — борелевская σ -алгебра на M , σ -алгебра, порожденная d - открытыми подмножествами M. (По техническим причинам также удобно предположить, что M — сепарабельное пространство относительно метрики d .) Пусть 1 ≤ p ≤ ∞ .

P - й центральный момент меры μ на измеримом пространстве ( M , B( M )) относительно заданной точки x ₀ ∈ M определяется как $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

Говорят, что μ имеет конечный p -й центральный момент , если p -й центральный момент μ относительно x ₀ конечен для некоторого x ₀ ∈ M.

Эта терминология для мер переносится на случайные величины обычным образом: если (Ω, Σ, P ) — вероятностное пространство , а X  : Ω → M — случайная величина, то p -й центральный момент X относительно x ₀ ∈ M определяется как и X имеет конечный p -й центральный момент, если p - й центральный момент X относительно x ₀ конечен для некоторого x ₀ ∈ M . $${\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}$$

Смотрите также

• Энергия (обработка сигнала)
• Факториальный момент
• Обобщенное среднее
• Изображение момента
• L-момент
• Метод моментов (теория вероятностей)
• Метод моментов (статистика)
• Функция, генерирующая момент
• Измерение момента
• Метод второго момента
• Стандартизированный момент
• Проблема моментов Стилтьеса
• Разложения Тейлора для моментов функций случайных величин

Ссылки

• Текст был скопирован из Moment в Encyclopedia of Mathematics, которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (Unported) (CC-BY-SA 3.0) и GNU Free Documentation License .

1. Джордж Макки (июль 1980 г.). «ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КАК ЭКСПЛУАТАЦИЯ СИММЕТРИИ — ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР». Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 3 (1): 549.
2. Папулис, А. (1984). Вероятность, случайные величины и стохастические процессы, 2-е изд . Нью-Йорк: McGraw Hill . С. 145–149.
3. "Raw Moment -- from Wolfram MathWorld". Архивировано из оригинала 2009-05-28 . Получено 2009-06-24 .Сырые моменты в Math-world
4. Casella, George ; Berger, Roger L. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Pacific Grove: Duxbury. ISBN 0-534-24312-6.
5. Балланда, Кевин П.; Макгилливрей, Х. Л. (1988). «Эксцесс: критический обзор». Американский статистик . 42 (2). Американская статистическая ассоциация: 111–119. doi : 10.2307/2684482. JSTOR  2684482.
6. Феллер, У. (1957-1971). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Нью-Йорк: John Wiley & Sons. 419 стр.

Дальнейшее чтение

• Спанос, Арис (1999). Теория вероятностей и статистический вывод . Нью-Йорк: Cambridge University Press. С. 109–130. ISBN 0-521-42408-9.
• Уокер, Хелен М. (1929). Исследования по истории статистического метода с особым акцентом на некоторые образовательные проблемы. Baltimore, Williams & Wilkins Co., стр. 71.

Внешние ссылки

• «Момент», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Моменты в Mathworld