Второй момент площади

Математическая конструкция в инженерии

Второй момент площади , или второй момент площади , или квадратичный момент площади , также известный как момент инерции площади , является геометрическим свойством площади , которое отражает, как ее точки распределены относительно произвольной оси. Второй момент площади обычно обозначается либо как (для оси, которая лежит в плоскости площади), либо как (для оси, перпендикулярной плоскости). В обоих случаях он вычисляется с помощью кратного интеграла по рассматриваемому объекту. Его размерность равна L (длина) в четвертой степени. Его единицей измерения при работе с Международной системой единиц являются метры в четвертой степени, м ⁴ , или дюймы в четвертой степени, in ⁴ , при работе в Имперской системе единиц или общепринятой системе США . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$

В строительной инженерии второй момент площади балки является важным свойством, используемым при расчете прогиба балки и расчете напряжения , вызванного моментом , приложенным к балке. Чтобы максимизировать второй момент площади, большая часть площади поперечного сечения двутавровой балки располагается на максимально возможном расстоянии от центра тяжести поперечного сечения двутавровой балки. Плоский второй момент площади дает представление о сопротивлении балки изгибу из-за приложенного момента, силы или распределенной нагрузки, перпендикулярной ее нейтральной оси , как функции ее формы. Полярный второй момент площади дает представление о сопротивлении балки крутильному прогибу из-за приложенного момента, параллельного ее поперечному сечению, как функции ее формы.

Различные дисциплины используют термин момент инерции (МОИ) для обозначения различных моментов . Он может относиться либо к плоским вторым моментам площади (часто или относительно некоторой опорной плоскости), либо к полярному второму моменту площади ( , где r — расстояние до некоторой опорной оси). В каждом случае интеграл берется по всем бесконечно малым элементам площади , dA , в некотором двумерном поперечном сечении. В физике момент инерции — это строго второй момент массы относительно расстояния от оси: , где r — расстояние до некоторой потенциальной оси вращения, а интеграл берется по всем бесконечно малым элементам массы , dm , в трехмерном пространстве, занимаемом объектом  Q . МОИ, в этом смысле, является аналогом массы для задач вращения. В машиностроении (особенно механическом и гражданском) момент инерции обычно относится ко второму моменту площади. ^[1] ${\textstyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dA}$ ${\textstyle I_{y}=\iint _{R}x^{2}\,dA,}$ ${\textstyle I=\iint _{R}r^{2}\,dA}$ ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$

Определение

Произвольная форма. ρ — расстояние до элемента d A , с проекциями x и y на оси x и y .

Второй момент площади для произвольной формы  R относительно произвольной оси ( ось не изображена на соседнем изображении; является осью, копланарной осям x и y и перпендикулярной отрезку прямой ) определяется как где ${\displaystyle BB'}$ ${\displaystyle BB'}$ ${\displaystyle \rho }$ $${\displaystyle J_{BB'}=\iint _{R}{\rho }^{2}\,dA}$$

• ${\displaystyle dA}$— бесконечно малый элемент площади, а
• ${\displaystyle \rho }$это расстояние от оси. ^[2] ${\displaystyle BB'}$

Например, если желаемой осью отсчета является ось x, то момент инерции площади (часто обозначаемый как ) можно вычислить в декартовых координатах как ${\displaystyle I_{xx}}$ ${\displaystyle I_{x}}$

$${\displaystyle I_{x}=\iint _{R}y^{2}\,dx\,dy}$$

Второй момент площади имеет решающее значение в теории тонких балок Эйлера–Бернулли .

Момент произведения площади

В более общем смысле момент произведения площади определяется как ^[3] $${\displaystyle I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy}$$

Теорема о параллельных осях

Форма с центральной осью x . Теорему о параллельных осях можно использовать для получения второго момента площади относительно оси x' .

Иногда необходимо вычислить второй момент площади фигуры относительно оси, отличной от центральной оси фигуры. Однако часто проще вывести второй момент площади относительно ее центральной оси, и использовать теорему о параллельных осях для выведения второго момента площади относительно оси. Теорема о параллельных осях утверждает, что ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$ $${\displaystyle I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}}$$

• ${\displaystyle A}$это площадь фигуры, и
• ${\displaystyle d}$- перпендикулярное расстояние между осями и . ^{[4] [5]} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x'}$

Аналогичное утверждение можно сделать относительно оси и параллельной ей центральной оси. Или, в общем случае, любой центральной оси и параллельной ей оси. ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B'}$

Теорема о перпендикулярной оси

Для простоты расчета часто желательно определить полярный момент площади (относительно перпендикулярной оси) через два момента инерции площади (оба относительно осей, лежащих в плоскости). Простейший случай относится к и . ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$

$${\displaystyle J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}}$$

Это соотношение основано на теореме Пифагора , которая связывает и с и с линейностью интегрирования . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \rho }$

Композитные формы

Для более сложных областей часто проще разделить область на ряд «более простых» форм. Второй момент площади для всей формы — это сумма второго момента площади всех ее частей относительно общей оси. Это может включать формы, которые «отсутствуют» (т. е. отверстия, полые формы и т. д.), в этом случае второй момент площади «отсутствующих» областей вычитается, а не добавляется. Другими словами, второй момент площади «отсутствующих» частей считается отрицательным для метода составных форм.

Примеры

См. список вторых моментов площади для других фигур.

Прямоугольник с центром тяжести в начале координат

Прямоугольник с основанием b и высотой h

Рассмотрим прямоугольник с основанием и высотой , центр тяжести которого расположен в начале координат. представляет собой инертный момент площади относительно оси x; представляет собой инертный момент площади относительно оси y; представляет собой полярный момент инерции относительно оси z. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}}$$

Используя теорему о перпендикулярной оси, получаем значение . ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)}$$

Кольцо с центром в начале координат

Кольцо с внутренним радиусом r ₁ и внешним радиусом r ₂

Рассмотрим кольцо , центр которого находится в начале координат, внешний радиус равен , а внутренний радиус равен . Из-за симметрии кольца центроид также лежит в начале координат. Мы можем определить полярный момент инерции, , относительно оси методом составных фигур. Этот полярный момент инерции эквивалентен полярному моменту инерции окружности с радиусом минус полярный момент инерции окружности с радиусом , оба с центрами в начале координат. Сначала давайте выведем полярный момент инерции окружности с радиусом относительно начала координат . В этом случае проще напрямую вычислить, поскольку у нас уже есть , который имеет как компоненту , так и компоненту. Вместо того чтобы получать второй момент площади из декартовых координат , как это было сделано в предыдущем разделе, мы вычислим и напрямую, используя полярные координаты . ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle r^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}}$$

Теперь полярный момент инерции относительно оси для кольца, как указано выше, представляет собой просто разность вторых моментов площади круга с радиусом и круга с радиусом . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

$${\displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)}$$

В качестве альтернативы мы могли бы изменить пределы интеграла в первый раз, чтобы отразить тот факт, что есть дыра. Это можно сделать так. ${\displaystyle dr}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}}$$

Любой многоугольник

Простой многоугольник. Здесь, обратите внимание, точка «7» идентична точке 1. ${\displaystyle n=6}$

Второй момент площади относительно начала координат для любого простого многоугольника на плоскости XY может быть вычислен в общем случае путем суммирования вкладов от каждого сегмента многоугольника после деления площади на набор треугольников. Эта формула связана с формулой шнурка и может рассматриваться как частный случай теоремы Грина .

Предполагается, что многоугольник имеет вершины, пронумерованные против часовой стрелки. Если вершины многоугольника пронумерованы по часовой стрелке, возвращаемые значения будут отрицательными, но абсолютные значения будут правильными. ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}}$$

где - координаты -й вершины многоугольника, для . Также предполагаются равными координатам первой вершины, т.е. и . ^{[6] [7] [8] [9]} ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{1}}$ ${\displaystyle y_{n+1}=y_{1}}$

Смотрите также

• Список вторых моментов площади
• Список моментов инерции
• Момент инерции
• Теорема о параллельных осях
• Теорема о перпендикулярной оси
• Радиус инерции

Ссылки

1. Бир, Фердинанд П. (2013). Векторная механика для инженеров (10-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 471. ISBN 978-0-07-339813-6. Термин второй момент более уместен, чем термин момент инерции, поскольку, по логике, последний должен использоваться только для обозначения интегралов массы (см. раздел 9.11). Однако в инженерной практике момент инерции используется в связи с площадями, а также с массами.
2. Pilkey, Walter D. (2002). Анализ и проектирование упругих балок . John Wiley & Sons, Inc. стр. 15. ISBN 978-0-471-38152-5.
3. Бир, Фердинанд П. (2013). "Глава 9.8: Продукт инерции". Векторная механика для инженеров (10-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
4. Хиббелер, RC (2004). Статика и механика материалов (второе издание). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1 . 
5. Бир, Фердинанд П. (2013). "Глава 9.6: Теорема о параллельных осях". Векторная механика для инженеров (10-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
6. Хэлли, Дэвид (1987). Расчет моментов многоугольников (PDF) (Технический отчет). Канадская национальная оборона. Технический меморандум 87/209. Архивировано (PDF) из оригинала 23 марта 2020 г.
7. Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия. AuthorHouse. ISBN 978-1-4772-3372-6.
8. Стегер, Карстен (1996). «О вычислении произвольных моментов многоугольников» (PDF) . S2CID  17506973. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-10-03.
9. Сурджади, Ир. Р. «О вычислении моментов многоугольника и некоторых приложениях».