Жири монада

Абстрактная структура, моделирующая пространства вероятностных мер, впервые определенная в 80-х годах.

В математике монада Жири — это конструкция, которая сопоставляет измеримому пространству пространство вероятностных мер над ним, снабженное канонической сигма-алгеброй . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Это один из основных примеров вероятностной монады.

Он неявно используется в теории вероятностей всякий раз, когда рассматриваются вероятностные меры , которые измеримо зависят от параметра (что приводит к появлению ядер Маркова ), или когда имеются вероятностные меры над вероятностными мерами (например, в теореме де Финетти ).

Как и многие итеративные конструкции, она имеет теоретико -категорную структуру монады в категории измеримых пространств .

Строительство

Монада Жири, как и всякая монада , состоит из трех структур: ^{[6] [7] [8]}

• Функториальное присвоение, которое в данном случае присваивает измеримому пространству пространство вероятностных мер над ним; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle PX}$
• Естественное отображение , называемое единицей , которое в данном случае присваивает каждому элементу пространства меру Дирака над ним; ${\displaystyle \delta :X\to PX}$
• Естественное отображение , называемое умножением , которое в этом случае присваивает каждой мере вероятности по мерам вероятности ее ожидаемое значение . ${\displaystyle {\mathcal {E}}:PPX\to PX}$

Пространство вероятностных мер

Пусть будет измеримым пространством . Обозначим через множество вероятностных мер над . Мы снабжаем множество сигма -алгеброй следующим образом. Прежде всего, для каждого измеримого множества , определим отображение как . Затем мы определяем сигма-алгебру на как наименьшую сигма-алгебру, которая делает отображения измеримыми, для всех (где предполагается снабженным борелевской сигма-алгеброй ). ^[6] ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:PX\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\longmapsto p(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$ ${\displaystyle PX}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Эквивалентно, может быть определена как наименьшая сигма-алгебра, на которой создаются отображения ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$ ${\displaystyle PX}$

${\displaystyle p\longmapsto \int _{X}f\,dp}$

измеримо для всех ограниченных измеримых . ^[9] ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

Назначение является частью эндофунктора в категории измеримых пространств , обычно обозначаемого снова как . Его действие на морфизмы , т.е. на измеримые отображения , осуществляется посредством переноса мер . А именно, если задано измеримое отображение , то назначается отображение, определенное как ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\mapsto (PX,{\mathcal {PF}})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}:(PX,{\mathcal {PF}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$

${\displaystyle f_{*}p\,(B)=p(f^{-1}(B))}$

для всех и всех измеримых множеств . ^[6] ${\displaystyle p\in PX}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

Карта дельты Дирака

При наличии измеримого пространства отображение отображает элемент в меру Дирака , определенную на измеримых подмножествах с помощью ^[6] ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \delta :(X,{\mathcal {F}})\to (PX,{\mathcal {PF}})}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in PX}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A,\\0&{\text{if }}x\notin A.\end{cases}}}$

Карта ожиданий

Пусть , то есть вероятностная мера по вероятностной мере по . Мы определяем вероятностную меру как ${\displaystyle \mu \in PPX}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\mu \in PX}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\mu (A)=\int _{PX}p(A)\,\mu (dp)}$

для всех измеримых . Это дает измеримую, естественную карту . ^[6] ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}:(PPX,{\mathcal {PPF}})\to (PX,{\mathcal {PF}})}$

Пример: распределение смеси

Смешанное распределение или, в более общем смысле , составное распределение можно рассматривать как применение карты . Давайте рассмотрим это для случая конечной смеси. Пусть будут вероятностными мерами на , и рассмотрим вероятностную меру, заданную смесью ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(A)=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,p_{i}(A)}$

для всех измеримых , для некоторых весов, удовлетворяющих . Мы можем рассматривать смесь как среднее , где мера по мерам , которая в этом случае является дискретной, задается как ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle w_{i}\geq 0}$ ${\displaystyle w_{1}+\dots +w_{n}=1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q={\mathcal {E}}\mu }$ ${\displaystyle \mu \in PPX}$

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,\delta _{p_{i}}.}$

В более общем смысле карту можно рассматривать как наиболее общий, непараметрический способ формирования произвольных смешанных или составных распределений . ${\displaystyle {\mathcal {E}}:PPX\to PX}$

Тройка называется монадой Жири . ^{[1] [2] [3] [4] [5]} ${\displaystyle (P,\delta ,{\mathcal {E}})}$

Связь с марковскими ядрами

Одним из свойств сигма-алгебры является то, что при заданных измеримых пространствах и мы имеем взаимно однозначное соответствие между измеримыми функциями и марковскими ядрами . Это позволяет рассматривать марковское ядро, что эквивалентно, как измеримо параметризованную вероятностную меру. ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {PF}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$

Более подробно, если задана измеримая функция , то можно получить ядро ​​Маркова следующим образом: ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ ${\displaystyle f^{\flat }:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$

${\displaystyle f^{\flat }(B|x)=f(x)(B)}$

для каждого измеримого (обратите внимание, что это вероятностная мера). И наоборот, если задано ядро ​​Маркова , можно сформировать измеримую функцию , отображающую вероятностную меру, определяемую как ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f(x)\in PY}$ ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle k^{\sharp }:(X,{\mathcal {F}})\to (PY,{\mathcal {PG}})}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k^{\sharp }(x)\in PY}$

${\displaystyle k^{\sharp }(x)(B)=k(B|x)}$

для каждого измеримого . Два назначения взаимно обратны. ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

С точки зрения теории категорий мы можем интерпретировать это соответствие как присоединение

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)}$

между категорией измеримых пространств и категорией марковских ядер . В частности, категорию марковских ядер можно рассматривать как категорию Клейсли монады Жири. ^{[3] [4] [5]}

Распределение продукции

При наличии измеримых пространств и можно образовать измеримое пространство с произведением сигма-алгебры , которое является произведением в категории измеримых пространств . При наличии вероятностных мер и можно образовать произведение меры на . Это дает естественное измеримое отображение ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle (PX,{\mathcal {PX}})\times (PY,{\mathcal {PY}})=(X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle p\in PX}$ ${\displaystyle q\in PY}$ ${\displaystyle p\otimes q}$ ${\displaystyle (X\times Y,{\mathcal {F}}\times {\mathcal {G}})}$

${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})\times (PY,{\mathcal {PG}})\to {\big (}P(X\times Y),{\mathcal {P(F\times G)}}{\big )}}$

обычно обозначается как или как . ^[4] ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \otimes }$

Отображение в общем случае не является изоморфизмом, поскольку существуют вероятностные меры, на которых не являются распределениями произведений, например, в случае корреляции . Однако отображения и изоморфизм делают монаду Жири моноидальной монадой , и, в частности, коммутативной сильной монадой . ^[4] ${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \nabla :PX\times PY\to P(X\times Y)}$ ${\displaystyle 1\cong P1}$

Дополнительные свойства

• Если измеримое пространство является стандартным борелевским , то и . Поэтому монада Жири ограничивается полной подкатегорией стандартных борелевских пространств. ^{[1] [4]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (PX,{\mathcal {PF}})}$

• Алгебры для монады Жири включают компактные выпуклые подмножества евклидовых пространств , а также расширенную положительную вещественную прямую , при этом отображение структуры алгебры задается путем взятия ожидаемых значений . ^[11] Например, для отображение структуры задается как ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle e:P[0,\infty ]\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle p\longmapsto \int _{[0,\infty )}x\,p(dx)}$

всякий раз, когда поддерживается и имеет конечное ожидаемое значение, и в противном случае. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle e(p)=\infty }$

Смотрите также

• Распределение смеси
• Распределение соединений
• теорема де Финетти
• Измеримое пространство
• марковское ядро
• Монада (теория категорий)
• Монада (функциональное программирование)
• Категория измеримых пространств
• Категория ядер Маркова
• Категориальная вероятность

Цитаты

1. Жири (1982)
2. Avery (2016), стр. 1231–1234
3. Jacobs (2018), стр. 205–106
4. Фриц (2020), стр. 19–23
5. Moss & Perrone (2022), стр. 3–4
6. Жири (1982), стр. 69
7. Риль (2016)
8. Перроне (2024)
9. Перроне (2024), стр. 238
10. Жири (1982), стр. 71
11. Доберкат (2006), стр. 1772–1776.

Ссылки

• Жири, Мишель (1982). «Категорный подход к теории вероятностей». Категориальные аспекты топологии и анализа . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 915. Springer. pp. 68–85. doi :10.1007/BFb0092872. ISBN 978-3-540-11211-2.

• Доберкат, Эрнст-Эрих (2006). «Алгебры Эйленберга-Мура для стохастических отношений». Информация и вычисления . 204 (12): 1756–1781. дои : 10.1016/j.ic.2006.09.001.

• Avery, Tom (2016). «Codensity and the Giry monad». Журнал чистой и прикладной алгебры . 220 (3): 1229–1251. arXiv : 1410.4432 . doi : 10.1016/j.jpaa.2015.08.017. S2CID  119695729.

• Якобс, Барт (2018). «От вероятностных монад к коммутативным эффектам». Журнал логических и алгебраических методов в программировании . 94 : 200–237. doi :10.1016/j.jlamp.2016.11.006. hdl : 2066/182000 .

• Фриц, Тобиас (2020). «Синтетический подход к марковским ядрам, условной независимости и теоремам о достаточных статистиках». Успехи математики . 370. arXiv : 1908.07021 . doi : 10.1016/j.aim.2020.107239. S2CID  201103837.

• Мосс, Шон; Перроне, Паоло (2022). «Вероятностные монады с подмонадами детерминированных состояний». LICS '22: Труды 37-го ежегодного симпозиума ACM/IEEE по логике в компьютерных науках . arXiv : 2204.07003 . doi : 10.1145/3531130.3533355.

• Риль, Эмили (2016). "Глава 5. Монады и их алгебры". Теория категорий в контексте. Дувр. ISBN 978-0486809038.

• Перроне, Паоло (2024). "Глава 5. Монады и комонады". Начальная теория категорий . World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.

Дальнейшее чтение

• Монады вероятности, мер и оценок в nLab .
• https://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

Внешние ссылки

• Что такое вероятностная монада?, видеоурок.