Категория ядер Маркова

Определение и свойства категории ядер Маркова, более подробно, чем в разделе "Ядро Маркова".

В математике категория ядер Маркова , часто обозначаемая как Stoch , — это категория , объектами которой являются измеримые пространства , а морфизмами — ядра Маркова . ^{[1] [2] [3] [4]} Она аналогична категории множеств и функций , но стрелки в ней можно интерпретировать как стохастические .

В литературе используется несколько вариантов этой категории. Например, можно использовать ядра субвероятности ^[5] вместо ядер вероятности или более общие s-конечные ядра. ^[6] Также можно взять в качестве морфизмов классы эквивалентности ядер Маркова при почти наверное равенстве ; ^[7] см. ниже.

Определение

Напомним, что марковское ядро ​​между измеримыми пространствами и представляет собой присвоение , которое измеримо как функция на и которое является вероятностной мерой на . ^[4] Мы обозначаем его значения через для и , что предполагает интерпретацию как условную вероятность . ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle k:X\times {\mathcal {G}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle k(B|x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

Категория Stoch имеет: ^[4]

• Как объекты , измеримые пространства ;
• Как морфизмы , ядра Маркова между ними;
• Для каждого измеримого пространства морфизм тождества задается ядром ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \delta (A|x)=1_{A}(x)={\begin{cases}1&x\in A;\\0&x\notin A\end{cases}}}$

для всех и ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

• При заданных ядрах и составной морфизм задается выражением ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle h:(Y,{\mathcal {G}})\to (Z,{\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle h\circ k:(X,{\mathcal {F}})\to (Z,{\mathcal {H}})}$

${\displaystyle (h\circ k)(C|x)=\int _{Y}h(C|y)\,k(dy|x)}$

для всех и . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {H}}}$

Эту формулу состава иногда называют уравнением Чепмена-Колмогорова . ^[4]

Эта композиция унитальна и ассоциативна по теореме о монотонной сходимости , так что действительно имеется категория .

Основные свойства

Вероятностные меры

Конечным объектом Стоха является одноточечное пространство . ^[4] Морфизмы в форме можно эквивалентно рассматривать как вероятностные меры на , поскольку они соответствуют функциям , т.е. элементам . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 1\to PX}$ ${\displaystyle PX}$

При наличии ядер и составное ядро ​​дает вероятностную меру со значениями ${\displaystyle p:1\to X}$ ${\displaystyle k:X\to Y}$ ${\displaystyle k\circ p:1\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle (k\circ p)(B)=\int _{X}k(B|x)\,p(dx),}$

для каждого измеримого подмножества . [ ^7] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

При заданных вероятностных пространствах и сохраняющее меру марковское ядро ​​— это марковское ядро, такое что для каждого измеримого подмножества [ ^7] ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},p)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},q)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},p)\to (Y,{\mathcal {G}},q)}$ ${\displaystyle k:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle q(B)=\int _{X}k(B|x)\,p(dx).}$

Вероятностные пространства и сохраняющие меру марковские ядра образуют категорию , которую можно рассматривать как категорию среза . ${\displaystyle (\mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(1,-),\mathrm {Stoch} )}$

Измеримые функции

Каждая измеримая функция канонически определяет марковское ядро ​​следующим образом: ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle \delta _{f}:(X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})}$

${\displaystyle \delta _{f}(B|x)=1_{B}(f(x))={\begin{cases}1&f(x)\in B;\\0&f(x)\notin B\end{cases}}}$

для каждого и каждого . Эта конструкция сохраняет тождества и композиции и, следовательно, является функтором из Meas в Stoch . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

Изоморфизмы

По функториальности каждый изоморфизм измеримых пространств (в категории Meas ) индуцирует изоморфизм в Stoch . Однако в Stoch имеется больше изоморфизмов, и в частности, измеримые пространства могут быть изоморфны в Stoch, даже когда базовые множества не находятся во взаимной однозначности.

Связь с другими категориями

• Stoch — это категория Клейсли монады Жири . [ ^{3] [4]} Это, в частности, подразумевает, что существует присоединение

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(X,Y)\cong \mathrm {Hom} _{\mathrm {Meas} }(X,PY)}$

между Стохом и категорией измеримых пространств .

• Левый сопряженный элемент приведенного выше присоединения является тождеством на объектах, а на морфизмах он дает каноническое марковское ядро, индуцированное измеримой функцией, описанной выше. ${\displaystyle L:\mathrm {Meas} \to \mathrm {Stoch} }$

• Как упоминалось выше, можно построить категорию вероятностных пространств и ядер Маркова, сохраняющих меру, как категорию среза . ${\displaystyle (\mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(1,-),\mathrm {Stoch} )}$

• Аналогично категорию вероятностных пространств можно рассматривать как категорию запятой . ${\displaystyle (\mathrm {Hom} _{\mathrm {Stoch} }(1,-),L)}$

Частные пределы и копределы

Так как функтор является левым сопряженным , он сохраняет копределы . ^[8] Из-за этого все копределы в категории измеримых пространств также являются копределами в Stoch . Например, ${\displaystyle L:\mathrm {Meas} \to \mathrm {Stoch} }$

• Исходным объектом является пустое множество с его тривиальной измеримой структурой;
• Копроизведение задается несвязным объединением измеримых пространств с его канонической сигма-алгеброй .
• Последовательный копредел убывающей фильтрации задается пересечением сигма-алгебр.

В общем случае функтор не сохраняет пределы . Это, в частности, подразумевает, что произведение измеримых пространств не является произведением в Stoch в общем случае. Поскольку монада Жири моноидальна , произведение измеримых пространств все еще делает Stoch моноидальной категорией . [ ^4] ${\displaystyle L}$

Пределом особой значимости для теории вероятностей является теорема де Финетти , которую можно интерпретировать как тот факт, что пространство вероятностных мер ( монада Жири ) является пределом в Стохе диаграммы , образованной конечными перестановками последовательностей.

Почти уверенная версия

Иногда полезно рассматривать ядра Маркова только до почти наверняка равенства , например, когда речь идет о распадах или об обычной условной вероятности .

При наличии вероятностных пространств и мы говорим, что два сохраняющих меру ядра почти наверняка равны тогда и только тогда, когда для каждого измеримого подмножества , ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},p)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {G}},q)}$ ${\displaystyle k,h:(X,{\mathcal {F}},p)\to (Y,{\mathcal {G}},q)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle k(B|x)=h(B|x)}$

для -почти всех . ^[7] Это определяет отношение эквивалентности на множестве ядер Маркова, сохраняющих меру . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k,h:(X,{\mathcal {F}},p)\to (Y,{\mathcal {G}},q)}$

Вероятностные пространства и классы эквивалентности ядер Маркова при определенном выше отношении образуют категорию . При ограничении стандартными борелевскими вероятностными пространствами категория часто обозначается как Krn . ^[7]

Смотрите также

• Измеримое пространство
• марковское ядро
• Категориальная вероятность

Цитаты

1. Ловер (1962)
2. Ченцов (1965)
3. Giry (1982), стр. 69
4. Фриц (2020), стр. 19–21.
5. Панангаден (1999), стр. 4
6. Калленберг (2017)
7. Dahlqvist et al. (2018), с. 3
8. Риль (2016), стр. 140

Ссылки

• Ловер, Ф. В. (1962). «Категория вероятностных отображений» (PDF) .
• Ченцов, Н. Н. (1965). «Категории математической статистики». Докл. АН СССР . 164 .
• Жири, Мишель (1982). «Категорный подход к теории вероятностей». Категориальные аспекты топологии и анализа . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 915. Springer. pp. 68–85. doi :10.1007/BFb0092872. ISBN 978-3-540-11211-2.
• Panangaden, Prakash (1999). «Категория ядер Маркова». Electronic Notes in Theoretical Computer Science . 22 : 171–187. doi : 10.1016/S1571-0661(05)80602-4 .
• Риль, Эмили (2016). Теория категорий в контексте. Дувр. ISBN 9780486809038.
• Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения. Теория вероятностей и стохастическое моделирование. Том 77. Springer. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
• Дальквист, Фредрик; Данос, Винсент; Гарнье, Илиас; Сильва, Александра (2018). «Борелевские ядра и их аппроксимация, категориально». MFPS 2018: Труды конференции «Математические основы семантики программирования » . arXiv : 1803.02651 .
• Фриц, Тобиас (2020). «Синтетический подход к марковским ядрам, условной независимости и теоремам о достаточных статистиках». Успехи математики . 370. arXiv : 1908.07021 . doi : 10.1016/j.aim.2020.107239. S2CID  201103837.

Дальнейшее чтение

• https://ncatlab.org/nlab/show/Stoch
• https://ncatlab.org/nlab/show/Krn