В математике морфизм — это понятие теории категорий , которое обобщает сохраняющие структуру отображения , такие как гомоморфизм между алгебраическими структурами , функции из множества в другое множество и непрерывные функции между топологическими пространствами . Хотя многие примеры морфизмов являются сохраняющими структуру отображениями, морфизмы не обязательно должны быть отображениями, но они могут быть составлены способом, аналогичным композиции функций .
Морфизмы и объекты являются составляющими категории . Морфизмы, также называемые картами или стрелками , связывают два объекта, называемые источником и целью морфизма. Существует частичная операция , называемая композицией , на морфизмах категории, которая определяется, если цель первого объекта равна источнику второго объекта. Композиция морфизмов ведет себя как композиция функций ( ассоциативность композиции, когда она определена, и существование тождественного морфизма для каждого объекта).
Морфизмы и категории повторяются во многих разделах современной математики. Первоначально они были введены для гомологической алгебры и алгебраической топологии . Они принадлежат к основополагающим инструментам теории схем Гротендика , обобщения алгебраической геометрии , применимого также к алгебраической теории чисел .
Категория C состоит из двух классов , один из объектов и другой из морфизмов . С каждым морфизмом связано два объекта: источник и цель . Морфизм f из X в Y — это морфизм с источником X и целью Y ; его обычно записывают как f : X → Y или X Y последняя форма лучше подходит для коммутативных диаграмм .
Для многих общих категорий объекты являются множествами (часто с некоторой дополнительной структурой), а морфизмы являются функциями от одного объекта к другому. Поэтому источник и цель морфизма часто называютсядомен икодомен соответственно.
Морфизмы снабжены частичной бинарной операцией , называемой композицией . Композиция двух морфизмов f и g определяется точно, когда цель f является источником g , и обозначается g ∘ f (или иногда просто gf ). Источник g ∘ f является источником f , а цель g ∘ f является целью g . Композиция удовлетворяет двум аксиомам :
Для конкретной категории (категории, в которой объекты являются множествами, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы являются функциями, сохраняющими структуру), морфизм тождества — это просто функция тождества , а композиция — это просто обычная композиция функций .
Композиция морфизмов часто представляется коммутативной диаграммой . Например,
Совокупность всех морфизмов из X в Y обозначается Hom C ( X , Y ) или просто Hom( X , Y ) и называется hom-множеством между X и Y . Некоторые авторы пишут Mor C ( X , Y ) , Mor( X , Y ) или C( X , Y ) . Термин hom-множество является не совсем правильным, так как совокупность морфизмов не обязательно должна быть множеством; категория, в которой Hom( X , Y ) является множеством для всех объектов X и Y , называется локально малым . Поскольку hom-множества могут не быть множествами, некоторые люди предпочитают использовать термин «hom-класс».
Домен и кодомен на самом деле являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категории множеств , где морфизмы являются функциями, две функции могут быть идентичны как наборы упорядоченных пар (могут иметь один и тот же диапазон ), имея при этом разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom( X , Y ) были непересекающимися . На практике это не проблема, поскольку если эта непересекаемость не выполняется, ее можно обеспечить, добавив домен и кодомен к морфизмам (скажем, как второй и третий компоненты упорядоченной тройки).
Морфизм f : X → Y называется мономорфизмом , если f ∘ g 1 = f ∘ g 2 влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : Z → X . Мономорфизм можно назвать моно для краткости, и мы можем использовать monic как прилагательное. [1] Морфизм f имеет левый обратный или является расщепляющим мономорфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что g ∘ f = id X . Таким образом, f ∘ g : Y → Y является идемпотентным ; то есть, ( f ∘ g ) 2 = f ∘ ( g ∘ f ) ∘ g = f ∘ g . Левый обратный g также называется ретракцией f . [1 ]
Морфизмы с левыми обратными всегда являются мономорфизмами, но обратное в общем случае неверно; мономорфизм может не иметь левого обратного. В конкретных категориях функция, имеющая левый обратный, является инъективной . Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие быть инъекцией сильнее, чем условие быть мономорфизмом, но слабее, чем условие быть расщепляемым мономорфизмом.
Двойственно мономорфизмам, морфизм f : X → Y называется эпиморфизмом, если g 1 ∘ f = g 2 ∘ f влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : Y → Z . Эпиморфизм можно назвать эпиморфизмом для краткости, и мы можем использовать эпический как прилагательное. [1] Морфизм f имеет правый обратный или является расщепляющим эпиморфизмом, если существует морфизм g : Y → X такой, что f ∘ g = id Y . Правый обратный g также называется секцией f . [1] Морфизмы , имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но обратное в общем случае неверно, так как эпиморфизм может не иметь правого обратного.
Если мономорфизм f расщепляется с левым обратным g , то g является расщепляющим эпиморфизмом с правым обратным f . В конкретных категориях функция, имеющая правую обратную, является сюръективной . Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, являются сюръективными. Условие быть сюръекцией сильнее, чем условие быть эпиморфизмом, но слабее, чем условие быть расщепляющим эпиморфизмом. В категории множеств утверждение о том, что каждая сюръекция имеет секцию, эквивалентно аксиоме выбора .
Морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизмом .
Морфизм f : X → Y называется изоморфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что f ∘ g = id Y и g ∘ f = id X . Если морфизм имеет как левообратный, так и правообратный, то два обратных равны, поэтому f является изоморфизмом, а g называется просто обратным к f . Обратные морфизмы, если они существуют, уникальны. Обратный g также является изоморфизмом с обратным f . Два объекта с изоморфизмом между ними называются изоморфными или эквивалентными.
В то время как каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативных колец включение Z → Q является биморфизмом, который не является изоморфизмом. Однако любой морфизм, который является как эпиморфизмом, так и расщепляющим мономорфизмом, или как мономорфизмом, так и расщепляющим эпиморфизмом, должен быть изоморфизмом. Категория, такая как Set , в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, известна как сбалансированная категория .
Морфизм f : X → X (то есть морфизм с идентичными источником и целью) является эндоморфизмом X . Расщепляющий эндоморфизм является идемпотентным эндоморфизмом f , если f допускает разложение f = h ∘ g с g ∘ h = id . В частности, оболочка Каруби категории расщепляет каждый идемпотентный морфизм.
Автоморфизм — это морфизм, который является как эндоморфизмом, так и изоморфизмом. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группу , называемую группой автоморфизмов объекта.
Дополнительные примеры см. в разделе Теория категорий .