Мультипликативная функция

Функция, равная произведению своих значений на взаимно простые множители

В теории чисел мультипликативная функция — это арифметическая функция f ( n ) положительного целого числа n , обладающая тем свойством, что f (1) = 1 и

$${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$

abпросты

Арифметическая функция f ( n ) называется полностью мультипликативной (или полностью мультипликативной ), если f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех натуральных чисел a и b , даже когда они не взаимнопросты.

Примеры

Некоторые мультипликативные функции определены для упрощения написания формул:

• 1( n ): постоянная функция, определяемая формулой 1( n ) = 1 (полностью мультипликативная)
• Id( n ): тождественная функция , определяемая Id( n ) = n (полностью мультипликативная)
• Id _k ( n ): степенные функции, определяемые формулой Id ^k ₍ n ) = nk для любого комплексного числа k (полностью мультипликативного). В качестве особых случаев мы имеем
  • Id ₀ ( n ) = 1 ( n ) и
  • Ид ₁ ( п ) = Ид ( п ).
• ε ( n ): функция, определяемая формулой ε ( n ) = 1, если n = 1 и 0 в противном случае, иногда называемая единицей умножения для свертки Дирихле или просто единичной функцией (полностью мультипликативной). Иногда пишется как u ( n ), но не путать с µ ( n ).
• 1 _C ( n ), индикаторная функция множества C ⊂ Z , для некоторых множеств C. Индикаторная функция 1 _C ( n ) является мультипликативной именно тогда, когда множество C обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел a и b : произведение ab находится в C тогда и только тогда, когда числа a и b сами находятся в C. Это тот случай, если C — это набор квадратов, кубов или k -й степени, или если C — это набор чисел без квадратов .

Другие примеры мультипликативных функций включают множество важных функций в теории чисел, таких как:

• gcd( n , k ): наибольший общий делитель n и k как функция от n , где k — фиксированное целое число .
• ${\displaystyle \varphi (n)}$: функция тотента Эйлера , подсчитывающая положительные целые числа, взаимно простые (но не большие) n. ${\displaystyle \varphi }$
• µ ( n ): функция Мёбиуса , четность (−1 для нечетного, +1 для четного) количества простых делителей чисел без квадратов ; 0, если n не является свободным от квадратов
• σ _k ( n ): функция делителя , которая представляет собой сумму k -ых степеней всех положительных делителей числа n (где k может быть любым комплексным числом ). Особые случаи у нас есть
  • σ ₀ ( n ) = d ( n ) количество положительных делителей n ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ), сумма всех положительных делителей n .
• Сумма k -ых степеней унитарных делителей обозначается σ* _k ( n ):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

• a ( n ): количество неизоморфных абелевых групп порядка n .
• λ ( n ): функция Лиувилля , λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} , где Ω( n ) — общее количество простых чисел (подсчитанных с кратностью), делящих n . (полностью мультипликативный).
• γ ( n ), определяемый формулой γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , где аддитивная функция ω ( n ) — это количество различных простых чисел, делящих n .
• τ ( n ): тау-функция Рамануджана .
• Все характеры Дирихле являются вполне мультипликативными функциями. Например
  • ( n / p ), символ Лежандра , рассматриваемый как функция от n , где p — фиксированное простое число .

Примером немультипликативной функции является арифметическая функция r ₂ ( n ) — количество представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел, положительных , отрицательных или нулевых , где при подсчете количества способов происходит обращение заказ разрешен. Например:

1 = 1 ² + 0 ² = (−1) ² + 0 ² = 0 ² + 1 ² = 0 ² + (−1) ²

и, следовательно, r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Однако r ₂ ( n )/4 мультипликативна.

В Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей последовательности значений мультипликативной функции имеют ключевое слово «мульт».

См. арифметическую функцию для некоторых других примеров немульпликативных функций.

Характеристики

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простых чисел , что является следствием основной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^a q ^b ..., то f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает необходимость вычислений, как в следующих примерах для n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :

$${\displaystyle d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$

$${\displaystyle \sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$

$${\displaystyle \sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

Аналогично у нас есть:

$${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}$$

В общем случае, если f ( n ) — мультипликативная функция и a , b — любые два положительных целых числа, то

ж ( а ) · ж ( б ) знак равно ж ( НОД ( а , б )) · ж ( lcm ( а , б )).

Всякая вполне мультипликативная функция является гомоморфизмом моноидов и полностью определяется своим ограничением на простые числа .

Свертка

Если f и g — две мультипликативные функции, определяется новая мультипликативная функция , свертка Дирихле f и g , по формуле ${\displaystyle f*g}$

$${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$

dnабелеву группуэлементε

Отношения между мультипликативными функциями, обсуждавшимися выше, включают:

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$( формула обращения Мёбиуса )
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$(обобщенная инверсия Мёбиуса)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

Свертка Дирихле может быть определена для общих арифметических функций и дает кольцевую структуру, кольцо Дирихле .

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Доказательством этого факта является следующее разложение относительно простых чисел : ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

Ряды Дирихле для некоторых мультипликативных функций

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Больше примеров показано в статье о сериях Дирихле .

Мультипликативная функция над F q [ X ]

Пусть A = F _q [ X ] — кольцо полиномов над конечным полем с q элементами. A является областью главного идеала и, следовательно, A является уникальной областью факторизации .

Комплекснозначная функция на A называется мультипликативной, если всякий раз, когда f и g взаимно просты . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

Дзета-функция и ряд Дирихле в F q [ X ]

Пусть h — полиномиальная арифметическая функция (т.е. функция на множестве монических многочленов над A ). Соответствующий ему ряд Дирихле определяется как

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$

где для set if и иначе. ${\displaystyle g\in A,}$ ${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$ ${\displaystyle g\neq 0,}$ ${\displaystyle |g|=0}$

Тогда полиномиальная дзета-функция будет равна

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

Подобно ситуации в N , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения ( произведение Эйлера ):

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$$

где произведение пробегает все монические неприводимые полиномы P . Например, представление произведения дзета-функции такое же, как и для целых чисел:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

В отличие от классической дзета-функции , является простой рациональной функцией: ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

Аналогичным образом, если f и g — две полиномиальные арифметические функции, определяется f  *  g , свертка Дирихле f и g , по формуле

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$$

где сумма ведется по всем моническим делителям d числа  m или, что то же самое, по всем парам ( a , b ) монических многочленов, произведением которых является m . Личность все еще сохраняется. ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Многомерный

Многомерные функции могут быть построены с использованием средств оценки мультипликативной модели. Где матричная функция A определяется как

$${\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}$$

сумму можно распределить по товару

$${\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}$$

Для эффективной оценки Σ (.) можно рассмотреть следующие две непараметрические регрессии :

$${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}$$

и

$${\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}$$

Таким образом, он дает оценочную стоимость

$${\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}$$

с локальной функцией правдоподобия для известных и неизвестных . ${\displaystyle y_{t}^{2}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}$

Смотрите также

• произведение Эйлера
• Серия колоколов
• Серия Ламберт

Рекомендации

• См. главу 2 книги «Апостол», Том М. (1976), «Введение в аналитическую теорию чисел» , «Тексты для студентов по математике», Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001
• Хафнер, Кристиан М.; Линтон, Оливер (2010). «Эффективная оценка многомерной мультипликативной модели волатильности» (PDF) . Журнал эконометрики . 159 (1): 55–73. doi :10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID  54812323.

Внешние ссылки

• Мультипликативная функция в PlanetMath .