Символ Наблы

Символ, используемый для обозначения оператора del

∇

Символ наблы

Набла — треугольный символ, напоминающий перевернутую греческую дельту : ^[1] или ∇. Название происходит из-за формы символа от эллинистического греческого слова νάβλα , обозначающего финикийскую арфу , ^{[2] [3]} и было предложено энциклопедистом Уильямом Робертсоном Смитом в письме 1870 года Питеру Гатри Тейту . ^{[2] [4] [5] [6] [7]} ${\displaystyle \nabla }$

Символ набла доступен в стандартном HTML как ∇и в LaTeX как \nabla. В Юникоде это символ с кодовой точкой U+2207 или 8711 в десятичной записи в блоке «Математические операторы» .

Его еще называют дель .

История

Арфа , инструмент, в честь которого назван символ набла .

Дифференциальный оператор , заданный в декартовых координатах в трехмерном евклидовом пространстве формулой ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$

был введен в 1837 году ирландским математиком и физиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который назвал его ◁. ^[8] (Первоначально единичные векторы были правыми версорами в кватернионах Гамильтона .) Математика ∇ получила свое полное изложение в руках П.Г. Тейта . ^{[9] [10]} ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$

Получив предложение Смита, Тейт и Джеймс Клерк Максвелл в своей обширной частной переписке называли оператора набла; большинство этих упоминаний носят юмористический характер. К.Г. Нотт. Жизнь и научная деятельность Питера Гатри Тейта (стр. 145): ^[5]

Вероятно, именно нежелание Максвелла использовать термин «Набла» в серьезных трудах помешало Тейту ввести это слово раньше, чем он это сделал. Единственное опубликованное использование этого слова Максвеллом находится в названии его юмористической Тиндаллической оды, посвященной «Главному музыканту Наблы», то есть Тейту.

Уильям Томсон (лорд Кельвин) представил этот термин американской аудитории в лекции 1884 года; ^[2] записи были опубликованы в Великобритании и США в 1904 году. ^[11]

Это имя признано и подвергнуто критике Оливером Хевисайдом в 1891 году: ^[12]

Фиктивный вектор ∇, заданный формулой

${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} \nabla _{1}+\mathbf {j} \nabla _{2}+\mathbf {k} \nabla _{3}=\mathbf {i} {\frac {d}{dx}}+\mathbf {j} {\frac {d}{dy}}+\mathbf {k} {\frac {d}{dz}}}$

очень важно . Физическая математика во многом является математикой ∇. Поэтому имя Набла кажется смехотворно неэффективным.

Хевисайду и Джозайе Уилларду Гиббсу (независимо) приписывают разработку наиболее популярной сегодня версии векторного исчисления. ^[13]

Влиятельный текст 1901 года «Векторный анализ» , написанный Эдвином Бидвеллом Уилсоном и основанный на лекциях Гиббса, защищает название «дель»: ^[14]

Этот символический оператор ∇ был введен сэром У. Р. Гамильтоном и сейчас широко используется. Однако, по-видимому, для него не существует общепризнанного названия, хотя из-за частого появления этого символа какое-то название является практической необходимостью. Опытным путем установлено, что односложное слово del настолько коротко и легко произноситься, что даже в сложных формулах, в которых ∇ встречается несколько раз, повторение не причиняет никакого неудобства ни говорящему, ни слушающему. ∇ V читается просто как «дель V ».

Эта книга ответственна за форму, в которой сейчас обычно выражается математика рассматриваемого оператора — особенно в учебниках для студентов по физике и особенно по электродинамике.

Современное использование

Набла используется в векторном исчислении как часть трех различных дифференциальных операторов: градиента (∇), дивергенции (∇⋅) и ротора (∇×). Последний из них использует векторное произведение и поэтому имеет смысл только в трех измерениях; первые два являются полностью общими. Все они изначально изучались в контексте классической теории электромагнетизма, и современные университетские учебные программы по физике обычно рассматривают материал, приблизительно используя концепции и обозначения, найденные в « Векторном анализе» Гиббса и Уилсона .

Этот символ также используется в дифференциальной геометрии для обозначения связи .

Символ той же формы, хотя, предположительно, не связанный генеалогически, появляется и в других областях, например:

• Как отношение «все» , особенно в теории решеток .
• В качестве оператора обратной разности в исчислении конечных разностей .
• В качестве расширяющего оператора, оператора, который позволяет статическому анализу программ завершиться за конечное время, в области абстрактной интерпретации информатики .
• В качестве маркера определения функции и самоссылки ( рекурсии ) в языке программирования APL.
• Как показатель неопределенности в философской логике . ^[15]
• В военно-морском строении (корабельном проектировании) для обозначения объёмного водоизмещения корабля или другого водного судна; графически подобная дельта используется для обозначения водоизмещения (общий вес воды, вытесненной кораблем), таким образом, где – плотность морской воды. ${\displaystyle \nabla =\Delta /\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

Смотрите также

• Дель , рассматривая математику векторного дифференциального оператора
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• grad , div и curl — дифференциальные операторы, определенные с помощью nabla
• История кватернионов
• Обозначения для дифференцирования
• Ковариантная производная , также известная как связь
• Невель ^[7]

Сноски

1. новогреческом языке это называется анадельта (ανάδελτα) .
2. "набла" . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
3. νάβλα. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей» .
4. Письмо Смита Тейту, 10 ноября 1870 г.:

   Дорогой сэр, имя, которое я предлагаю для ∇, - это, как вы помните, Набла... В греческом языке основная форма - ναβλᾰ... Что касается этой вещи, то это своего рода арфа, и Иероним и другие авторитеты говорят, что она имели фигуру ∇ (перевернутую Δ).

   Цитируется из статьи «набла» в Оксфордском словаре английского языка.
5. Каргилл Гилстон Нотт (1911). Жизнь и научная деятельность Питера Гатри Тейта. Издательство Кембриджского университета.
6. «История Наблы».
7. Примечательно, что иногда утверждается, что оно происходит от еврейского невела ( נֶבֶל ) - как в Книге Исаии, 5-я глава, 12-е предложение: «וְהָיָה כִנּוֹר וָ נֶבֶל תֹּף וְחָלִיל וָיַיִן מִשְׁתֵּיהֶם וְאֵת פֹּעַל יְהוָה לֹא יַבִּיטוּ וּמַעֲשֵׂ ָדָיו לֹא רָאוּ" — , но эта этимология ошибочна; Греческое νάβλα происходит от финикийского, которому является родственным נֶבֶל. См.: «набле» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации.)
8. WR Hamilton, «О различиях и дифференциалах функций нуля», Trans. Р. Ирландский академик. XVII: 235–236 особенно. 236 (1837)
9. Нотт, стр. 142–143: «Однако, несомненно, великой работой Тейта была разработка мощного оператора ∇. Гамильтон представил этот дифференциальный оператор в его полудекартовой трехчленной форме на странице 610 своих лекций и указал на его влияние на как скалярная, так и векторная величина... Однако ни в «Лекциях» , ни в « Началах» теория не развита. Это было сделано Тейтом во втором издании его книги (∇ немногим больше, чем упоминается в первом издании ) и гораздо полнее в третьем и последнем издании».
10. PG Tait (1890) Элементарный трактат о кватернионах, издание 3, Интернет-архив.
11. Уильям Томсон, лорд Кельвин (1904). Балтиморские лекции по молекулярной динамике и волновой теории света. Я взял на себя смелость спросить профессора Болла два дня назад, есть ли у него название для этого символа ∇ ² , и он упомянул мне набла , юмористическое предложение Максвелла . Это название египетской арфы такой формы. Я не знаю, что это плохое имя для него. Лаплас мне не нравится по нескольким причинам как историческим, так и фонетическим. [Ян. 22 1892. С 1884 года я не нашел ничего лучшего и теперь называю это лапласовским.]Когда это написано, он, кажется, называет лапласиан ∇ ² «наблой», но в лекции, по-видимому, имел в виду сам ∇.
12. Хевисайд (1891), О силах, напряжениях и потоках энергии в электромагнитном поле. Напечатано в «Философских трудах Королевского общества» , 1892 г.
13. Майкл Дж. Кроу (1967). История векторного анализа .
14. Гиббс; Уилсон (1901). Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков, основанный на лекциях Дж. Уилларда Гиббса Эдвина Бидвелла Уилсона.
15. Например, в Энтони Эверетте (2013), Несуществующее , с. 210:

    Мы можем представить случаи этой формы, случаи, когда неясно, является ли f : a = b фиктивным , следующим образом:

    (А) ∇[ ^{ж а} знак равно б ] ^ж .

    Здесь скобки и верхний индекс f s вместе служат для обозначения фиктивности; таким образом, набла говорит: «Неизвестно, так ли это», а остальное говорит: « a = b (фиктивно)».

Внешние ссылки

• Арнольд Ноймайер (2004). «История Наблы».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). «История Наблы». Дайджест НС, том 98, выпуск 03. netlib.org.
• Миллер, Джефф. «Самое раннее использование символов исчисления».
• Тай, Чен. Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994).