Наблюдаемый

Любая сущность, которая может быть измерена

В физике наблюдаемая — это физическое свойство или физическая величина , которые можно измерить . В классической механике наблюдаемая — это действительно значимая «функция» на множестве всех возможных состояний системы, например, положения и импульса . В квантовой механике наблюдаемая — это оператор , или калибровка , где свойство квантового состояния может быть определено некоторой последовательностью операций . Например, эти операции могут включать в себя воздействие на систему различных электромагнитных полей и в конечном итоге считывание значения.

Физически значимые наблюдаемые должны также удовлетворять законам преобразования , которые связывают наблюдения, выполненные разными наблюдателями в разных системах отсчета . Эти законы преобразования являются автоморфизмами пространства состояний , то есть биективными преобразованиями , которые сохраняют определенные математические свойства рассматриваемого пространства.

Квантовая механика

В квантовой механике наблюдаемые проявляются как самосопряженные операторы в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , представляющем квантовое пространство состояний . ^[1] Наблюдаемые присваивают значения результатам конкретных измерений , соответствующим собственным значениям оператора. Если эти результаты представляют физически допустимые состояния (т. е. те, которые принадлежат гильбертовому пространству), собственные значения являются действительными ; однако обратное не обязательно верно. ^{[2] [3] [4]} Как следствие, только определенные измерения могут определить значение наблюдаемой для некоторого состояния квантовой системы. В классической механике любое измерение может быть выполнено для определения значения наблюдаемой.

Связь между состоянием квантовой системы и значением наблюдаемой требует некоторой линейной алгебры для ее описания. В математической формулировке квантовой механики , с точностью до фазовой константы , чистые состояния задаются ненулевыми векторами в гильбертовом пространстве V . Два вектора v и w считаются определяющими одно и то же состояние тогда и только тогда, когда для некоторого ненулевого . Наблюдаемые задаются самосопряженными операторами на V . Не каждый самосопряженный оператор соответствует физически значимой наблюдаемой. ^{[5] [6] [7] [8]} Кроме того, не все физические наблюдаемые связаны с нетривиальными самосопряженными операторами. Например, в квантовой теории масса появляется как параметр в гамильтониане, а не как нетривиальный оператор. ^[9] ${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

В случае законов преобразования в квантовой механике требуемые автоморфизмы являются унитарными (или антиунитарными ) линейными преобразованиями гильбертова пространства V. В теории относительности Галилея или специальной теории относительности математика систем отсчёта особенно проста, что существенно ограничивает набор физически значимых наблюдаемых.

В квантовой механике измерение наблюдаемых демонстрирует некоторые, казалось бы, неинтуитивные свойства. В частности, если система находится в состоянии, описываемом вектором в гильбертовом пространстве , процесс измерения влияет на состояние недетерминированным, но статистически предсказуемым образом. В частности, после применения измерения описание состояния одним вектором может быть разрушено, заменившись статистическим ансамблем . Необратимая природа операций измерения в квантовой физике иногда называется проблемой измерения и математически описывается квантовыми операциями . По структуре квантовых операций это описание математически эквивалентно тому, что предлагается относительной интерпретацией состояния , где исходная система рассматривается как подсистема более крупной системы, а состояние исходной системы задается частичным следом состояния более крупной системы.

В квантовой механике динамические переменные , такие как положение, поступательный (линейный) импульс , орбитальный угловой момент , спин и полный угловой момент связаны с самосопряженным оператором , который действует на состояние квантовой системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям, которые динамическая переменная может иметь, как можно наблюдать. Например, предположим, что является собственным вектором наблюдаемой с собственным значением и существует в гильбертовом пространстве . Тогда ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$$

Это уравнение собственных значений говорит, что если измерение наблюдаемой производится, когда интересующая система находится в состоянии , то наблюдаемое значение этого конкретного измерения должно возвращать собственное значение с уверенностью. Однако, если интересующая система находится в общем состоянии (и и являются единичными векторами , а собственное пространство одномерно ), то собственное значение возвращается с вероятностью , по правилу Борна . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}}$

Совместимые и несовместимые наблюдаемые в квантовой механике

Решающее различие между классическими величинами и квантово-механическими наблюдаемыми заключается в том, что некоторые пары квантовых наблюдаемых не могут быть одновременно измеримы, свойство, называемое дополнительностью . Это математически выражается некоммутативностью соответствующих им операторов, в том смысле, что коммутатор $${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.}$$

Это неравенство выражает зависимость результатов измерений от порядка, в котором производятся измерения наблюдаемых и . Измерение изменяет квантовое состояние таким образом, который несовместим с последующим измерением и наоборот. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Наблюдаемые, соответствующие коммутирующим операторам, называются совместимыми наблюдаемыми . Например, импульс вдоль, скажем, оси и являются совместимыми. Наблюдаемые, соответствующие некоммутирующим операторам, называются несовместимыми наблюдаемыми или дополнительными переменными . Например, положение и импульс вдоль одной и той же оси являются несовместимыми. ^{[10] : 155} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Несовместимые наблюдаемые не могут иметь полный набор общих собственных функций . Обратите внимание, что могут быть некоторые одновременные собственные векторы и , но их недостаточно для того, чтобы составить полный базис . ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Смотрите также

• Мера (физика)
• Наблюдаемая вселенная
• Наблюдатель (квантовая физика)
• Таблица операторов QM
• Ненаблюдаемый

Ссылки

1. Тешль 2014, стр. 65–66.
2. См. страницу 20 лекций Роберта Литтлджона № 1, архивированных 29 августа 2023 г. на Wayback Machine , где приводится математическое обсуждение с использованием оператора импульса в качестве конкретного примера.
3. де ла Мадрид Модино 2001, стр. 95–97.
4. Баллентайн, Лесли (2015). Квантовая механика: современное развитие (2-е изд.). World Scientific. стр. 49. ISBN 978-9814578578.
5. Ишем, Кристофер (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы. World Scientific. стр. 87–88. ISBN 191129802X.
6. Макки, Джордж Уайтлоу (1963), Математические основы квантовой механики , Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
7. Эмч, Джерард Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
8. "Не все самосопряженные операторы являются наблюдаемыми?". Physics Stack Exchange . Получено 11 февраля 2022 г. .
9. Ишем, Кристофер (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы. World Scientific. стр. 87–88. ISBN 191129802X.
10. Мессия, Альберт (1966). Квантовая механика . Северная Голландия, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244.
11. Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в квантовую механику. Cambridge University Press. стр. 111. ISBN 978-1-107-17986-8.
12. Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ 2019, с. 232.

Дальнейшее чтение

• Auyang, Sunny Y. (1995). Как возможна квантовая теория поля? . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0195093452.
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2019). Квантовая механика, Том 1 . Вайнхайм: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-34553-3.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Квантовая механика на языке оснастки гильбертова пространства (диссертация на соискание степени доктора философии). Universidad de Valladolid.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-1704-8.
• фон Нейман, Джон (1996). Математические основы квантовой механики . Перевод Роберта Т. Бейера (12-е издание, 1-е издание в мягкой обложке). Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press. ISBN 978-0691028934.
• Варадараджан, ВС (2007). Геометрия квантовой теории (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 9780387493862.
• Weyl, Hermann (2009). «Приложение C: Квантовая физика и причинность». Философия математики и естествознания . Исправленное и дополненное английское издание на основе перевода Олафа Хельмера. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 253–265. ISBN 9780691141206.
• Моретти, Вальтер (2017). Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3319707068.
• Моретти, Вальтер (2019). Фундаментальные математические структуры квантовой теории: спектральная теория, фундаментальные вопросы, симметрии, алгебраическая формулировка. Springer. ISBN 978-3030183462.