Уравнения Ньютона-Эйлера

В классической механике уравнения Ньютона -Эйлера описывают комбинированную поступательную и вращательную динамику твердого тела . ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Традиционно уравнения Ньютона-Эйлера представляют собой объединение двух законов движения Эйлера для твердого тела в одно уравнение с 6 компонентами, использующее векторы-столбцы и матрицы . Эти законы связывают движение центра тяжести твердого тела с суммой сил и крутящих моментов (или, как их еще называют, моментов ), действующих на твердое тело.

Центр масс кадра

Относительно системы координат , начало которой совпадает с центром масс тела для τ ( крутящего момента ) и инерциальной системы отсчета для F ( силы ), они могут быть выражены в матричной форме следующим образом:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

где

F = полная сила, действующая на центр масс

m = масса тела

I _{3 =} единичная матрица 3×3

а _см = ускорение центра масс

v _см = скорость центра масс

τ = полный крутящий момент, действующий относительно центра масс

I _см = момент инерции относительно центра масс

ω = угловая скорость тела

α = угловое ускорение тела

Любая система отсчета

Относительно системы координат , расположенной в точке P , закрепленной на теле и не совпадающей с центром масс, уравнения принимают более сложный вид:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

где c — вектор от P до центра масс тела, выраженный в системе отсчета, связанной с телом, и

${\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}$

обозначают кососимметричные матрицы векторного произведения .

Левая часть уравнения, включающая сумму внешних сил и сумму внешних моментов относительно точки P, описывает пространственный гаечный ключ , см. теорию винтов .

Инерционные члены содержатся в пространственной матрице инерции

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}$

в то время как фиктивные силы содержатся в термине: ^[6]

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}$

Когда центр масс не совпадает с системой координат (то есть когда c не равно нулю), поступательное и угловое ускорения ( a и α ) связаны, так что каждое из них связано с компонентами силы и крутящего момента.

Приложения

Уравнения Ньютона–Эйлера используются в качестве основы для более сложных «многотельных» формулировок ( теория винтов ), которые описывают динамику систем твердых тел, соединенных шарнирами и другими ограничениями. Многотельные задачи могут быть решены с помощью различных численных алгоритмов. ^{[2] [6] [7]}

Смотрите также

• Законы движения Эйлера для твердого тела.
• Углы Эйлера
• Обратная динамика
• Центробежная сила
• Главные оси
• Пространственное ускорение
• Винтовая теория движения твердого тела.

Ссылки

1. Хуберт Хан (2002). Динамика твердого тела механизмов. Springer. стр. 143. ISBN 3-540-42373-7.
2. Ahmed A. Shabana (2001). Вычислительная динамика. Wiley-Interscience. стр. 379. ISBN 978-0-471-37144-1.
3. Харухико Асада, Жан-Жак Э. Слотин (1986). Анализ и управление роботами. Вили/IEEE. п. §5.1.1, с. 94. ИСБН 0-471-83029-1.
4. Роберт Х. Бишоп (2007). Мехатронные системы, датчики и приводы: основы и моделирование. CRC Press. стр. §7.4.1, §7.4.2. ISBN 978-0-8493-9258-0.
5. Мигель А. Отадуй, Минг С. Лин (2006). Высокоточная тактильная визуализация. Morgan and Claypool Publishers. стр. 24. ISBN 1-59829-114-9.
6. Рой Фезерстоун (2008). Алгоритмы динамики твердого тела. Springer. ISBN 978-0-387-74314-1.
7. Константинос А. Балафутис, Раджникант В. Патель (1991). Динамический анализ роботов-манипуляторов: декартов тензорный подход. Springer. Глава 5. ISBN 0-7923-9145-4.