Момент (физика)

Произведение расстояния и физической величины

В физике момент — это математическое выражение, включающее произведение силы и перпендикулярного расстояния от точки действия силы. Моменты обычно определяются относительно фиксированной точки отсчета и относятся к физическим величинам, расположенным на некотором расстоянии от точки отсчета. Таким образом, момент учитывает местоположение или расположение количества. Например, момент силы , часто называемый крутящим моментом , представляет собой произведение силы, действующей на объект, и расстояния от опорной точки до объекта. В принципе, любую физическую величину можно умножить на расстояние, чтобы получить момент. Обычно используемые величины включают силы, массы и распределение электрического заряда .

Разработка

В своей самой базовой форме момент — это произведение расстояния до точки, возведенного в степень, и физической величины (например, силы или электрического заряда) в этой точке:

${\displaystyle \mu _{n}=r^{n}\,Q,}$

где - физическая величина, такая как сила, приложенная в точке, или точечный заряд, или точечная масса и т. д. Если величина не сосредоточена исключительно в одной точке, момент является интегралом плотности этой величины в пространстве: ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \mu _{n}=\int r^{n}\rho (r)\,dr}$

где распределение плотности заряда, массы или любой другой рассматриваемой величины. ${\displaystyle \rho }$

Более сложные формы учитывают угловые отношения между расстоянием и физической величиной, но приведенные выше уравнения отражают существенную особенность момента, а именно наличие основного или эквивалентного члена. Это означает, что существует несколько моментов (по одному на каждое значение n ) и что момент обычно зависит от контрольной точки, от которой измеряется расстояние, хотя для определенных моментов (технически, наименьшего ненулевого момента) эта зависимость исчезает и момент становится независимым от точки отсчета. ${\displaystyle r^{n}\rho (r)}$ ${\displaystyle r}$

Каждое значение n соответствует разному моменту: 1-й момент соответствует n  = 1; 2-й момент при n  = 2 и т. д. 0-й момент ( n  = 0) иногда называют монопольным моментом ; 1-й момент ( n  = 1) иногда называют дипольным моментом , а 2-й момент ( n  = 2) иногда называют квадрупольным моментом , особенно в контексте распределения электрического заряда.

Примеры

• Момент силы , или крутящий момент , — это первый момент: , или, в более общем смысле, . ${\displaystyle \mathbf {\tau } =rF}$ ${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} }$
• Аналогично, угловой момент — это 1-й момент импульса : . Импульс сам по себе не является моментом. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$
• Электрический дипольный момент также является 1-м моментом: для двух противоположных точечных зарядов или для распределенного заряда с плотностью заряда . ${\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {d} }$ ${\textstyle \int \mathbf {r} \,\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

Моменты массы:

• Полная масса – это нулевой момент массы .
• Центр масс — это 1-й момент массы, нормированный на полную массу: для совокупности точечных масс или для объекта с распределением масс . ${\textstyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{i}m_{i}}$ ${\textstyle {\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$
• Момент инерции — это 2-й момент массы: для точечной массы, для совокупности точечных масс или для объекта с распределением масс . За точку отсчета часто (но не всегда) принимают центр масс. ${\displaystyle I=r^{2}m}$ ${\textstyle \sum _{i}r_{i}^{2}m_{i}}$ ${\textstyle \int r^{2}\rho (\mathbf {r} )\,d^{3}r}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$

Многополюсные моменты

Предполагая, что функция плотности конечна и локализована в определенной области, за пределами этой области потенциал 1/ r может быть выражен как серия сферических гармоник :

${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,d^{3}r'=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right)q_{\ell m}\,{\frac {Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$

Коэффициенты известны как мультипольные моменты и принимают форму: ${\displaystyle q_{\ell m}}$

${\displaystyle q_{\ell m}=\int (r')^{\ell }\,\rho (\mathbf {r'} )\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\varphi ')\,d^{3}r'}$

где выраженная в сферических координатах – переменная интегрирования. Более полное описание можно найти на страницах, описывающих мультипольное расширение или сферические мультипольные моменты . (Соглашения в приведенных выше уравнениях были взяты из работы Джексона ^[1] – соглашения, используемые на указанных страницах, могут немного отличаться.) ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \left(r',\varphi ',\theta '\right)}$

Когда представляет собой плотность электрического заряда, они в некотором смысле являются проекциями моментов электрического заряда: – монопольный момент; – проекции дипольного момента, – проекции квадрупольного момента и т. д. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle q_{lm}}$ ${\displaystyle q_{00}}$ ${\displaystyle q_{1m}}$ ${\displaystyle q_{2m}}$

Приложения мультипольных моментов

Мультипольное разложение применимо к 1/ r скалярным потенциалам, примеры которых включают электрический потенциал и гравитационный потенциал . Для этих потенциалов выражение можно использовать для аппроксимации напряженности поля, создаваемого локализованным распределением зарядов (или массы), путем расчета первых нескольких моментов. При достаточно большом r разумное приближение можно получить, исходя только из монопольного и дипольного моментов. Более высокая точность может быть достигнута за счет расчета моментов более высокого порядка. Расширения метода можно использовать для расчета энергий взаимодействия и межмолекулярных сил.

Этот метод также можно использовать для определения свойств неизвестного распределения . Измерения, относящиеся к мультипольным моментам, могут быть проведены и использованы для определения свойств основного распределения. Этот метод применим к небольшим объектам, таким как молекулы, ^{[2] [3]} , но также был применен и к самой Вселенной, ^[4] являясь, например, методом, используемым в экспериментах WMAP и Planck для анализа космического микроволнового фонового излучения. ${\displaystyle \rho }$

История

Рычаг в равновесии

В произведениях, которые, как полагают, происходят из Древней Греции , понятие момента упоминается словом ῥοπή ( rhopḗ , букв. «наклон») и такими составными словами, как ἰσόρροπα ( isorropa , букв. «равных наклонностей»). ^{[5] [6] [7]} Контекстом этих работ является механика и геометрия с участием рычага . ^[8] В частности, в дошедших до нас работах, приписываемых Архимеду , момент указывается в таких формулировках:

« Соизмеримые величины ( σύμμετρα μεγέθεα ) [А и В] одинаково уравновешены ( ἰσορροπέοντι ) ^[а] , если их расстояния [до центра Г, т. е. ΑΓ и ΓB] обратно пропорциональны ( ἀντιπεπονθότως ) их весам ( βά ρεσιν ).» ^{[6] [9]}

Более того, в дошедших до нас текстах, таких как «Метод механических теорем» , моменты используются для определения центра тяжести , площади и объема геометрических фигур.

В 1269 году Вильгельм Мербеке переводит на латынь различные произведения Архимеда и Евтоция . Термин ῥοπή транслитерируется как ropen . ^[6]

Около 1450 года Якоб Кремонский переводит ῥοπή в подобных текстах на латинский термин « импульс ^{» [ нужна цитация ]} ( букв. «движение» ^[10] ). Этот же термин сохранен в переводе 1501 года Джорджо Валлы , а впоследствии Франческо Мауролико , Федерико Коммандино , Гвидобальдо дель Монте , Адриана ван Роомена , Флоренс Риво , Франческо Буонамичи , Марина Мерсенна ^[5] и Галилео Галилея . Однако почему для перевода было выбрано слово «импульс» ? Одна из подсказок, по мнению Треккани , заключается в том, что momento в средневековой Италии, месте, где жили первые переводчики, в переносном смысле означал одновременно и «момент времени», и «момент веса» (небольшое количество веса, которое меняет чашу весов ). ). ^[б]

В 1554 году Франческо Мауролико уточняет латинский термин « импульс» в работе «Прологи sive проповеди» . Вот перевод с латыни на английский, сделанный Маршаллом Кладжеттом : ^[6]

«[...] равные гири на неравных расстояниях не имеют одинакового веса, но неравные гири [на этих неравных расстояниях могут] весить одинаково. Ибо гиря, подвешенная на большем расстоянии, тяжелее, что очевидно на весах . Следовательно, существует существует некий третий вид силы или третья разница величины — та, которая отличается и от тела, и от веса, — и это они называют моментом . ^[c] Следовательно, тело приобретает вес как за счет количества (т. е. размера), так и за счет качества (т. е. материал], но гиря получает свой момент от расстояния, на котором она подвешена. Поэтому, когда расстояния обратно пропорциональны гирям, моменты [гирь] равны, как показал Архимед в «Книге о равных моментах ^» . ^] Следовательно, веса или [скорее] моменты, как и другие непрерывные величины, соединяются в каком-то общем конце, то есть в чем-то общем для них обоих, например, в центре тяжести или в точке равновесия . любой груз — это та точка, которая, независимо от того, как часто и когда бы ни подвешивалось тело, всегда наклоняется перпендикулярно к универсальному центру.

Помимо тела, веса и момента, существует некая четвертая сила, которую можно назвать импульсом или силой. ^[д] Аристотель исследует ее в «Вопросах механики» , и она совершенно отлична от [трех] вышеупомянутых [степеней или величин]. [...]"

В 1586 году Саймон Стевин использует голландский термин staltwicht («припаркованный вес») для обозначения импульса в De Beghinselen Der Weeghconst .

В 1632 году Галилео Галилей публикует «Диалог о двух главных мировых системах» и использует итальянский momento во многих значениях, в том числе у своего предшественника. ^[11]

В 1643 году Томас Солсбери переводит на английский язык некоторые произведения Галилея . Салусбери переводит латинский импульс и итальянский момент на английский термин момент . ^[ф]

В 1765 году Леонард Эйлер использовал латинский термин «момент инерции» ( английский : момент инерции ) для обозначения одной из величин Христиана Гюйгенса в «Horologium Oscillatorium» . ^[12] Работа Гюйгенса 1673 года, связанная с поиском центра колебаний , была стимулирована Марином Мерсенном , который предложил ему это в 1646 году. ^{[13] [14]}

В 1811 году французский термин «момент силы» ( английский : момент силы ) по отношению к точке и плоскости используется Симеоном Дени Пуассоном в «Трактате о механике» . ^[15] Английский перевод появился в 1842 году.

В 1884 году термин крутящий момент предложил Джеймс Томсон в контексте измерения сил вращения машин (с гребными винтами и роторами ). ^{[16] [17]} Сегодня динамометр используется для измерения крутящего момента машин.

В 1893 году Карл Пирсон использовал термин n-й момент в контексте научных измерений, аппроксимирующих кривую . ^[18] Пирсон написал в ответ Джону Венну , который несколькими годами ранее заметил своеобразную закономерность, связанную с метеорологическими данными, и попросил объяснить ее причину. ^[19] В ответе Пирсона используется эта аналогия: механический «центр тяжести» — это среднее значение , а «расстояние» — это отклонение от среднего значения. Позже это переросло в моменты в математике . Аналогия между механическим понятием момента и статистической функцией, включающей сумму отклонений n- й степени, была замечена несколькими ранее, в том числе Лапласом , Крампом , Гауссом , Энке , Чубером , Кетле и Де Форестом . ^[20] ${\displaystyle \mu _{n}}$

Смотрите также

• Крутящий момент (или момент силы ), см. также статью пара (механика)
• Момент (математика)
• Механическое равновесие применяется, когда объект сбалансирован так, что сумма моментов по часовой стрелке относительно оси вращения равна сумме моментов против часовой стрелки относительно того же центра вращения.
• Момент инерции , аналог массы в обсуждениях вращательного движения. Это мера сопротивления объекта изменениям скорости его вращения. ${\displaystyle \left(I=\Sigma mr^{2}\right)}$
• Момент импульса , вращательный аналог линейного импульса . ${\displaystyle (\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} )}$
• Магнитный момент — дипольный момент, измеряющий силу и направление магнитного источника. ${\displaystyle \left(\mathbf {\mu } =I\mathbf {A} \right)}$
• Электрический дипольный момент — дипольный момент, измеряющий разницу зарядов и направление между двумя или более зарядами. Например, электрический дипольный момент между зарядами – q и q, разделенными расстоянием d , равен ${\displaystyle (\mathbf {p} =q\mathbf {d} )}$
• Изгибающий момент — момент, приводящий к изгибу элемента конструкции.
• Первый момент площади — свойство объекта, связанное с его сопротивлением сдвиговому напряжению.
• Второй момент площади — свойство объекта, связанное с его сопротивлением изгибу и отклонению.
• Полярный момент инерции — свойство объекта, связанное с его сопротивлением кручению.
• Моменты изображения , статистические свойства изображения.
• Сейсмический момент , величина, используемая для измерения силы землетрясения.
• Плазменные моменты , жидкостное описание плазмы с точки зрения плотности, скорости и давления.
• Список моментов инерции площади
• Список моментов инерции
• Многополюсное расширение
• Сферические мультипольные моменты

Примечания

1. Альтернативный перевод — «иметь равные моменты», как это использовал Франческо Мауролико в 1500-х годах. ^[6] Дословный перевод – «иметь равные наклонности».
2. Треккани пишет в своей записи в момент: «[...] alla tradizione средневековье, nella quale momentum snificava, per lo più, minima porzione di tempo, la più piccola parte dell'ora (precisamente, 1/40 di ora, un minuto e mezzo), ma anche minima quantità di peso, e quindi l’ago della bilancia (basta l’application di un momento di peso perché si rompa l’equilibrio e la bilancia tracolli in un momento);»
3. На латыни: импульс .
4. Современный перевод этой книги — «О равновесии плоскостей». Перевод «о равных моментах (плоскостей)», использованный Мауролико, также повторяется в его четырехтомной книге De momentis aequalibus («о равных моментах»), где он применяет идеи Архимеда к твердым телам.
5. На латыни: импульс или vis . Эта четвертая сила была интеллектуальным предшественником английского латинского импульса , также называемого количеством движения .
6. Это во многом соответствует другим латинским словам -entum , таким как documentum , Monumentum или Argumentum , которые на французском и английском языках превратились в документ , памятник и аргумент .

Рекомендации

1. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика , 2-е издание, Уайли, Нью-Йорк (1975). п. 137
2. Спэкман, Массачусетс (1992). «Молекулярные электрические моменты по данным рентгеновской дифракции». Химические обзоры . 92 (8): 1769–1797. дои : 10.1021/cr00016a005.
3. Диттрих и Джаятилака, Надежные измерения дипольных моментов на основе данных монокристаллической дифракции и оценка внутрикристаллического усиления , электронная плотность и химическая связь II, Теоретические исследования плотности заряда, Сталке, Д. (ред), 2012, https:/ /www.springer.com/978-3-642-30807-9
4. Бауманн, Дэниел (2009). «Лекции ТАСИ по инфляции». arXiv : 0907.5424 [геп-й].
5. Мерсенн, Марин (1634). Механики Галилеи. Париж. стр. 7–8.
6. Клагетт, Маршалл (1964–84). Архимед в средние века (5 томов в 10 томах). Мэдисон, Висконсин: Издательство Висконсинского университета, 1964; Филадельфия: Американское философское общество, 1967–1984.
7. ῥοπή. Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт ; Греко-английский лексикон в проекте «Персей»
8. Клагетт, Маршалл (1959). Наука механика в средние века . Мэдисон, Висконсин: Издательство Университета Висконсина.
9. Дейкстерхейс, EJ (1956). Архимед. Копенгаген: Э. Мунксгаард. п. 288.
10. «Момент». Оксфордский словарь английского языка . 1933 год.
11. Галлуцци, Паоло (1979). Моменто. Студи Галилеани . Рим: Edizioni dell 'Ateneo & Bizarri.
12. Эйлер, Леонард (1765). Теория движения твердых или твердых тел: Ex primis nostrae cognitionis principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere possunt, accommodata [Теория движения твердых или твердых тел: установлена ​​на основе основных принципов наших знаний и подходит для всех движений, которые может возникнуть в таких органах.] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): А. Ф. Рёзе. п. 166. ИСБН 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Определение 7. 422. Импульс инерции тела относительно eujuspiam axis est summa omnium Productorum, quae oriuntur, si Singula Corporis Elementa per Squareta Distanceiarum Suarum Ab Ax Multiplicentur». (Определение 7.422. Момент инерции тела относительно какой-либо оси есть сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадраты их расстояний от оси.)
13. Гюйгенс, Кристиан (1673). Horologium oscillatorium, sive de Motu pendulorum ad horologia aptatoдемонстрировать геометрические фигуры (на латыни). п. 91.
14. Гюйгенс, Кристиан (1977–1995). «Центр колебаний (перевод)». Перевод Махони, Майкла С. Проверено 22 мая 2022 г.
15. Пуассон, Симеон-Дени (1811). Traité de mécanique, первый том. п. 67.
16. Томпсон, Сильванус Филлипс (1893). Динамо-электрические машины: Учебное пособие для студентов-электротехников (4-е изд.). Нью-Йорк, Гарвардское издательство. п. 108.
17. Томсон, Джеймс; Лармор, Джозеф (1912). Сборник статей по физике и технике. Университетское издательство. п. гражданский
18. Пирсон, Карл (октябрь 1893 г.). «Асимметричные частотные кривые». Природа . 48 (1252): 615–616. Бибкод : 1893Natur..48..615P. дои : 10.1038/048615a0. S2CID  4057772.
19. Венн, Дж. (сентябрь 1887 г.). «Закон ошибки». Природа . 36 (931): 411–412. Бибкод : 1887Natur..36..411V. дои : 10.1038/036411c0. S2CID  4098315.
20. Уокер, Хелен М. (1929). Исследования по истории статистического метода с особым упором на некоторые проблемы образования. Балтимор, Williams & Wilkins Co. p. 71.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с моментом (физикой), на Викискладе?
• [1] Словарное определение момента.