Навигационная задача Цермело

Задача математической оптимизации

В математической оптимизации навигационная задача Цермело , предложенная в 1931 году Эрнстом Цермело , является классической задачей оптимального управления , которая касается судна, плывущего по водной глади из точки в точку назначения . Судно способно развивать определенную максимальную скорость, и цель состоит в том, чтобы получить наилучшее возможное управление, чтобы достичь цели за наименьшее возможное время. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Навигация Цермело со скоростью при постоянном ветре ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

Без учета внешних сил, таких как течение и ветер, оптимальным управлением для лодки является всегда движение к . Тогда ее путь представляет собой отрезок прямой от до , что тривиально оптимально. С учетом течения и ветра, если объединенная сила, приложенная к лодке, не равна нулю, управление при отсутствии течения и ветра не дает оптимального пути. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

История

В своей статье 1931 года ^[1] Эрнст Цермело формулирует следующую проблему:

В неограниченной плоскости, где распределение ветра задано векторным полем как функцией положения и времени, корабль движется с постоянной скоростью относительно окружающей воздушной массы. Как следует управлять кораблем, чтобы он мог добраться из исходной точки до заданной цели за кратчайшее время?

Эрнст Цермело сформулировал и решил общую задачу

Это расширение классической задачи оптимизации для геодезических линий — минимизация длины кривой, соединяющей точки и , с дополнительной сложностью учета некоторой скорости ветра. Хотя в большинстве случаев обычно невозможно найти точное решение, общий случай был решен самим Цермело в форме частного дифференциального уравнения, известного как уравнение Цермело, которое можно решить численно. ${\displaystyle I[c]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Задача управления дирижаблем, окруженным воздухом, была впервые представлена ​​в 1929 году на конференции Эрнстом Цермело. Другие математики ответили на этот вызов в последующие годы. Доминирующим методом решения уравнений является вариационное исчисление . ^[2]

Корпус с постоянным ветром

Случай постоянного ветра легко решить точно. ^[3] Пусть , и предположим, что для минимизации времени путешествия судно движется с постоянной максимальной скоростью . Таким образом, положение судна в момент времени равно . Пусть будет временем прибытия в , так что . Взяв скалярное произведение этого с и соответственно, получим и . Исключив и записав эту систему в виде квадратной в, получим . Решив это, взяв положительный квадратный корень, поскольку является положительным, мы получаем ${\displaystyle \mathbf {d} ={\vec {AB}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =t(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {d} =T(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle {\vec {d}}\cdot {\vec {w}}=T(\mathbf {v} \cdot {\vec {w}}+\mathbf {w} ^{2})}$ ${\displaystyle d^{2}=T^{2}(v^{2}+2{\vec {v}}\cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} ^{2})}$ ${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle ({\vec {v}}^{2}-{\vec {w}}^{2})T^{2}+2(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )T-\mathbf {d} ^{2}=0}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T[\mathbf {d} ]&={\frac {-2(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )\pm {\sqrt {4(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )^{2}+4\mathbf {d} ^{2}(\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2})}}}{2(\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2})}}\\[8pt]&={\sqrt {{\frac {\mathbf {d} ^{2}}{\mathbf {v} ^{2}-{\vec {w}}^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )^{2}}{({\vec {v}}^{2}-{\vec {w}}^{2})^{2}}}}}-{\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} }{\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2}}}\end{aligned}}}$

Утверждение: Это определяет метрику на при условии . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {v} |>|\mathbf {w} |}$

Доказательство

По нашему предположению, очевидно, с равенством тогда и только тогда, когда . Тривиально, если , то имеем . Осталось показать удовлетворяет неравенству треугольника ${\displaystyle T[\mathbf {d} ]\geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {d} =0}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {d} }}={\vec {BA}}}$ ${\displaystyle T[\mathbf {d} ]=T[{\tilde {\mathbf {d} }}]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T[\mathbf {d} _{1}+\mathbf {d} _{2}]\leq T[\mathbf {d} _{1}]+T[\mathbf {d} _{2}].}$

Действительно, допуская , заметим, что это верно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle c^{2}:=\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {{\frac {(\mathbf {d} _{1}+\mathbf {d} _{2})^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(({\vec {d}}_{1}+{\vec {d}}_{2})\cdot {\vec {w}})^{2}}{c^{4}}}}}-{\frac {(\mathbf {d} _{1}+\mathbf {d} _{2})\cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}\\[8pt]\leq {}&{\sqrt {{\frac {\mathbf {d} _{1}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}-{\frac {\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}+{\sqrt {{\frac {\mathbf {d} _{2}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}}}-{\frac {\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}\end{aligned}}}$

если и только если

${\displaystyle {\frac {\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )}{c^{4}}}\leq \left[{\frac {{\vec {d}}_{1}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}\right]^{1/2}\left[{\frac {{\vec {d}}_{2}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}\right]^{1/2},}$

что верно тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2})^{2}}{c^{4}}}+{\frac {2(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2})(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )}{c^{6}}}\leq {\frac {\mathbf {d} _{1}^{2}\cdot \mathbf {d} _{2}^{2}}{c^{4}}}+{\frac {\mathbf {d} _{1}^{2}(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )^{2}+\mathbf {d} _{2}^{2}(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{6}}}}$

Используя неравенство Коши–Шварца, получаем равенство тогда и только тогда, когда и линейно зависимы, и поэтому неравенство действительно верно. ${\displaystyle (\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2})^{2}\leq \mathbf {d} _{1}^{2}\cdot \mathbf {d} _{2}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{2}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Примечание: Поскольку это строгое неравенство, если и не являются линейно зависимыми, отсюда немедленно следует, что прямая линия от до всегда является более быстрым путем, чем любой другой путь, состоящий из прямых отрезков. Мы используем предельный аргумент, чтобы доказать, что это верно для любой кривой. ${\displaystyle \mathbf {d} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Общее решение

Рассмотрим общий пример судна, движущегося против переменного ветра . Записывая это покомпонентно, мы имеем дрейф по оси как , а дрейф по оси как . Тогда для судна, движущегося с максимальной скоростью при переменном курсе , мы имеем ${\displaystyle {\vec {w}}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=V\cos \theta +u(x,y)\\{\dot {y}}&=V\sin \theta +v(x,y)\end{aligned}}}$

Гамильтониан системы, таким образом, равен

${\displaystyle H=\lambda _{x}(V\cos \theta +u)+\lambda _{y}(V\sin \theta +v)+1}$

Используя уравнение Эйлера–Лагранжа , получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\lambda }}_{x}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\lambda _{x}{\frac {\partial u}{\partial x}}-\lambda _{y}{\frac {\partial v}{\partial x}}\\{\dot {\lambda }}_{y}&=-{\frac {\partial H}{\partial y}}=-\lambda _{x}{\frac {\partial u}{\partial y}}-\lambda _{y}{\frac {\partial v}{\partial y}}\\0&={\frac {\partial H}{\partial \theta }}=V(-\lambda _{x}\sin \theta +\lambda _{y}\cos \theta )\end{aligned}}}$

Последнее уравнение подразумевает, что . Отметим, что система автономна; гамильтониан не зависит от времени , поэтому = константа, но поскольку мы минимизируем время, константа равна 0. Таким образом, мы можем решить приведенные выше одновременные уравнения и получить ^[4] ${\displaystyle \tan \theta =\lambda _{y}/\lambda _{x}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{x}&={\frac {-\cos \theta }{V+u\cos \theta +v\sin \theta }}\\[6pt]\lambda _{y}&={\frac {-\sin \theta }{V+u\cos \theta +v\sin \theta }}\end{aligned}}}$

Подстановка этих значений в наши уравнения EL приводит к дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\sin ^{2}\theta {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \theta \cos \theta \left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)-\cos ^{2}\theta {\frac {\partial u}{\partial y}}}$

Этот результат известен как уравнение Цермело. Решение этого уравнения с помощью нашей системы позволяет нам найти общий оптимальный путь.

Повторный пример постоянного ветра

Если вернуться к проблеме постоянного ветра на все времена, то получим ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0}$

поэтому наше общее решение подразумевает , что , следовательно , является постоянным, т.е. оптимальный путь представляет собой прямую линию, как мы получили ранее с помощью алгебраического аргумента. ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=0}$ ${\displaystyle \theta }$

Ссылки

1. Цермело, Эрнст (1931). «Проблема навигации может быть решена или проверена на ветровом оборудовании». Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 11 (2): 114–124. Бибкод : 1931ЗаММ...11..114Z. дои : 10.1002/zamm.19310110205.
2. Хайнц-Дитер Эббингауз (2 июня 2007 г.). Эрнст Цермело: подход к его жизни и работе. Springer Science & Business Media. стр. 150–. ISBN 978-3-540-49553-6.
3. Warnick, Claude (2011). «Геометрия звуковых лучей в ветре». Contemporary Physics . 52 (3): 197–209. arXiv : 1102.2409 . Bibcode : 2011ConPh..52..197G. doi : 10.1080/00107514.2011.563515. S2CID  119728138.
4. Брайсон, А.Е. (1975). Прикладное оптимальное управление: оптимизация, оценка и управление. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891162285.