Удельная теплоемкость

Тепло, необходимое для повышения температуры данной единицы массы вещества

В термодинамике удельная теплоемкость (символ c ) вещества — это количество тепла , которое необходимо добавить к одной единице массы вещества, чтобы вызвать увеличение температуры на одну единицу . Ее также называют массовой теплоемкостью или удельной теплоемкостью. Более формально это теплоемкость образца вещества, деленная на массу образца. ^[1] Единица СИ удельной теплоемкости — джоуль на кельвин на килограмм , Дж⋅кг ⁻ 1⋅К ⁻¹ . ^[2] Например, тепло, необходимое для повышения температуры1 кг воды по1 К это4184 джоуля , поэтому удельная теплоемкость воды составляет4184 Дж⋅кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ . ^[3]

Удельная теплоемкость часто меняется в зависимости от температуры и различна для каждого состояния вещества . Жидкая вода имеет одну из самых высоких удельных теплоемкостей среди обычных веществ, около4184 Дж⋅кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ при 20 °C; но у льда, при температуре чуть ниже 0 °C, она составляет всего2093 Дж/кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ . Удельные теплоемкости железа , гранита и водорода составляют около 449 Дж/кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ , 790 Дж/кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ и 14300 Дж/кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ соответственно. ^[4] Пока вещество претерпевает фазовый переход , такой как плавление или кипение, его удельная теплоемкость технически не определена, поскольку тепло идет на изменение его состояния, а не на повышение его температуры.

Удельная теплоемкость вещества, особенно газа, может быть значительно выше, если ему позволяют расширяться при нагревании (удельная теплоемкость при постоянном давлении ), чем когда оно нагревается в закрытом сосуде, который предотвращает расширение (удельная теплоемкость при постоянном объеме ). Эти два значения обычно обозначаются как и , соответственно; их частное является отношением теплоемкостей . ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle c_{V}}$ ${\displaystyle \gamma =c_{p}/c_{V}}$

Термин удельная теплоемкость может также относиться к соотношению между удельной теплоемкостью вещества при заданной температуре и эталонного вещества при эталонной температуре, например, воды при 15 °C; ^[5] во многом подобно удельному весу . Удельная теплоемкость также связана с другими интенсивными мерами теплоемкости с другими знаменателями. Если количество вещества измеряется как число молей , вместо этого получается молярная теплоемкость , единицей которой в системе СИ является джоуль на кельвин на моль, Дж⋅моль ⁻ 1⋅К ⁻¹ . Если количество принимается за объем образца (как иногда делается в технике), получается объемная теплоемкость , единицей которой в системе СИ является джоуль на кельвин на кубический метр , Дж⋅м ⁻ 3⋅К ⁻¹ .

История

Открытие удельной теплоёмкости

Джозеф Блэк

Одним из первых ученых, использовавших эту концепцию, был Джозеф Блэк , врач XVIII века и профессор медицины в Университете Глазго . Он измерил удельные теплоемкости многих веществ, используя термин « емкость для тепла» . ^[6] В 1756 году или вскоре после этого Блэк начал обширное изучение тепла. ^[7] В 1760 году он понял, что при смешивании двух разных веществ одинаковой массы, но разной температуры изменения в количестве градусов в двух веществах различаются, хотя тепло, получаемое более холодным веществом и теряемое более горячим, одинаково. Блэк рассказал об эксперименте, проведенном Даниэлем Габриэлем Фаренгейтом по поручению голландского врача Германа Бурхаве . Для ясности он затем описал гипотетический, но реалистичный вариант эксперимента: если смешать равные массы воды температурой 100 °F и ртути температурой 150 °F, то температура воды увеличится на 20 °, а температура ртути уменьшится на 30 ° (обе достигнут 120 °F), хотя тепло, получаемое водой и теряемое ртутью, одинаково. Это прояснило различие между теплом и температурой. Также было введено понятие удельной теплоемкости, которая различна для разных веществ. Блэк писал: «Ртуть [ртуть] ​​... имеет меньшую емкость для материи тепла, чем вода». ^{[8] [9]}

Определение

Удельная теплоемкость вещества, обычно обозначаемая как или , представляет собой теплоемкость образца вещества, деленную на массу образца: ^[10] где представляет собой количество тепла, необходимое для равномерного повышения температуры образца на небольшую величину . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle c={\frac {C}{M}}={\frac {1}{M}}\cdot {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} T}},}$$ ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$ ${\displaystyle \mathrm {d} T}$

Как и теплоемкость объекта, удельная теплоемкость вещества может меняться, иногда существенно, в зависимости от начальной температуры образца и приложенного к нему давления . Поэтому ее следует рассматривать как функцию этих двух переменных. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c(p,T)}$

Эти параметры обычно указываются при указании удельной теплоемкости вещества. Например, «Вода (жидкость): = 4187 Дж⋅кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ (15 °C)». ^[11] Если не указано иное, опубликованные значения удельной теплоемкости обычно действительны для некоторых стандартных условий температуры и давления . ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle c}$

Однако зависимость от начальной температуры и давления часто можно игнорировать в практических контекстах, например, при работе в узких диапазонах этих переменных. В таких контекстах обычно опускают квалификатор и аппроксимируют удельную теплоемкость константой, подходящей для этих диапазонов. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (p,T)}$ ${\displaystyle c}$

Удельная теплоемкость — интенсивное свойство вещества, внутренняя характеристика, которая не зависит от размера или формы рассматриваемого количества. (Квалификатор «удельный» перед экстенсивным свойством часто указывает на интенсивное свойство, производное от него. ^[12] )

Вариации

Впрыск тепловой энергии в вещество, помимо повышения его температуры, обычно вызывает увеличение его объема и/или давления, в зависимости от того, как ограничен образец. Выбор последнего влияет на измеренную удельную теплоемкость, даже при том же начальном давлении и начальной температуре . Широко используются два конкретных выбора: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T}$

• Если давление поддерживается постоянным (например, при атмосферном давлении окружающей среды), а образец расширяется, расширение генерирует работу , поскольку сила давления смещает оболочку или окружающую жидкость. Эта работа должна исходить из предоставленной тепловой энергии. Полученная таким образом удельная теплоемкость называется измеренной при постоянном давлении (или изобарической ) и часто обозначается . ${\displaystyle c_{p}}$
• С другой стороны, если расширение предотвращается — например, достаточно жестким ограждением или увеличением внешнего давления для противодействия внутреннему — работа не производится, и тепловая энергия, которая должна была бы войти в нее, должна вместо этого способствовать внутренней энергии образца, включая повышение его температуры на дополнительную величину. Удельная теплоемкость, полученная таким образом, называется измеренной при постоянном объеме (или изохорной ) и обозначается . ${\displaystyle c_{V}}$

Значение всегда меньше значения для всех жидкостей. ^{[13] [14]} Эта разница особенно заметна в газах, где значения при постоянном давлении обычно на 30–66,7% больше, чем при постоянном объеме. Следовательно, отношение теплоемкости газов обычно составляет от 1,3 до 1,67. ^[15] ${\displaystyle c_{V}}$ ${\displaystyle c_{p}}$

Применимость

Удельную теплоемкость можно определить и измерить для газов, жидкостей и твердых тел довольно общего состава и молекулярной структуры. К ним относятся газовые смеси, растворы и сплавы или гетерогенные материалы, такие как молоко, песок, гранит и бетон, если рассматривать их в достаточно большом масштабе.

Удельную теплоемкость можно определить также для материалов, которые изменяют состояние или состав при изменении температуры и давления, если изменения обратимы и постепенны. Так, например, эти понятия можно определить для газа или жидкости, которые диссоциируют при повышении температуры, если продукты диссоциации быстро и полностью рекомбинируют при ее падении.

Удельная теплоемкость не имеет смысла, если вещество претерпевает необратимые химические изменения или если происходит фазовый переход , такой как плавление или кипение, при резкой температуре в диапазоне температур, охватываемом измерением.

Измерение

Удельная теплоемкость вещества обычно определяется в соответствии с определением; а именно, путем измерения теплоемкости образца вещества, обычно с помощью калориметра , и деления на массу образца. Для оценки теплоемкости вещества можно применять несколько методов, например, дифференциальную сканирующую калориметрию . ^{[16] [17]}

График температуры фаз воды, нагретой от −100 °C до 200 °C – пример с пунктирной линией показывает, что для плавления и нагревания 1 кг льда при температуре −50 °C до температуры воды 40 °C требуется 600 кДж

Удельную теплоемкость газов можно измерить при постоянном объеме, заключив образец в жесткий контейнер. С другой стороны, измерение удельной теплоемкости при постоянном объеме может быть недопустимо сложным для жидкостей и твердых тел, поскольку часто требуются непрактичные давления, чтобы предотвратить расширение, которое может быть вызвано даже небольшим повышением температуры. Вместо этого общепринятой практикой является измерение удельной теплоемкости при постоянном давлении (позволяя материалу расширяться или сжиматься по своему желанию), определение отдельно коэффициента теплового расширения и сжимаемости материала и вычисление удельной теплоемкости при постоянном объеме из этих данных в соответствии с законами термодинамики. ^{[ необходима цитата ]}

Единицы

Международная система

Единица измерения удельной теплоемкости в системе СИ — джоуль на кельвин на килограмм .Дж./кг⋅К⁠ , Дж⋅К ⁻¹ ⋅кг ⁻¹ . Поскольку приращение температуры на один градус Цельсия равно приращению на один кельвин, это равно джоулю на градус Цельсия на килограмм: Дж/(кг⋅°C). Иногда вместо килограмма для единицы массы используют грамм : 1 Дж⋅г ⁻¹ ⋅К ⁻¹ = 1000 Дж⋅кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ .

Удельная теплоемкость вещества (на единицу массы) имеет размерность L ² ⋅Θ ⁻¹ ⋅T ⁻² , или (L/T) ² /Θ. Таким образом, единица СИ Дж⋅кг ⁻¹ ⋅К ⁻¹ эквивалентна квадратному метру на квадратную секунду на кельвин (м ² ⋅К ⁻¹ ⋅с ⁻² ).

Имперские инженерные части

Профессионалы в области строительства , гражданского строительства , химической инженерии и других технических дисциплин, особенно в Соединенных Штатах , могут использовать английские инженерные единицы, включая фунт (lb = 0,45359237 кг) в качестве единицы массы, градус Фаренгейта или Ранкина (°R = ⁠5/9⁠ К, около 0,555556 К) в качестве единицы приращения температуры и британская тепловая единица (БТЕ ≈ 1055,056 Дж), ^{[18] [19]} в качестве единицы тепла.

В этом контексте единицей измерения удельной теплоемкости является БТЕ/фунт⋅°R, или 1 ⁠БТЕ/фунт⋅°R⁠ = 4186,68 ⁠Дж./кг⋅К⁠ . ^[20] Первоначально БТЕ была определена таким образом, что средняя удельная теплоемкость воды составляла 1 БТЕ/фунт⋅°F. ^[21] Обратите внимание на сходство этого значения со значением калории — 4187 Дж/кг⋅°C ≈ 4184 Дж/кг⋅°C (~.07%) — поскольку они по сути измеряют одну и ту же энергию, используя воду в качестве базовой точки отсчета, масштабированную до соответствующих фунтов и °F или кг и °C их систем.

Калории

В химии количество тепла часто измерялось в калориях . Как ни странно, существуют две общие единицы с таким названием, обозначаемые соответственно cal и Cal :

• малая калория ( грамм-калория, кал ) равна 4,184 Дж. Первоначально она была определена так, чтобы удельная теплоемкость жидкой воды составляла 1 кал/(°C⋅г).
• Большая калория ( килокалория, килограмм-калория, пищевая калория, ккал, Cal ) равна 1000 малых калорий, ровно 4184 Дж. Она была определена для того, чтобы удельная теплоемкость воды составляла 1 Кал/(°C⋅кг).

Хотя эти единицы все еще используются в некоторых контекстах (например, килограмм-калория в питании ), их использование в настоящее время не рекомендуется в технических и научных областях. Когда тепло измеряется в этих единицах, единица удельной теплоемкости обычно:

1  ⁠кал/°С⋅г⁠ = 1  ⁠Кэл/°С⋅кг⁠ = 1  ⁠ккал/°С⋅кг⁠ = 4184  ⁠Дж./кг⋅К⁠ ^[22] = 4,184  ⁠кДж/кг⋅К⁠ .

Обратите внимание, что хотя кал составляет 1/1000 ккал или ккал, он также измеряется в граммах, а не в килограммах : следовательно, в любой из единиц удельная теплоемкость воды приблизительно равна 1.

Физическая основа

Температура образца вещества отражает среднюю кинетическую энергию его составляющих частиц (атомов или молекул) относительно его центра масс. Однако не вся энергия, предоставленная образцу вещества, пойдет на повышение его температуры, что иллюстрируется теоремой о равнораспределении .

Одноатомные газы

Квантовая механика предсказывает, что при комнатной температуре и обычных давлениях изолированный атом в газе не может хранить сколько-нибудь значительное количество энергии, кроме как в форме кинетической энергии. Таким образом, теплоемкость на моль одинакова для всех одноатомных газов (таких как благородные газы). Точнее, и , где — идеальная газовая единица (которая является произведением постоянной преобразования Больцмана из микроскопической единицы энергии кельвина в макроскопическую единицу энергии джоуль и числа Авогадро ). ${\displaystyle c_{V,\mathrm {m} }=3R/2\approx \mathrm {12.5\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }$ ${\displaystyle c_{P,\mathrm {m} }=5R/2\approx \mathrm {21\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }$ ${\displaystyle R\approx \mathrm {8.31446\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }$

Следовательно, удельная теплоемкость (на грамм, а не на моль) одноатомного газа будет обратно пропорциональна его (аразмерному) атомному весу . То есть, приблизительно, ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle c_{V}\approx \mathrm {12470\,J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}} /A\quad \quad \quad c_{p}\approx \mathrm {20785\,J\cdot K^{-1}\cdot kg^{-1}} /A}$$

Для благородных газов, от гелия до ксенона, эти расчетные значения составляют

Многоатомные газы

С другой стороны, многоатомная газовая молекула (состоящая из двух или более атомов, связанных вместе) может запасать тепловую энергию в кинетической энергии, а также в энергии вращения молекулы и вибрации атомов относительно друг друга (включая внутреннюю потенциальную энергию ).

Эти дополнительные степени свободы или «моды» вносят вклад в удельную теплоемкость вещества. А именно, когда тепловая энергия вводится в газ с многоатомными молекулами, только часть ее пойдет на увеличение их кинетической энергии, а значит, и температуры; остальная часть пойдет на другие степени свободы. Чтобы достичь того же увеличения температуры, для грамма этого вещества требуется больше тепловой энергии, чем для грамма одноатомного газа. Таким образом, удельная теплоемкость на моль многоатомного газа зависит как от молекулярной массы, так и от числа степеней свободы молекул. ^{[23] [24] [25]}

Квантовая механика далее утверждает, что каждая вращательная или колебательная мода может принимать или терять энергию только в определенных дискретных количествах (квантах). В зависимости от температуры средняя тепловая энергия на молекулу может быть слишком мала по сравнению с квантами, необходимыми для активации некоторых из этих степеней свободы. Говорят, что эти моды «заморожены». В этом случае удельная теплоемкость вещества увеличивается с температурой, иногда ступенчато, поскольку мода становится размороженной и начинает поглощать часть входной тепловой энергии.

Например, молярная теплоемкость азота N
₂при постоянном объеме (при 15 °C, 1 атм), что составляет . ^[26] Это значение, ожидаемое из теории, если каждая молекула имеет 5 степеней свободы. Они оказываются тремя степенями вектора скорости молекулы, плюс два градуса от ее вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной линии двух атомов. Из-за этих двух дополнительных степеней свободы удельная теплоемкость N ${\displaystyle c_{V,\mathrm {m} }=\mathrm {20.6\,J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}} }$ ${\displaystyle 2.49R}$ ${\displaystyle c_{V}}$
₂(736 Дж⋅К ⁻¹ ⋅кг ⁻¹ ) больше, чем у гипотетического одноатомного газа с той же молекулярной массой 28 (445 Дж⋅К ⁻¹ ⋅кг ^{−1 ), в} ⁠ раз5/3⁠ .

Это значение удельной теплоемкости азота практически постоянно от ниже -150 °C до примерно 300 °C. В этом температурном диапазоне две дополнительные степени свободы, которые соответствуют колебаниям атомов, растягивающим и сжимающим связь, все еще «заморожены». Примерно при этой температуре эти моды начинают «размораживаться» и в результате начинают сначала быстро увеличиваться, а затем медленнее по мере приближения к другому постоянному значению. Оно составляет 35,5 Дж⋅К ⁻¹ ⋅моль ⁻¹ при 1500 °C, 36,9 при 2500 °C и 37,5 при 3500 °C. ^[27] Последнее значение почти точно соответствует предсказанному значению для 7 степеней свободы на молекулу. ${\displaystyle c_{V}}$

Выводы теплоемкости

Соотношение между удельными теплоемкостями

Исходя из фундаментального термодинамического соотношения можно показать,

$${\displaystyle c_{p}-c_{v}={\frac {\alpha ^{2}T}{\rho \beta _{T}}}}$$

где

• ${\displaystyle \alpha }$- коэффициент теплового расширения ,
• ${\displaystyle \beta _{T}}$- изотермическая сжимаемость , а
• ${\displaystyle \rho }$это плотность .

Вывод обсуждается в статье Соотношения между удельными теплоемкостями .

Для идеального газа , если в приведенном выше уравнении выражена молярная плотность, это уравнение сводится просто к соотношению Майера : ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle C_{p,m}-C_{v,m}=R\!}$$

где и — интенсивные теплоемкости свойств , выраженные в расчете на моль при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно. ${\displaystyle C_{p,m}}$ ${\displaystyle C_{v,m}}$

Удельная теплоемкость

Удельная теплоемкость материала на единицу массы равна

$${\displaystyle c={\partial C \over \partial m},}$$

что при отсутствии фазовых переходов эквивалентно

$${\displaystyle c=E_{m}={C \over m}={C \over {\rho V}},}$$

где

• ${\displaystyle C}$- теплоемкость тела, изготовленного из рассматриваемого материала,
• ${\displaystyle m}$это масса тела,
• ${\displaystyle V}$объем тела, а
• ${\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}}$это плотность материала.

Для газов, а также для других материалов под высоким давлением, необходимо различать различные граничные условия для рассматриваемых процессов (поскольку значения значительно различаются между различными условиями). Типичные процессы, для которых может быть определена теплоемкость, включают изобарические (постоянное давление, ) или изохорические (постоянный объем, ) процессы. Соответствующие удельные теплоемкости выражаются как ${\displaystyle dp=0}$ ${\displaystyle dV=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{p}&=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{p},\\c_{V}&=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{V}.\end{aligned}}}$$

Связанным параметром является , объемная теплоемкость . В инженерной практике для твердых тел или жидкостей часто обозначает объемную теплоемкость, а не постоянную по объему. В таких случаях удельная теплоемкость массы часто явно записывается с нижним индексом , как . Конечно, из приведенных выше соотношений для твердых тел записывается ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle CV^{-1}}$ ${\displaystyle c_{V}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c_{m}}$

$${\displaystyle c_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {c_{V}}{\rho }}.}$$

Для чистых однородных химических соединений с установленной молекулярной или молярной массой или установленным молярным количеством теплоемкость как интенсивное свойство может быть выражена на мольной основе вместо массовой основы следующими уравнениями, аналогичными уравнениям на массу:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}C_{p,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{p}&={\text{molar heat capacity at constant pressure}}\\C_{V,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{V}&={\text{molar heat capacity at constant volume}}\end{alignedat}}}$$

где n = число молей в теле или термодинамической системе . Можно назвать такую ​​величину на моль молярной теплоемкостью, чтобы отличить ее от удельной теплоемкости на массу.

Политропная теплоемкость

Политропная теплоемкость рассчитывается при процессах, в которых изменяются все термодинамические свойства (давление, объем, температура )

$${\displaystyle C_{i,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)={\text{molar heat capacity at polytropic process}}}$$

Наиболее важные политропные процессы протекают между адиабатическими и изотермическими функциями, индекс политропы находится между 1 и показателем адиабаты ( γ или κ ).

Безразмерная теплоемкость

Безразмерная теплоемкость материала равна

$${\displaystyle C^{*}={\frac {C}{nR}}={\frac {C}{Nk_{\text{B}}}}}$$

где

• С — теплоемкость тела, изготовленного из рассматриваемого материала (Дж/К)
• n - количество вещества в организме ( моль )
• R — газовая постоянная (Дж⋅К ⁻¹ ⋅моль ⁻¹ )
• N — число молекул в теле. (безразмерная величина)
• k _B — постоянная Больцмана (Дж⋅К ⁻¹ )

Опять же, единицы СИ показаны для примера.

Подробнее о величинах измерения один ^[28] читайте в BIPM

В статье «Идеальный газ » безразмерная теплоемкость выражается как . ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {c}}}$

Теплоемкость при абсолютном нуле

Из определения энтропии

$${\displaystyle TdS=\delta Q}$$

абсолютную энтропию можно рассчитать путем интегрирования от температуры в ноль градусов Кельвина до конечной температуры T _f

$${\displaystyle S(T_{f})=\int _{T=0}^{T_{f}}{\frac {\delta Q}{T}}=\int _{0}^{T_{f}}{\frac {\delta Q}{dT}}{\frac {dT}{T}}=\int _{0}^{T_{f}}C(T)\,{\frac {dT}{T}}.}$$

Теплоемкость должна быть равна нулю при нулевой температуре, чтобы указанный выше интеграл не давал бесконечную абсолютную энтропию, тем самым нарушая третий закон термодинамики . Одной из сильных сторон модели Дебая является то, что (в отличие от предыдущей модели Эйнштейна) она предсказывает правильную математическую форму приближения теплоемкости к нулю по мере приближения к абсолютному нулю температуры.

Твердая фаза

Теоретическая максимальная теплоемкость для все более крупных многоатомных газов при более высоких температурах также приближается к пределу Дюлонга–Пти 3 R , если только это рассчитывается на моль атомов, а не молекул. Причина в том, что газы с очень большими молекулами, в теории, имеют почти такую ​​же высокотемпературную теплоемкость, как и твердые тела, не имея только (небольшого) вклада теплоемкости, который исходит от потенциальной энергии, которая не может храниться между отдельными молекулами в газе.

Предел Дюлонга–Пти вытекает из теоремы о равнораспределении и, как таковой, справедлив только в классическом пределе континуума микросостояния, который является пределом высокой температуры. Для легких и неметаллических элементов, а также большинства обычных молекулярных твердых тел на основе соединений углерода при стандартной температуре окружающей среды , квантовые эффекты также могут играть важную роль, как и в многоатомных газах. Эти эффекты обычно объединяются, чтобы дать теплоемкости ниже 3 R на моль атомов в твердом теле, хотя в молекулярных твердых телах теплоемкости, рассчитанные на моль молекул в молекулярных твердых телах, могут быть больше 3 R . Например, теплоемкость водяного льда при температуре плавления составляет около 4,6 R на моль молекул, но только 1,5 R на моль атомов. Число R ниже 3 "на атом" (как в случае с алмазом и бериллием) является результатом "вымораживания" возможных мод колебаний для легких атомов при достаточно низких температурах, как и во многих газах с атомами малой массы при комнатных температурах. Из-за высоких энергий связи кристаллов эти эффекты наблюдаются в твердых телах чаще, чем в жидкостях: например, теплоемкость жидкой воды вдвое больше, чем у льда при почти той же температуре, и снова близка к 3 R на моль атомов теоретического максимума Дюлонга-Пти.

Для более современного и точного анализа теплоемкости твердых тел, особенно при низких температурах, полезно использовать идею фононов . См. модель Дебая .

Теоретическая оценка

Метод Монте-Карло с интегралом по траектории представляет собой численный подход к определению значений теплоемкости, основанный на квантово-динамических принципах. Однако для газов во многих состояниях можно сделать хорошие приближения, используя более простые методы, описанные ниже. Для многих твердых тел, состоящих из относительно тяжелых атомов (атомный номер > железа), при некриогенных температурах теплоемкость при комнатной температуре приближается к 3R = 24,94 джоуля на кельвин на моль атомов (закон Дюлонга-Пти, R — газовая постоянная). Низкотемпературные приближения как для газов, так и для твердых тел при температурах ниже их характерных температур Эйнштейна или температур Дебая можно сделать с помощью методов Эйнштейна и Дебая, обсуждаемых ниже.

• Вода (жидкость): CP = 4185,5 Дж⋅К ⁻¹ ⋅кг ⁻¹ (15 °C, 101,325 кПа)
• Вода (жидкость): CVH = 74,539 Дж⋅К ⁻¹ ⋅моль ⁻¹ (25 °C)

Для жидкостей и газов важно знать давление, к которому относятся данные по теплоемкости. Большинство опубликованных данных дается для стандартного давления. Однако разные организации определили разные стандартные условия для температуры и давления. Международный союз теоретической и прикладной химии (ИЮПАК) изменил свою рекомендацию с одной атмосферы на круглое значение 100 кПа (≈750,062 торр). ^{[примечания 1]}

Соотношение между теплоемкостями

Измерение удельной теплоемкости при постоянном объеме может быть непозволительно сложным для жидкостей и твердых тел. То есть, небольшие изменения температуры обычно требуют больших давлений для поддержания жидкости или твердого тела в постоянном объеме, что подразумевает, что содержащий сосуд должен быть почти жестким или, по крайней мере, очень прочным (см. коэффициент теплового расширения и сжимаемости ). Вместо этого проще измерить теплоемкость при постоянном давлении (позволяя материалу свободно расширяться или сжиматься) и решить для теплоемкости при постоянном объеме, используя математические соотношения, выведенные из основных законов термодинамики.

Коэффициент теплоемкости , или адиабатический индекс, — это отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Иногда его также называют изоэнтропическим коэффициентом расширения.

Идеальный газ

Для идеального газа , оценивая частные производные выше в соответствии с уравнением состояния , где R - газовая постоянная , для идеального газа ^[29]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}PV&=nRT,&\\C_{P}-C_{V}&=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n},&\\P&={\frac {nRT}{V}}\Rightarrow \left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}&={\frac {nR}{V}},\\V&={\frac {nRT}{P}}\Rightarrow \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n}&={\frac {nR}{P}}.\end{alignedat}}}$$

Заменяя

$${\displaystyle T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n}=T{\frac {nR}{V}}{\frac {nR}{P}}={\frac {nRT}{V}}{\frac {nR}{P}}=P{\frac {nR}{P}}=nR,}$$

это уравнение просто сводится к соотношению Майера :

$${\displaystyle C_{P,m}-C_{V,m}=R.}$$

Различия в теплоемкостях, определенные приведенным выше соотношением Майера, точны только для идеального газа и будут разными для любого реального газа.

Удельная теплоемкость

Удельная теплоемкость материала на единицу массы равна

$${\displaystyle c={\frac {\partial C}{\partial m}},}$$

что при отсутствии фазовых переходов эквивалентно

$${\displaystyle c=E_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {C}{\rho V}},}$$

где

• ${\displaystyle C}$- теплоемкость тела, изготовленного из рассматриваемого материала,
• ${\displaystyle m}$это масса тела,
• ${\displaystyle V}$объем тела,
• ${\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}}$это плотность материала.

Для газов, а также для других материалов под высоким давлением, необходимо различать различные граничные условия для рассматриваемых процессов (поскольку значения значительно различаются между различными условиями). Типичные процессы, для которых может быть определена теплоемкость, включают изобарические (постоянное давление, ) или изохорические (постоянный объем, ) процессы. Соответствующие удельные теплоемкости выражаются как ${\displaystyle {\text{d}}P=0}$ ${\displaystyle {\text{d}}V=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{P}&=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{P},\\c_{V}&=\left({\frac {\partial C}{\partial m}}\right)_{V}.\end{aligned}}}$$

Из результатов предыдущего раздела деление на массу дает соотношение

$${\displaystyle c_{P}-c_{V}={\frac {\alpha ^{2}T}{\rho \beta _{T}}}.}$$

Связанным параметром является , объемная теплоемкость . В инженерной практике для твердых тел или жидкостей часто обозначает объемную теплоемкость, а не постоянную по объему. В таких случаях удельная теплоемкость часто явно записывается с нижним индексом , как . Конечно, из приведенных выше соотношений для твердых тел записывается ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C/V}$ ${\displaystyle c_{V}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c_{m}}$

$${\displaystyle c_{m}={\frac {C}{m}}={\frac {c_{\text{volumetric}}}{\rho }}.}$$

Для чистых однородных химических соединений с установленной молекулярной или молярной массой или молярным количеством теплоемкость как интенсивное свойство может быть выражена на мольной основе вместо массовой основы следующими уравнениями, аналогичными уравнениям на массу:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}C_{P,m}&=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{P}&={\text{molar heat capacity at constant pressure,}}\\C_{V,m}&=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)_{V}&={\text{molar heat capacity at constant volume,}}\end{alignedat}}}$$

где n — число молей в теле или термодинамической системе . Такую величину на моль можно назвать молярной теплоемкостью, чтобы отличить ее от удельной теплоемкости на массу.

Политропная теплоемкость

Политропная теплоемкость рассчитывается при процессах, в которых изменяются все термодинамические свойства (давление, объем, температура) :

$${\displaystyle C_{i,m}=\left({\frac {\partial C}{\partial n}}\right)={\text{molar heat capacity at polytropic process.}}}$$

Важнейшие политропные процессы протекают между адиабатическими и изотермическими функциями, индекс политропы находится между 1 и показателем адиабаты ( γ или κ ).

Безразмерная теплоемкость

Безразмерная теплоемкость материала равна

$${\displaystyle C^{*}={\frac {C}{nR}}={\frac {C}{Nk_{\text{B}}}},}$$

где

• ${\displaystyle C}$- теплоемкость тела, изготовленного из рассматриваемого материала (Дж/К),
• n — количество вещества в организме ( моль ),
• R — газовая постоянная (Дж/(К⋅моль)),
• N — число молекул в теле (безразмерное),
• k _B — постоянная Больцмана (Дж/(К⋅молекула)).

В статье об идеальном газе безразмерная теплоемкость выражается как и напрямую связана с половиной числа степеней свободы на частицу. Это справедливо для квадратичных степеней свободы, как следствие теоремы о равнораспределении . ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {c}}}$

В более общем смысле безразмерная теплоемкость связывает логарифмическое увеличение температуры с увеличением безразмерной энтропии на частицу , измеряемой в натах . ${\displaystyle S^{*}=S/Nk_{\text{B}}}$

$${\displaystyle C^{*}={\frac {{\text{d}}S^{*}}{{\text{d}}(\ln T)}}.}$$

В качестве альтернативы, используя логарифмы по основанию 2, связываем логарифмическое увеличение температуры по основанию 2 с увеличением безразмерной энтропии, измеряемой в битах . ^[30] ${\displaystyle C^{*}}$

Теплоемкость при абсолютном нуле

Из определения энтропии

$${\displaystyle T\,{\text{d}}S=\delta Q,}$$

абсолютную энтропию можно рассчитать путем интегрирования от нуля до конечной температуры T _f :

$${\displaystyle S(T_{\text{f}})=\int _{T=0}^{T_{\text{f}}}{\frac {\delta Q}{T}}=\int _{0}^{T_{\text{f}}}{\frac {\delta Q}{{\text{d}}T}}{\frac {{\text{d}}T}{T}}=\int _{0}^{T_{\text{f}}}C(T)\,{\frac {{\text{d}}T}{T}}.}$$

Термодинамический вывод

Теоретически удельную теплоемкость вещества можно также вывести из его абстрактного термодинамического моделирования с помощью уравнения состояния и функции внутренней энергии.

Состояние вещества в однородном образце

Чтобы применить теорию, рассмотрим образец вещества (твердого, жидкого или газообразного), для которого можно определить удельную теплоемкость; в частности, что он имеет однородный состав и фиксированную массу . Предположим, что эволюция системы всегда достаточно медленная, чтобы внутреннее давление и температура считались везде одинаковыми. Давление будет равно давлению, приложенному к нему со стороны оболочки или какой-либо окружающей жидкости, например воздуха. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$

Состояние материала можно тогда задать тремя параметрами: его температурой , давлением и его удельным объемом , где - объем образца. (Эта величина является обратной величиной плотности материала .) Подобно и , удельный объем является интенсивным свойством материала и его состояния, которое не зависит от количества вещества в образце. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \nu =V/M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 1/\rho }$ ${\displaystyle \rho =M/V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \nu }$

Эти переменные не являются независимыми. Допустимые состояния определяются уравнением состояния, связывающим эти три переменные: Функция зависит от рассматриваемого материала. Удельная внутренняя энергия, запасенная внутри образца, на единицу массы, будет тогда другой функцией этих переменных состояния, которая также является специфической для материала. Тогда общая внутренняя энергия в образце будет . ${\displaystyle F(T,P,\nu )=0.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U(T,P,\nu )}$ ${\displaystyle M\,U(T,P,\nu )}$

Для некоторых простых материалов, таких как идеальный газ , из базовой теории можно вывести уравнение состояния и даже удельную внутреннюю энергию. В общем случае эти функции должны определяться экспериментально для каждого вещества. ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle U}$

Сохранение энергии

Абсолютное значение этой величины не определено, и (для целей термодинамики) состояние «нулевой внутренней энергии» может быть выбрано произвольно. Однако, по закону сохранения энергии , любое бесконечно малое увеличение полной внутренней энергии должно быть сопоставлено с чистым потоком тепловой энергии в образец, плюс любая чистая механическая энергия, предоставленная ему оболочкой или окружающей средой на нем. Последнее равно , где — изменение объема образца на этом бесконечно малом шаге. ^[31] Поэтому ${\displaystyle M\,\mathrm {d} U}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$ ${\displaystyle -P\,\mathrm {d} V}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle \mathrm {d} Q-P\,\mathrm {d} V=M\,\mathrm {d} U}$$

следовательно

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M}}-P\,\mathrm {d} \nu =\mathrm {d} U}$$

Если объем образца (следовательно, и удельный объем материала) сохраняется постоянным во время введения количества тепла , то член равен нулю (механическая работа не совершается). Тогда, разделив на , ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$ ${\displaystyle P\,\mathrm {d} \nu }$ ${\displaystyle \mathrm {d} T}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M\,\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} T}}}$$

где - изменение температуры, вызванное подводом тепла. Левая часть - удельная теплоемкость при постоянном объеме материала. ${\displaystyle \mathrm {d} T}$ ${\displaystyle c_{V}}$

Для теплоемкости при постоянном давлении полезно определить удельную энтальпию системы как сумму . Бесконечно малое изменение удельной энтальпии тогда будет ${\displaystyle h(T,P,\nu )=U(T,P,\nu )+P\nu }$

$${\displaystyle \mathrm {d} h=\mathrm {d} U+V\,\mathrm {d} P+P\,\mathrm {d} V}$$

поэтому

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M}}+V\,\mathrm {d} P=\mathrm {d} h}$$

Если давление поддерживается постоянным, то второй член в левой части равен нулю, и

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{M\,\mathrm {d} T}}={\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} T}}}$$

Левая часть — удельная теплоемкость при постоянном давлении материала. ${\displaystyle c_{P}}$

Связь с уравнением состояния

В общем случае бесконечно малые величины ограничены уравнением состояния и функцией удельной внутренней энергии. А именно, ${\displaystyle \mathrm {d} T,\mathrm {d} P,\mathrm {d} V,\mathrm {d} U}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle \mathrm {d} T{\frac {\partial F}{\partial T}}(T,P,V)+\mathrm {d} P{\frac {\partial F}{\partial P}}(T,P,V)+\mathrm {d} V{\frac {\partial F}{\partial V}}(T,P,V)&=&0\\[2ex]\displaystyle \mathrm {d} T{\frac {\partial U}{\partial T}}(T,P,V)+\mathrm {d} P{\frac {\partial U}{\partial P}}(T,P,V)+\mathrm {d} V{\frac {\partial U}{\partial V}}(T,P,V)&=&\mathrm {d} U\end{cases}}}$$

Здесь обозначает (частную) производную уравнения состояния по его аргументу, сохраняя два других аргумента фиксированными, оцененными в рассматриваемом состоянии. Другие частные производные определяются таким же образом. Эти два уравнения для четырех бесконечно малых приращений обычно ограничивают их двумерным линейным подпространством возможных бесконечно малых изменений состояния, которое зависит от материала и состояния. Изменения постоянного объема и постоянного давления являются только двумя конкретными направлениями в этом пространстве. ${\displaystyle (\partial F/\partial T)(T,P,V)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (T,P,V)}$

Этот анализ справедлив независимо от того, каким образом в образец вводится приращение энергии, а именно путем теплопроводности , облучения, электромагнитной индукции , радиоактивного распада и т. д. ${\displaystyle \mathrm {d} Q}$

Соотношение между теплоемкостями

Для любого удельного объема обозначим функцию, описывающую, как давление изменяется с температурой , как это допускается уравнением состояния, когда удельный объем материала принудительно поддерживается постоянным при . Аналогично, для любого давления пусть будет функцией, описывающей, как удельный объем изменяется с температурой, когда давление поддерживается постоянным при . А именно, эти функции таковы, что ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle p_{\nu }(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \nu _{P}(T)}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle F(T,p_{\nu }(T),\nu )=0}$$и $${\displaystyle F(T,P,\nu _{P}(T))=0}$$

для любых значений . Другими словами, графики и являются срезами поверхности, определяемой уравнением состояния, разрезанными плоскостями постоянной и постоянной соответственно. ${\displaystyle T,P,\nu }$ ${\displaystyle p_{\nu }(T)}$ ${\displaystyle \nu _{P}(T)}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle P}$

Тогда из основного термодинамического соотношения следует, что

$${\displaystyle c_{P}(T,P,\nu )-c_{V}(T,P,\nu )=T\left[{\frac {\mathrm {d} p_{\nu }}{\mathrm {d} T}}(T)\right]\left[{\frac {\mathrm {d} \nu _{P}}{\mathrm {d} T}}(T)\right]}$$

Это уравнение можно переписать как

$${\displaystyle c_{P}(T,P,\nu )-c_{V}(T,P,\nu )=\nu T{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}},}$$

где

• ${\displaystyle \alpha }$- коэффициент теплового расширения ,
• ${\displaystyle \beta _{T}}$- изотермическая сжимаемость ,

оба варианта зависят от штата . ${\displaystyle (T,P,\nu )}$

Коэффициент теплоемкости , или адиабатический индекс, — это отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Иногда его также называют изоэнтропическим коэффициентом расширения. ${\displaystyle c_{P}/c_{V}}$

Расчет из первых принципов

Метод Монте-Карло с интегралом по траектории представляет собой численный подход для определения значений теплоемкости, основанный на квантово-динамических принципах. Однако для газов во многих состояниях можно сделать хорошие приближения, используя более простые методы, описанные ниже. Для многих твердых тел, состоящих из относительно тяжелых атомов (атомный номер > железа), при некриогенных температурах теплоемкость при комнатной температуре приближается к 3 R = 24,94 джоуля на кельвин на моль атомов ( закон Дюлонга-Пти , R — газовая постоянная ). Низкотемпературные приближения как для газов, так и для твердых тел при температурах ниже их характерных температур Эйнштейна или температур Дебая можно сделать с помощью методов Эйнштейна и Дебая, обсуждаемых ниже. Однако следует обратить внимание на согласованность таких ab-initio соображений при использовании вместе с уравнением состояния для рассматриваемого материала. ^[32]

Идеальный газ

Для идеального газа , оценивая частные производные выше в соответствии с уравнением состояния , где R - газовая постоянная , для идеального газа ^[33]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}PV&=nRT,\\C_{P}-C_{V}&=T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n},\\P&={\frac {nRT}{V}}\Rightarrow \left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}&={\frac {nR}{V}},\\V&={\frac {nRT}{P}}\Rightarrow \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n}&={\frac {nR}{P}}.\end{alignedat}}}$

Заменяя

$${\displaystyle T\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V,n}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P,n}=T{\frac {nR}{V}}{\frac {nR}{P}}={\frac {nRT}{V}}{\frac {nR}{P}}=P{\frac {nR}{P}}=nR,}$$

это уравнение просто сводится к соотношению Майера :

$${\displaystyle C_{P,m}-C_{V,m}=R.}$$

Различия в теплоемкостях, определенные приведенным выше соотношением Майера, точны только для идеального газа и будут разными для любого реального газа.

Смотрите также

Физический портал

• Удельная теплота плавления (энтальпия плавления)
• Удельная теплота парообразования (энтальпия парообразования)
• линия Френкеля
• Коэффициент теплоемкости
• Уравнение теплопроводности
• Коэффициент теплопередачи
• История термодинамики
• Метод Джобака (Оценка теплоемкостей)
• Скрытое тепло
• Свойства материалов (термодинамика)
• Квантовая статистическая механика
• Значение R (изоляция)
• Энтальпия испарения
• Энтальпия плавления
• Статистическая механика
• Таблица удельных теплоемкостей
• Тепловая масса
• Термодинамические базы данных для чистых веществ
• Термодинамические уравнения
• Объемная теплоемкость

Примечания

1. IUPAC , Compendium of Chemical Terminology , 2nd ed. («Золотая книга») (1997). Онлайн-исправленная версия: (2006–) «Standard Pressure». doi :10.1351/goldbook.S05921.

Ссылки

1. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2001). Основы физики (6-е изд.). Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons .
2. Открытый университет (2008). S104 Книга 3 Энергия и свет , стр. 59. Открытый университет . ISBN 9781848731646 . 
3. Открытый университет (2008). S104 Книга 3 Энергия и свет , стр. 179. Открытый университет . ISBN 9781848731646 . 
4. Engineering ToolBox (2003). «Удельная теплоёмкость некоторых распространённых веществ».
5. (2001): Columbia Encyclopedia , 6-е изд.; цитируется по Encyclopedia.com. Columbia University Press. Доступ 11.04.2019.
6. Laidler, Keith J. (1993). Мир физической химии. Oxford University Press. ISBN 0-19-855919-4.
7. Рэмси, Уильям (1918). Жизнь и письма Джозефа Блэка, доктора медицины . Констебль. С. 38–39.
8. Блэк, Джозеф (1807). Робинсон, Джон (ред.). Лекции по элементам химии: прочитанные в Эдинбургском университете. Т. 1. Мэтью Кэри. С. 76–77.
9. Уэст, Джон Б. (2014-06-15). «Джозеф Блэк, углекислый газ, скрытая теплота и начало открытия дыхательных газов». Американский журнал физиологии — Клеточная и молекулярная физиология легких . 306 (12): L1057–L1063. doi :10.1152/ajplung.00020.2014. ISSN  1040-0605.
10. Международное бюро мер и весов (2006), Международная система единиц (СИ) (PDF) (8-е изд.), ISBN 92-822-2213-6, заархивировано (PDF) из оригинала 2021-06-04 , извлечено 2021-12-16
11. "Вода – Тепловые свойства". Engineeringtoolbox.com . Получено 29.03.2021 .
12. Международный союз теоретической и прикладной химии, Отделение физической химии. «Количества, единицы и символы в физической химии» (PDF) . Blackwell Sciences. стр. 7. Прилагательное конкретный перед названием экстенсивной величины часто используется для обозначения деленной на массу.
13. Санал Кумар, VR; Санкар, Винешваран; Чандрасекаран, Ничит; Сараванан, Винеш; Сукумаран, Аджит; Раджендран, Винешваран; Чоудхари, Шив Кумар; Радхакришнан, Прадип Кумар; Ооммен, Чарли; Панчал, Дхрув; Рафик, Султан Ариф Рахман Мохамед; Бхарат, Раджагхатта Сундарарам; Радж, Яш; Шривастава, Шраджан (2022). «Универсальные эталонные данные трехмерной блокировки пограничного слоя и среднего коэффициента трения для проверки кода in silico». Физика жидкостей . 34 (4): 041301. Бибкод : 2022PhFl...34d1301S. дои : 10.1063/5.0086638.
14. Санал Кумар, VR; Сундарарам, Бхарат Раджагатта; Радхакришнан, Прадип Кумар; Чандрасекаран, Ничит; Чоудхари, Шив Кумар; Санкар, Винешваран; Сукумаран, Аджит; Раджендран, Винешваран; Рафик, Султан Ариф Рахман Мохамед; Панчал, Дхрув; Радж, Яш; Шривастава, Шраджан; Ооммен, Чарли; Джаяраман, Анбу; Раджаманикам, Девешваран; Шринивасан, Бхарат (2022 г.). «Прогнозирование in vitro нижнего/верхнего критического индекса удушья потока биожидкости и демонстрация in vivo удушья потока в стенозированной артерии животного с воздушной эмболией». Физика жидкостей . 34 (10). Библиографический код : 2022PhFl...34j1302S. doi : 10.1063/5.0105407.
15. Справочник по химии Ланге, 10-е изд., стр. 1524.
16. Quick, CR; Schawe, JEK; Uggowitzer, PJ; Pogatscher, S. (2019-07-01). «Измерение удельной теплоемкости с помощью быстрой сканирующей калориметрии — точность и поправки на потери». Thermochimica Acta . Специальный выпуск по случаю 65-летия Кристофа Шика. 677 : 12–20. Bibcode :2019TcAc..677...12Q. doi : 10.1016/j.tca.2019.03.021 . ISSN  0040-6031.
17. Погачер, С.; Лейтенеггер, Д.; Шаве, JEK; Угговицер, П.Дж.; Леффлер, Дж. Ф. (сентябрь 2016 г.). «Фазовые переходы твердое тело – твердое тело при плавлении металлов». Природные коммуникации . 7 (1): 11113. Бибкод : 2016NatCo...711113P. doi : 10.1038/ncomms11113. ISSN  2041-1723. ПМЦ 4844691 . ПМИД  27103085. 
18. Кох, Вернер (2013). Таблицы пара VDI (4-е изд.). Springer. стр. 8. ISBN 9783642529412.Издано под эгидой Verein Deutscher Ingenieure (VDI).
19. Кардарелли, Франсуа (2012). Научный перевод единиц: практическое руководство по метрике. MJ Shields (перевод) (2-е изд.). Springer. стр. 19. ISBN 9781447108054.
20. Из прямых значений: 1 ⁠БТЕ/фунт⋅°R⁠ × 1055.06 ⁠Дж./БТЕ⁠ × ( ⁠1/0,45359237⁠ ) ​​⁠фунт/кг⁠ х ⁠9/5⁠ ⁠°Р/К⁠ = 4186,82 ⁠Дж./кг⋅К⁠
21. °F=°R
22. °С=К
23. Фейнман, Р., Фейнмановские лекции по физике , т. 1, гл. 40, стр. 7–8
24. Рейф, Ф. (1965). Основы статистической и тепловой физики . McGraw-Hill. С. 253–254.
25. Киттель, Чарльз; Кремер, Герберт (2000). Теплофизика . WH Freeman. стр. 78. ISBN 978-0-7167-1088-2.
26. Торнтон, Стивен Т. и Рекс, Эндрю (1993) Современная физика для ученых и инженеров , Saunders College Publishing
27. Чейз, М. В. младший (1998) Термохимические таблицы NIST-JANAF, четвертое издание , в журнале справочных физических и химических данных , монография 9, страницы 1–1951.
28. "О подразделении один".
29. Юнус А. Ценгел и Майкл А. Боулс, Термодинамика: инженерный подход , 7-е издание, McGraw-Hill, 2010, ISBN 007-352932-X . 
30. Фраундорф, П. (2003). "Теплоемкость в битах". American Journal of Physics . 71 (11): 1142. arXiv : cond-mat/9711074 . Bibcode : 2003AmJPh..71.1142F. doi : 10.1119/1.1593658. S2CID  18742525.
31. Фейнман, Ричард, Фейнмановские лекции по физике , т. 1, гл. 45
32. S. Benjelloun, "Термодинамические тождества и термодинамическая согласованность уравнения состояний", Ссылка на электронную версию архива Ссылка на электронную версию Hal
33. Ценгель, Юнус А. и Болес, Майкл А. (2010) Термодинамика: инженерный подход , 7-е издание, McGraw-Hill ISBN 007-352932-X . 

Дальнейшее чтение

• Emmerich Wilhelm & Trevor M. Letcher, Eds., 2010, Heat Capacities: Liquids, Solutions and Vapours , Cambridge, UK:Royal Society of Chemistry, ISBN 0-85404-176-1 . Совсем новый обзор избранных традиционных аспектов названной темы, включая недавнее введение специалиста в ее теорию, Emmerich Wilhelm, "Heat Capacities: Introduction, Concepts, and Selected Applications" (глава 1, стр. 1–27), главы о традиционных и более современных экспериментальных методах, таких как фотоакустические методы, например, Jan Thoen & Christ Glorieux, "Photothermal Techniques for Heat Capacities", и главы о новых исследовательских интересах, включая теплоемкости белков и других полимерных систем (гл. 16, 15), жидких кристаллов (гл. 17) и т. д. 

Внешние ссылки

• (2012-05may-24) Теория фононов проливает свет на термодинамику жидкости и теплоемкость – Physics World Теория фононов термодинамики жидкости | Научные отчеты