В логике и дедуктивном рассуждении аргумент является обоснованным , если он действителен по форме и его посылки верны. [1] Соответствующее значение имеет «обоснованность» в математической логике , где формальная система логики является правильной тогда и только тогда, когда каждая правильно сформированная формула , которая может быть доказана в системе, логически верна по отношению к логической семантике системы.
В дедуктивном рассуждении здравый аргумент — это аргумент, который действителен и все его посылки истинны (и, как следствие, его вывод также верен). Аргумент является действительным, если, предполагая, что его посылки истинны, вывод должен быть истинным. Примером здравого аргумента является следующий известный силлогизм :
Из-за логической необходимости заключения этот аргумент действителен; и поскольку аргумент действителен и его посылки истинны, он является обоснованным.
Однако аргумент может быть действительным, но не быть обоснованным. Например:
Этот аргумент действителен, поскольку вывод должен быть истинным при условии, что посылки верны. Однако первая посылка неверна. Не все птицы умеют летать (например, страусы). Чтобы аргумент был обоснованным, он должен быть действительным , а его предпосылки должны быть истинными. [2]
В математической логике логическая система обладает свойством устойчивости, если каждая формула , которую можно доказать в системе, логически верна по отношению к семантике системы. В большинстве случаев это сводится к тому, что его правила обладают свойством сохранять истину . [3] Обратная сторона достоверности известна как полнота .
Логическая система с синтаксическим и семантическим следствием является правильной, если для любой последовательности предложений на ее языке, если , то . Другими словами, система является корректной, когда все ее теоремы являются тавтологиями .
Правильность является одним из наиболее фундаментальных свойств математической логики. Свойство надежности дает первоначальную причину считать логическую систему желательной. Свойство полноты означает , что всякая действительность (истина) доказуема. Вместе они подразумевают, что все и только истинности доказуемы.
Большинство доказательств надежности тривиальны. [ нужна цитация ] Например, в аксиоматической системе доказательство обоснованности сводится к проверке достоверности аксиом и того, что правила вывода сохраняют достоверность (или более слабое свойство — истинность). Если система допускает дедукцию в стиле Гильберта , она требует только проверки достоверности аксиом и одного правила вывода, а именно modus ponens . (а иногда и замена)
Свойства надежности делятся на две основные разновидности: слабую и сильную надежность, из которых первая является ограниченной формой второго.
Слабая обоснованность дедуктивной системы — это свойство того, что любое предложение, доказуемое в этой дедуктивной системе, также истинно для всех интерпретаций или структур семантической теории для языка, на котором эта теория основана. В символах, где S — дедуктивная система, L — язык вместе с его семантической теорией, а P — предложение L : если ⊢ SP , то также ⊨ LP .
Сильная надежность дедуктивной системы — это свойство того, что любое предложение P языка, на котором основана дедуктивная система, которое можно вывести из набора Γ предложений этого языка, также является логическим следствием этого набора в том смысле, что любая модель что делает все члены Γ истинными, также сделает P истинным. В символах , где Γ — множество предложений языка L : если Γ ⊢ SP , то также Γ ⊨ LP . Обратите внимание, что в утверждении о сильной корректности, когда Γ пусто, мы имеем утверждение о слабой корректности.
Если Т — теория, объекты дискурса которой можно интерпретировать как натуральные числа , мы говорим , что Т арифметически корректна , если все теоремы Т действительно верны в отношении стандартных математических целых чисел. Для получения дополнительной информации см. ω-согласованную теорию .
Обратным свойству корректности является свойство семантической полноты . Дедуктивная система с семантической теорией является сильно полной, если каждое предложение P , являющееся семантическим следствием множества предложений Γ, может быть выведено в системе дедукции из этого множества. В символах: если Γ ⊨ P , то и Γ ⊢ P . Полнота логики первого порядка была впервые явно установлена Гёделем , хотя некоторые основные результаты содержались в более ранних работах Скулема .
Неформально теорема о правильности дедуктивной системы выражает, что все доказуемые предложения истинны. Полнота означает, что все истинные предложения доказуемы.
Первая теорема Гёделя о неполноте показывает, что для языков, достаточных для выполнения определенного объема арифметических действий, не может быть последовательной и эффективной дедуктивной системы, которая была бы полной в отношении предполагаемой интерпретации символики этого языка. Таким образом, не все здравые дедуктивные системы полны в этом особом смысле полноты, в котором класс моделей (с точностью до изоморфизма ) ограничивается предполагаемым. Исходное доказательство полноты применимо ко всем классическим моделям, а не к какому-то специальному собственному подклассу предполагаемых моделей.
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )