В твердотельной геометрии грань — это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого объекта; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, является многогранником .
В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любого измерения более общего многогранника (в любом количестве измерений). [2]
В элементарной геометрии грань — это многоугольник [примечание 1] на границе многогранника . [2] [3] Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и плитку евклидовой плоскости .
Например, любой из шести квадратов , ограничивающих куб , является гранью куба. Иногда «лицо» также используется для обозначения двумерных особенностей 4-мерного многогранника . В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых имеет две из 8 кубических ячеек.
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику.
где V — количество вершин , E — количество ребер , а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение числа ребер над числом вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
В многомерной геометрии грани многогранника являются элементами всех измерений. [2] [4] [5] Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, причем пустое множество предназначено для согласованности с учетом «размерности» -1. Для любого n -многогранника ( n -мерного многогранника) −1 ≤ k ≤ n .
Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), его (отрезки) ребра (1-грани), его (точечные) вершины. (0-грани) и пустое множество.
В некоторых областях математики, таких как многогранная комбинаторика , многогранник по определению является выпуклым. Формально грань многогранника P — это пересечение P с любым замкнутым полупространством , граница которого не пересекается с внутренностью P . [6] Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество. [4] [5]
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездных многогранников , требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы набор граней включал сам многогранник и пустое множество.
n -мерный симплекс (отрезок ( n = 1 ), треугольник ( n = 2 ), тетраэдр ( n = 3 ) и т . д.), определенный n + 1 вершиной, имеет грань для каждого подмножества вершин, из пустое множество через множество всех вершин. В частности, всего граней 2 n + 1 . Число из них, являющихся k -гранями, для k ∈ {−1, 0, ..., n } , является биномиальным коэффициентом .
Существуют конкретные имена k -граней в зависимости от значения k и, в некоторых случаях, от того, насколько близко k к размерности n многогранника.
Вершина — это общее название 0-грани.
Край — это общее название одногранника.
Использование face в контексте, где конкретный k предназначен для k -грани, но не указан явно, обычно является 2-гранью.
Ячейка — это многогранный элемент ( 3-грань ) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или выше. Ячейки являются гранями для 4-многогранников и 3-сот.
Примеры:
В многомерной геометрии грани (также называемые гипергранями ) [7] n -многогранника представляют собой ( n - 1 )-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник). [8] Многогранник ограничен своими гранями.
Например:
В родственной терминологии ( n − 2 ) -грани s n -многогранника называются гребнями (также подгранями ). [9] Гребень рассматривается как граница ровно между двумя гранями многогранника или сот.
Например:
( n − 3 ) -грани s n -многогранника называются вершинами . Пик содержит оси вращения граней и гребней в правильном многограннике или сотах.
Например:
