Выпуклые однородные соты

Пространственное замощение выпуклых однородных многогранников

Перемежающиеся кубические соты — одна из 28 однородных мозаик, заполняющих пространство в евклидовом трехмерном пространстве, состоящая из чередующихся желтых тетраэдров и красных октаэдров .

В геометрии выпуклые однородные соты представляют собой однородную мозаику , которая заполняет трехмерное евклидово пространство непересекающимися выпуклыми однородными многогранными ячейками.

Известно двадцать восемь таких сот:

• знакомые кубические соты и 7 их усечений;
• чередующиеся кубические соты и 4 их усечения;
• 10 призматических форм на основе однородных плоских мозаик (11 с учетом кубических сот);
• 5 модификаций некоторых из вышеперечисленных за счет удлинения и/или вращения.

Их можно считать трехмерным аналогом однородных мозаик плоскости .

Диаграмма Вороного любой решетки образует выпуклые однородные соты, ячейками которых являются зоноэдры .

История

• 1900 : Торольд Госсет перечислил список полуправильных выпуклых многогранников с правильными ячейками ( платоновых тел ) в своей публикации « О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений » , включая одну правильную кубическую соту и две полуправильные формы с тетраэдрами и октаэдрами.
• 1905 : Альфредо Андреини перечислил 25 таких мозаик.
• 1991 : В рукописи Нормана Джонсона «Унифицированные многогранники» указан список из 28. ^[1]
• 1994 : Бранко Грюнбаум в своей статье « Равномерные мозаики трехмерного пространства » также независимо перечислил все 28, обнаружив ошибки в публикации Андреини. Он обнаружил, что в статье 1905 года, в которой было перечислено 25, 1 ошибка, а 4 отсутствуют. Грюнбаум заявляет в этой статье, что Норман Джонсон заслуживает приоритета для достижения такого же подсчета в 1991 году. Он также упоминает, что И. Алексеев из России связался с ним по поводу предполагаемого перечисления этих форм, но что Грюнбаум не смог проверить это в то время.
• 2006 : Георгий Ольшевский в своей рукописи Uniform Panoploid Tetracombs , наряду с повторением полученного списка из 11 выпуклых однородных мозаик и 28 выпуклых однородных сот, расширяет дальнейший производный список из 143 выпуклых однородных тетракомб (соты однородных 4-многогранников в 4- космос). ^{[2] [1]}

В этих узорах встречаются только 14 выпуклых однородных многогранников:

• три из пяти платоновых тел ( тетраэдр , куб и октаэдр ),
• шесть из тринадцати архимедовых тел (с отражающей тетраэдрической или октаэдрической симметрией) и
• пять из бесконечного семейства призм (3-, 4-, 6-, 8- и 12-угольные; 4-угольная призма дублирует куб).

Икосаэдр , курносый куб и квадратная антипризма появляются в некоторых чередованиях, но эти соты не могут быть реализованы со всеми ребрами, имеющими единичную длину .

Имена

Этот набор можно назвать регулярными и полуправильными сотами . Его назвали архимедовыми сотами по аналогии с выпуклыми однородными (неправильными) многогранниками, обычно называемыми архимедовыми телами . Недавно Конвей предложил назвать этот набор архитектоническими мозаиками , а двойные соты — катоптрическими мозаиками .

Отдельные соты перечислены с именами, данными им Норманом Джонсоном . (Некоторые из терминов, используемых ниже, определены в разделе « Равномерный 4-многогранник # Геометрические выводы для 46 непризматических однородных 4-многогранников Витоффа » )

Для перекрестных ссылок им даны списочные индексы Андреини (1–22), Уильямса (1–2,9–19), Джонсона (11–19, 21–25, 31–34, 41–49). , 51–52, 61–65) и Грюнбаум (1–28). Коксетер использует δ ₄ для кубических сот , hδ ₄ для чередующихся кубических сот , qδ ₄ для четвертькубических сот , с индексами для других форм, основанных на кольцевых узорах диаграммы Коксетера.

Компактные евклидовы равномерные мозаики (по их бесконечным семействам групп Кокстера)

Фундаментальные области в кубическом элементе трех групп.

Семейная переписка

Фундаментальными бесконечными группами Кокстера для трехмерного пространства являются:

1. , [ 4,3,4], кубический, ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$(8 уникальных форм плюс одна альтернатива)
2. , [4,3 ^1,1 ], чередующаяся кубическая, ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$(11 форм, 3 новых)
3. Циклическая группа [(3,3,3,3)] или [3 ^[4] ], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$(5 форм, одна новая)

Между всеми тремя семьями существует переписка. Удаление одного зеркала из продуктов и удаление одного зеркала из продуктов . Это позволяет создавать несколько конструкций из одних и тех же сот. Если ячейки окрашены в зависимости от уникальных положений в каждой конструкции Витхоффа, можно показать эти разные симметрии. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

Кроме того, есть 5 специальных сот, которые не имеют чистой отражательной симметрии и построены из отражательных форм с помощью операций удлинения и вращения .

Всего уникальных сот, указанных выше, — 18.

Призматические стопки из бесконечных групп Кокстера для трехмерного пространства:

1. Призматическая группа × , [4,4,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(2 новые формы)
2. Призматическая группа × , [6,3,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(7 уникальных форм)
3. Призматическая группа × , [(3,3,3),2,∞], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(Нет новых форм)
4. Призматическая группа × × , [∞,2,∞,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(Все это становится кубическими сотами )

Кроме того, существует особая вытянутая форма треугольных призматических сот.

Общее количество уникальных призматических сот, указанных выше (исключая кубические, подсчитанные ранее), составляет 10.

Объединив эти числа, 18 и 10 дают нам всего 28 однородных сот.

Группа C̃ 3 , [4,3,4] (кубическая)

Обычные кубические соты, представленные символом Шлефли {4,3,4}, предлагают семь уникальных производных однородных сот посредством операций усечения. (Одна избыточная форма, продолговатые кубические соты , включена для полноты, хотя и идентична кубическим сотам.) Отражательная симметрия - это аффинная группа Коксетера [4,3,4]. Существует четыре подгруппы индекса 2, которые генерируют чередования: [1 ⁺ ,4,3,4], [(4,3,4,2 ⁺ )], [4,3 ⁺ ,4] и [4,3,4 ] ⁺ , причем первые две порождают повторяющиеся формы, а последние две являются неоднородными.

B̃ 3 , [4,3 1,1 ] группа

Группа , [4,3] предлагает 11 производных форм посредством операций усечения, четыре из которых представляют собой уникальные однородные соты. Есть 3 подгруппы индекса 2, которые генерируют чередования: [1 ⁺ ,4,3 ^1,1 ], [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ] и [4,3 ^1,1 ] ⁺ . Первый генерирует повторяющиеся соты, а два последних являются неоднородными, но включены для полноты. ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$

Соты из этой группы называются чередующимися кубическими, потому что первую форму можно рассматривать как кубические соты с удаленными чередующимися вершинами, сводящими кубические ячейки к тетраэдрам и образующими в промежутках ячейки октаэдра.

Узлы индексируются слева направо как 0,1,0',3, где 0' находится ниже и взаимозаменяем с 0 . Указанные альтернативные кубические имена основаны на этом порядке.

à 3 , [3 [4] ] группа

Существует 5 форм ^[3] , построенных из группы Кокстера , [3 ^[4] ] , из которых только четверть кубических сот уникальна. Существует одна подгруппа индекса 2 [3 ^[4] ] ⁺ , которая порождает курносую форму, которая не является однородной, но включена для полноты. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

Нонвитоффовы формы (закрученные и удлиненные)

Еще три однородные соты создаются путем разрушения одной или другой из вышеуказанных сот, где ее грани образуют непрерывную плоскость, затем вращения чередующихся слоев на 60 или 90 градусов ( гирация ) и/или вставки слоя призм ( удлинение ).

Вытянутые и гировытянутые чередующиеся кубические мозаики имеют одинаковую фигуру вершин, но не похожи друг на друга. В вытянутой форме каждая призма встречается с тетраэдром на одном треугольном конце и октаэдром на другом. В гировытянутой форме призмы, соприкасающиеся с тетраэдрами на обоих концах, чередуются с призмами, соприкасающимися с октаэдрами с обоих концов.

Гироудлиненная треугольная призматическая мозаика имеет ту же фигуру вершин, что и одна из плоских призматических мозаик; оба могут быть получены из спиральных и плоских треугольных призматических мозаик соответственно путем вставки слоев кубов.

Призматические стопки

Одиннадцать призматических плиток получаются путем укладки одиннадцати однородных плоских плиток , показанных ниже, в параллельные слои. (Одна из этих сот — кубическая, показанная выше.) Вершинная фигура каждой представляет собой неправильную бипирамиду , грани которой представляют собой равнобедренные треугольники .

Призматическая группа C̃ ₂ ×Ĩ ₁ (∞), [4,4,2,∞]

В квадратной мозаике есть только 3 уникальные соты, но все 6 усечений мозаики перечислены ниже для полноты, а изображения мозаики показаны цветами, соответствующими каждой форме.

Призматическая группа G̃ ₂ xĨ ₁ (∞), [6,3,2,∞]

Перечисление форм Витгофа

Ниже приведены все непризматические конструкции Витгофа по группам Кокстера вместе с их вариациями . Унифицированные решения включены в список Бранко Грюнбаума . Зеленый фон показан на повторяющихся сотах, а отношения выражены в расширенных диаграммах симметрии.

Примеры

Все 28 из этих мозаик расположены в виде кристаллов . ^{[ нужна цитата ]}

Перемежающиеся кубические соты имеют особое значение, поскольку их вершины образуют кубическую плотную упаковку сфер. Заполняющая пространство ферма из упакованных октаэдров и тетраэдров, очевидно, была впервые обнаружена Александром Грэмом Беллом и независимо повторно открыта Бакминстером Фуллером (который назвал ее октетной фермой и запатентовал ее в 1940-х годах). [3] [4] [5] [6]. Фермы Octet в настоящее время являются одними из наиболее распространенных типов ферм, используемых в строительстве.

Формы фриза

Если ячейкам разрешено быть однородными мозаиками , можно определить более однородные соты:

Семьи:

• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$× : [4,4,2] ${\displaystyle A_{1}}$ Кубические плитные соты (3 формы)
• ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$× : [6,3,2] ${\displaystyle A_{1}}$ Три-шестиугольные плиты-соты (8 форм)
• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$× : [(3,3,3),2] ${\displaystyle A_{1}}$ Треугольные соты плиты (новых форм нет)
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$× × : [∞,2,2] ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$"=" Кубические столбчатые соты (1 форма)
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$× : [p,2,∞] ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ Соты многоугольных колонн (аналог дуопризм : они выглядят как единая бесконечная башня из p-угольных призм, а оставшееся пространство заполнено апейрогональными призмами )
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$× × : [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$"="(То же, что и семейство сотовых кубических плит)

Первые две формы, показанные выше, являются полуправильными (однородными только с правильными гранями) и были перечислены Торольдом Госсетом в 1900 году соответственно как трехмерная полуклетка и тетраоктаэдрическая полуклетка . ^[4]

Чешуйчатые соты

Чешуйчатые соты являются вершинно-транзитивными , как и однородные соты , с правильными многоугольными гранями , в то время как ячейки и более высокие элементы должны быть только орбиформными , равносторонними, с их вершинами, лежащими на гиперсферах. Для 3D-сот это позволяет использовать подмножество тел Джонсона наряду с однородными многогранниками. Некоторые чешуйчатые формы могут образовываться путем чередования, оставляя, например, промежутки пирамид и куполов . ^[5]

Гиперболические формы

Додекаэдрические соты 4-го порядка , {5,3,4} в перспективе

Паракомпактная шестиугольная сотовая плитка , {6,3,3}, в перспективе

Существует 9 семейств групп Кокстера компактных однородных сот в гиперболическом трехмерном пространстве , порожденных как конструкции Витхоффа и представленных кольцевыми перестановками диаграмм Кокстера-Динкина для каждого семейства.

Из этих 9 семейств всего создано 76 уникальных сот:

• [3,5,3] :- 9 форм
• [5,3,4] :- 15 форм
• [5,3,5] :- 9 форм
• [5,3 ^1,1 ] :- 11 форм (7 пересекаются с семейством [5,3,4], 4 уникальны)
• [(4,3,3,3)] :- 9 форм
• [(4,3,4,3)] :- 6 форм
• [(5,3,3,3)] :- 9 форм
• [(5,3,4,3)] :- 9 форм
• [(5,3,5,3)] :- 6 форм

Известны несколько невитоффовых форм, не входящих в список 76; неизвестно, сколько их.

Паракомпактные гиперболические формы

Существует также 23 паракомпактных группы Кокстера ранга 4. Эти семейства могут создавать однородные соты с неограниченными гранями или фигурами вершин, включая идеальные вершины на бесконечности:

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A242941 (Выпуклые однородные мозаики в измерении n)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Георгий Ольшевский, (2006, Равномерные паноплоидные тетракомбы , Рукопись (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомб) [1]
3. [2], A000029 6-1 случаев, пропуск одного с нулевыми оценками
4. Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . 29 : 43–48.
5. "Многогранник-дерево".

• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей , ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 21, Названия архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, Архитектурно-тектонические и катоптрические мозаики, стр. 292–298, включает все непризматические формы) 
• Бранко Грюнбаум , (1994) Равномерные замощения трехмерного пространства. Геомбинаторика 4, 49 – 56.
• Норман Джонсон (1991) Равномерные многогранники , рукопись
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-Х.(Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства)
• Кричлоу, Кейт (1970). Порядок в космосе: справочник по дизайну . Викинг Пресс. ISBN 0-500-34033-1.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [7]  
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10] (1.9 Равномерные заполнения пробелов)
• А. Андреини , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (О правильных и полуправильных сетях многогранников и о соответствующих корреляционных сетях), Mem. Società Italiana della Scienze, Серия 3, 14 75–129. PDF [8]
• ДМИ Соммервилль , (1930) Введение в геометрию n измерений. Нью-Йорк, EP Dutton, . 196 стр. (издание Dover Publications, 1958 г.) Глава X: Правильные многогранники
• Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7.Глава 5. Соединение многогранников
• Кристаллография квазикристаллов: концепции, методы и структуры, Уолтер Стирер, София Делуди (2009), с. 54-55. 12 упаковок из 2 и более однородных многогранников кубической симметрии.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Соты». Математический мир .
• Однородные соты в трехмерных моделях VRML
• Элементарные соты. Вершинное переходное пространство, заполняющее соты с неоднородными ячейками.
• Равномерные разбиения трехмерного пространства, их родственники и вложения, 1999 г.
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• анимация октетной фермы
• Обзор: А.Ф. Уэллс, Трехмерные сети и многогранники, HSM Coxeter (Источник: Bull. Amer. Math. Soc. Volume 84, Number 3 (1978), 466-470.)
• Клитцинг, Ричард. «3D евклидовы мозаики».
• (последовательность A242941 в OEIS )