Плотная упаковка равных сфер

Плотное расположение конгруэнтных сфер в бесконечном, регулярном расположении

Иллюстрация плотной упаковки одинаковых сфер в решетках HCP (слева) и FCC (справа)

В геометрии плотная упаковка равных сфер — это плотное расположение конгруэнтных сфер в бесконечном регулярном расположении (или решетке ). Карл Фридрих Гаусс доказал, что наибольшая средняя плотность — то есть наибольшая доля пространства, занимаемого сферами — которая может быть достигнута решетчатой ​​упаковкой , равна

${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\approx 0.74048}$.

Такая же плотность упаковки может быть достигнута также путем чередования укладок тех же плотно упакованных плоскостей сфер, включая структуры, которые являются апериодическими в направлении укладки. Гипотеза Кеплера утверждает, что это самая высокая плотность, которая может быть достигнута любым расположением сфер, как регулярным, так и нерегулярным. Эта гипотеза была доказана TC Hales . ^{[1] [2]} Самая высокая плотность известна только для 1, 2, 3, 8 и 24 измерений. ^[3]

Многие кристаллические структуры основаны на плотной упаковке одного вида атома или плотной упаковке больших ионов с меньшими ионами, заполняющими пространство между ними. Кубические и гексагональные конфигурации очень близки друг к другу по энергии, и может быть трудно предсказать, какая форма будет предпочтительнее из первых принципов.

Решетки FCC и HCP

Расположение FCC видно в направлении 4-кратной оси

Существуют две простые регулярные решетки, которые достигают этой самой высокой средней плотности. Они называются гранецентрированными кубическими ( FCC ) (также называемыми кубическими плотноупакованными ) и гексагональными плотноупакованными ( HCP ), на основе их симметрии . Обе основаны на листах сфер, расположенных в вершинах треугольной мозаики; они отличаются тем, как листы накладываются друг на друга. Решетка FCC также известна математикам как решетка, порожденная системой корней A ₃ . ^[4]

Задача о пушечном ядре

Ядра сложены на треугольном (спереди) и прямоугольном (сзади) основании, оба из которых представляют собой решетки FCC .

Проблема плотной упаковки сфер была впервые математически проанализирована Томасом Харриотом около 1587 года после того, как вопрос о размещении пушечных ядер на кораблях был задан ему сэром Уолтером Рэли во время их экспедиции в Америку. ^[5] Пушечные ядра обычно складывались в прямоугольную или треугольную деревянную раму, образуя трехстороннюю или четырехстороннюю пирамиду. Оба расположения создают гранецентрированную кубическую решетку — с разной ориентацией по отношению к земле. Шестиугольная плотная упаковка привела бы к шестигранной пирамиде с шестиугольным основанием.

Коллекции снежков, расположенных в форме пирамиды. Передняя пирамида — шестиугольная плотно упакованная, а задняя — гранецентрированная кубическая.

Задача о пушечном ядре спрашивает, какие плоские квадратные расположения пушечных ядер можно сложить в квадратную пирамиду. Эдуард Люка сформулировал задачу как диофантово уравнение или и предположил, что единственными решениями являются и . Здесь — число слоев в пирамидальном расположении, а — число пушечных ядер вдоль ребра в плоском квадратном расположении. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}=M^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{6}}N(N+1)(2N+1)=M^{2}}$ ${\displaystyle N=1,M=1,}$ ${\displaystyle N=24,M=70}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Позиционирование и интервалы

В обеих конфигурациях FCC и HCP каждая сфера имеет двенадцать соседей. Для каждой сферы есть один зазор, окруженный шестью сферами ( октаэдрический ), и два меньших зазора, окруженных четырьмя сферами (тетраэдрический). Расстояния до центров этих зазоров от центров окружающих сфер составляют √ 3 ⁄ 2 для тетраэдрического и √ 2 для октаэдрического, когда радиус сферы равен 1.

Относительно опорного слоя с позиционированием A возможны еще два позиционирования B и C. Любая последовательность A, B и C без непосредственного повторения одной и той же возможна и дает одинаково плотную упаковку для сфер заданного радиуса.

Наиболее регулярными из них являются

• FCC = ABC ABC ABC... (каждый третий слой одинаковый)
• HCP = AB AB AB AB... (все остальные слои одинаковы).

Существует неисчислимое бесконечное число неупорядоченных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC...), которые иногда в совокупности называются «упаковками Барлоу» в честь кристаллографа Уильяма Барлоу . ^[6]

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости xy представляет собой простую сотовую мозаику с шагом (расстоянием между центрами сфер) в один диаметр сферы. Расстояние между центрами сфер, спроецированное на ось z (вертикальную), равно:

${\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0.816\,496\,58d,}$

где d — диаметр сферы; это следует из тетраэдрического расположения плотноупакованных сфер.

Координационное число HCP и FCC равно 12, а их атомные коэффициенты упаковки (APF) равны указанному выше числу 0,74.

Рисунок 2   Томас Харриот примерно в 1585 году впервые задумался о математике расположения пушечных ядер или стека пушечных ядер, имеющего решетку FCC. Обратите внимание, как два шара, обращенные к зрителю во втором ярусе сверху, контактируют с тем же шаром в ярусе ниже. Этого не происходит в решетке HCP (левая организация на рисунке 1 выше и на рисунке 4 ниже).

Рисунок 3   Здесь показана модифицированная форма стека пушечных ядер, в которую добавлены три дополнительные сферы, чтобы показать все восемь сфер в трех верхних ярусах решетки FCC, схематически представленной на рисунке 1 .

Рисунок 4   Здесь показаны все одиннадцать сфер решетки HCP, проиллюстрированной на рисунке 1. Разница между этим стеком и тремя верхними ярусами стека пушечных ядер проявляется в нижнем ярусе, который повернут на половину диаметра шага сферы (60°). Обратите внимание, как два шара, обращенные к зрителю во втором ярусе сверху, не контактируют с тем же шаром в ярусе ниже.

Рисунок 5.   Это анимированное изображение помогает проиллюстрировать трехстороннюю пирамидальную ( тетраэдрическую ) форму расположения пушечных ядер.

Генерация решетки

При формировании любой решётки сферической упаковки первым фактом, который следует отметить, является то, что всякий раз, когда две сферы соприкасаются, можно провести прямую линию из центра одной сферы в центр другой, пересекающую точку контакта. Расстояние между центрами по кратчайшему пути, а именно по этой прямой, будет, таким образом, r ₁  +  r ₂ , где r ₁ — радиус первой сферы, а r ₂ — радиус второй. В плотной упаковке все сферы имеют общий радиус r . Следовательно, два центра будут просто иметь расстояние 2 r .

Простая решетка HCP

Анимация генерации плотной упаковки решетки. Примечание: Если третий слой (не показан) находится непосредственно над первым слоем, то строится решетка HCP. Если третий слой размещается над отверстиями в первом слое, то создается решетка FCC.

Для формирования гексагональной плотной упаковки сфер ABAB-... координатными точками решетки будут центры сфер. Предположим, что цель состоит в том, чтобы заполнить ящик сферами согласно HCP. Ящик будет помещен в координатное пространство x - y - z .

Сначала сформируем ряд сфер. Все центры будут лежать на прямой линии. Их x -координата будет отличаться на 2 r , так как расстояние между каждым центром сфер, которые соприкасаются, равно 2 r . Y -координата и z-координата будут одинаковыми. Для простоты скажем, что шары — это первый ряд, а их y- и z -координаты — это просто r , так что их поверхности покоятся на нулевых плоскостях. Координаты центров первого ряда будут выглядеть как (2 r ,  r ,  r ), (4 r ,  r ,  r ), (6 r  , r ,  r ), (8 r  , r ,  r ), ... .

Теперь сформируйте следующий ряд сфер. Опять же, все центры будут лежать на прямой линии с разницей координат x 2 r , но будет смещение расстояния r в направлении x , так что центр каждой сферы в этом ряду совпадет с координатой x того места, где две сферы соприкасаются в первом ряду. Это позволит сферам нового ряда скользить ближе к первому ряду, пока все сферы в новом ряду не соприкоснутся с двумя сферами первого ряда. Поскольку новые сферы соприкасаются с двумя сферами, их центры образуют равносторонний треугольник с центрами этих двух соседей. Длины всех сторон равны 2 r , поэтому разница высот или координат y между рядами равна √ 3 r . Таким образом, этот ряд будет иметь такие координаты:

${\displaystyle \left(r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(3r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(5r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(7r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}$

Первая сфера этого ряда касается только одной сферы в исходном ряду, но ее расположение соответствует расположению остальной части ряда.

Следующая строка следует этой схеме смещения координаты x на r и координаты y на √ 3. Добавляйте строки до тех пор, пока не будут достигнуты максимальные границы x и y поля.

В шаблоне укладки ABAB-... нечетные плоскости сфер будут иметь абсолютно одинаковые координаты, за исключением разницы в шаге в координатах z , а четные плоскости сфер будут иметь одинаковые координаты x и y . Оба типа плоскостей формируются с использованием шаблона, упомянутого выше, но начальное положение для первой сферы первого ряда будет разным.

Используя плоскость, описанную выше как плоскость № 1, плоскость A, поместите сферу на эту плоскость так, чтобы она касалась трех сфер в плоскости A. Все три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник, и поскольку все они касаются новой сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр . ^[7] Все стороны равны 2r , поскольку все стороны образованы двумя касающимися сферами. Высота которого или разность координат z между двумя «плоскостями» равна ⁠√ 6 р 2/3⁠ . Это, в сочетании со смещениями по координатам x и y, дает центры первой строки в плоскости B:

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Координаты второй строки следуют схеме, описанной выше, и имеют вид:

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {{\sqrt {6}}r2}{3}}\right),\dots .}$

Отличие от следующей плоскости, плоскости А, снова ⁠√ 6 р 2/3⁠ в направлении z и сдвиг по осям x и y для соответствия координатам x и y первой плоскости A. ^[8]

В общем случае координаты центров сфер можно записать в виде:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

где i , j и k — индексы, начинающиеся с 0 для координат x , y и z .

Индексы Миллера

Индекс Миллера–Браве для решетки HCP

Кристаллографические особенности систем HCP, такие как векторы и семейства атомных плоскостей, можно описать с помощью четырехзначной индексной нотации Миллера ( hkil ), в которой третий индекс i обозначает вырожденный, но удобный компонент, который равен − h  −  k . Направления индексов h , i и k разделены на 120° и, таким образом, не ортогональны; компонент l взаимно перпендикулярен направлениям индексов h , i и k .

Заполнение оставшегося пространства

Упаковки FCC и HCP являются самыми плотными известными упаковками равных сфер с самой высокой симметрией (наименьшие повторяющиеся единицы). Более плотные упаковки сфер известны, но они включают неравную упаковку сфер . Плотность упаковки 1, заполняющая пространство полностью, требует несферических форм, таких как соты .

Замена каждой точки контакта между двумя сферами ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, дает тетраэдры и октаэдры с равными длинами ребер. Расположение FCC дает тетраэдрально-октаэдрические соты . Расположение HCP дает спиральные тетраэдрально-октаэдрические соты . Если вместо этого каждую сферу дополнить точками в пространстве, которые находятся ближе к ней, чем к любой другой сфере, то получатся двойственные этим сотам: ромбические додекаэдрические соты для FCC и трапециевидно-ромбические додекаэдрические соты для HCP.

Сферические пузырьки появляются в мыльной воде в FCC или HCP расположении, когда вода в зазорах между пузырьками стекает. Эта модель также приближается к ромбическим додекаэдрическим сотам или трапециевидно-ромбическим додекаэдрическим сотам . Однако такие FCC или HCP пены с очень малым содержанием жидкости нестабильны, так как они не удовлетворяют законам Плато . Пена Кельвина и пена Уайера-Фелана более стабильны, имея меньшую межфазную энергию в пределе очень малого содержания жидкости. ^[9]

Существует два типа промежуточных отверстий, оставленных конформациями hcp и fcc: тетраэдрическая и октаэдрическая пустота. Четыре сферы окружают тетраэдрическую пустоту, при этом три сферы находятся в одном слое, а одна сфера — в следующем слое. Шесть сфер окружают октаэдрическую пустоту, при этом три сферы находятся в одном слое, а три сферы — в следующем слое. Например, структуры многих простых химических соединений часто описываются в терминах небольших атомов, занимающих тетраэдрические или октаэдрические отверстия в плотно упакованных системах, которые образованы из более крупных атомов.

Слоистые структуры образуются путем чередования пустых и заполненных октаэдрических плоскостей. Два октаэдрических слоя обычно допускают четыре структурных расположения, которые могут быть заполнены либо гпц системами упаковки гцк. При заполнении тетраэдрических отверстий полное заполнение приводит к массиву полей гцк. В элементарных ячейках заполнение отверстий иногда может приводить к полиэдрическим массивам со смесью гпц и гцк слоев. ^[10]

Смотрите также

• Кубическая кристаллическая система
• постоянная Эрмита
• Случайная тесная упаковка
• Упаковка сфер
• Цилиндрическая сферическая упаковка

Примечания

1. Хейлз, TC (1998). «Обзор гипотезы Кеплера». arXiv : math/9811071v2 .
2. Szpiro, George (2003). «Математика: складывается ли доказательство?». Nature . 424 (6944): 12–13. Bibcode : 2003Natur.424...12S. doi : 10.1038/424012a . PMID  12840727.
3. Кон, Х.; Кумар, А.; Миллер, С.Д.; Радченко, Д.; Вязовска, М. (2017). «Проблема упаковки сфер в размерности 24». Annals of Mathematics . 185 (3): 1017–1033. arXiv : 1603.06518 . doi : 10.4007/annals.2017.185.3.8. S2CID  119281758.
4. Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Джеймс Александр ; Баннаи, Эйити (1999). Упаковки сфер, решетки и группы . Springer. Раздел 6.3. ISBN 9780387985855.
5. Дарлинг, Дэвид. «Проблема пушечного ядра». Интернет-энциклопедия науки .
6. Барлоу, Уильям (1883). «Вероятная природа внутренней симметрии кристаллов». Nature . 29 (738): 186–188. Bibcode :1883Natur..29..186B. doi : 10.1038/029186a0 .
7. "on Sphere Packing". Grunch.net . Получено 2014-06-12 .
8. Вайсштейн, Эрик В. «Гексагональная плотная упаковка». MathWorld .
9. Кантат, Изабель ; Коэн-Аддад, Сильви; Элиас, Флоренция; Гранер, Франсуа; Хёлер, Рейнхард; Флэтман, Рут; Питуа, Оливье (2013). Пены, структура и динамика . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780199662890.
10. Вудворд, Патрик М.; Карен, Павел; Эванс, Джон СО; Фогт, Томас (2021). Химия твердотельных материалов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521873253.

Внешние ссылки

• P. Krishna & D. Pandey, «Структуры плотной упаковки», Международный союз кристаллографии, University College Cardiff Press. Кардифф, Уэльс. PDF