Случайная плотная упаковка ( RCP ) сфер — это эмпирический параметр, используемый для характеристики максимальной объемной доли твердых объектов , получаемой при их случайной упаковке. Например, когда твердый контейнер заполнен зерном , встряхивание контейнера уменьшит объем, занимаемый объектами, что позволит добавить больше зерна в контейнер. Другими словами, встряхивание увеличивает плотность упакованных объектов. Но встряхивание не может увеличивать плотность бесконечно, достигается предел, и если он достигается без очевидной упаковки в упорядоченную структуру, такую как правильная кристаллическая решетка, это эмпирическая случайная плотноупакованная плотность для этой конкретной процедуры упаковки. Случайная плотная упаковка — это максимально возможная объемная доля из всех возможных процедур упаковки.
Эксперименты и компьютерное моделирование показали, что наиболее компактный способ упаковки твердых идеальных сфер одинакового размера случайным образом дает максимальную объемную долю около 64%, т. е. сферы занимают примерно 64% объема контейнера. Проблема теоретического предсказания случайной плотной упаковки сфер затруднена в основном из-за отсутствия однозначного определения случайности или беспорядка. [1] Значение случайной плотной упаковки значительно ниже максимально возможной плотной упаковки твердых сфер одинакового размера в регулярные кристаллические структуры , которая составляет 74,04%. [2] Как гранецентрированная кубическая (ГЦК), так и гексагональная плотноупакованная (ГПУ) кристаллические решетки имеют максимальную плотность, равную этому верхнему пределу, что может произойти в процессе гранулярной кристаллизации .
Случайная плотная упаковка фракций дисков на плоскости также считалась теоретически нерешенной проблемой из-за схожих трудностей. Аналитическое, хотя и не в замкнутой форме, решение этой проблемы было найдено в 2021 году Р. Блюменфельдом. [3] Решение было найдено путем ограничения вероятности роста упорядоченных кластеров экспоненциально малым значением и связывания его с распределением «ячеек», которые представляют собой наименьшие пустоты, окруженные связанными дисками. Полученная максимальная объемная фракция составляет 85,3542%, если запрещены только кластеры с гексагональной решеткой, и 85,2514%, если запрещены также кластеры с деформированной квадратной решеткой.
Аналитическое и замкнутое решение как для 2D, так и для 3D, механически устойчивых, случайных упаковок сфер было найдено А. Закконе в 2022 году с использованием предположения, что наиболее случайная ветвь защемленных состояний (максимально случайные защемленные упаковки, простирающиеся вплоть до плотнейшей упаковки ГЦК) подвергается скучиванию способом, качественно подобным равновесной жидкости. [4] [5] Причины эффективности этого решения являются предметом продолжающихся дискуссий. [6]
Случайная плотная упаковка сфер пока не имеет точного геометрического определения. Она определяется статистически, а результаты являются эмпирическими. Контейнер случайным образом заполняется объектами, а затем контейнер встряхивается или постукивается до тех пор, пока объекты не перестанут уплотняться, в этот момент состояние упаковки является RCP. Определение доли упаковки можно дать как: «объем, занимаемый числом частиц в данном пространстве объема». Другими словами, доля упаковки определяет плотность упаковки. Было показано, что доля заполнения увеличивается с числом постукиваний, пока не будет достигнута плотность насыщения. [7] [8] Кроме того, плотность насыщения увеличивается с уменьшением амплитуды постукивания . Таким образом, RCP — это доля упаковки, заданная пределом , когда амплитуда постукивания стремится к нулю, и пределом, когда число постукиваний стремится к бесконечности .
Объемная доля частиц при RCP зависит от упакованных объектов. Если объекты полидисперсны, то объемная доля нетривиально зависит от распределения размеров и может быть сколь угодно близка к 1. Тем не менее для (относительно) монодисперсных объектов значение RCP зависит от формы объекта; для сфер оно равно 0,64, для конфет M&M's оно равно 0,68. [9]
Продукты, содержащие неплотно упакованные предметы, часто маркируются следующим сообщением: «Содержимое может осесть во время транспортировки». Обычно во время транспортировки контейнер будет многократно трястись, что увеличит плотность упаковки. Сообщение добавляется, чтобы заверить потребителя, что контейнер заполнен по массе, даже если контейнер кажется слегка пустым. Системы упакованных частиц также используются в качестве базовой модели пористой среды .